Partielle DGL, Wärmeleitung

stationär: T(x) oder T(R) instationär: T(x, t) oder T(x, y, z, t) = T(R, t)

T bezeichnet die absolute Temperatur oder wird als Celsiustemperatur kenntlich gemacht. Dann gilt: T = x °C  T = (x + 273,15) K Gesetz von Newton (1701) Sir Isaac Newton (1642 – 1727)

Lineare Wärmeleitung stationär 1 2

instationäre Wärmeleitung 1 2

Stationäre Wärmeleitung: T = T(x)  Der Temperaturverlauf ist linear:  groß  klein l: Wärmeleitzahl, Wärmeleitvermögen oder Wärmeleitfähigkeit Gute elektrische Leiter sind auch gute Wärmeleiter. (Wiedemann-Franzsches Gesetz) Aber nicht umgekehrt!

l kann von der Temperatur abhängen. Biot und Fourier (1822) l kann von der Temperatur abhängen. Bei Anisotropie (geschichtete Stoffe, Kohlefaser-Verbundstoffe, Holz) ist l eine symmetrische Matrix (lxy = lyx). zeigt immer in Richtung des stärksten Temperaturgefälles. Joseph Fourier (1768 - 1830) Jean-Baptiste Biot 1774-1862

Das Feld ist quellenfrei / senkenfrei, d. h. Wärme staut sich nicht, wenn netto in dV strömende Leistung = 0 (Divergenz)

Wärmestromdichte im Zylinderfeld

Temperaturverlauf im Zylinderfeld

Eine Rohrleitung mit Wärmeisolation (l = 0,04 Wm-1K-1) hat innen bei |Ri| = 1 cm die Temperatur 60°C, außen bei |Ra| = 5 cm 20°C. Wie groß sind die Wärmeverluste dQz/dt? Bei welchen Radien liegen die Isothermen zu 50°C, 40°C, 30°C ? Zeichnen Sie eine Skizze mit Isothermen und Wärmestromlinien. T0 = T(1 cm) = 60°C

Wie groß sind die Wärmeverluste dQz/dt? Eine Rohrleitung mit Wärmeisolation (l = 0,04 Wm-1K-1) hat innen bei |Ri| = 1 cm die Temperatur 60°C, außen bei |Ra| = 5 cm 20°C. Wie groß sind die Wärmeverluste dQz/dt? Bei welchen Radien liegen die Isothermen zu 50°C, 40°C, 30°C ? Zeichnen Sie eine Skizze mit Isothermen und Wärmestromlinien. T(x)/°C x/cm 60 1,0 50 1,5 40 2,2 30 3,3 20 5,0 cm

Potentialgleichung (falls l konstant) (Laplace-Operator) Pierre Simon Marquis de Laplace (1749 - 1827)

Instationäre Wärmeleitung Abkühlung: Nach Newtons Gesetz ist der Wärmestrom zur Differenz von Körpertemperatur T und Außentemperatur T proportional. Über die spezifische Wärmekapazität entspricht der Änderung der Wärmemenge eine Temperaturänderung: (wie Zerfallsgesetz)

Die Temperaturdifferenz zwischen Kaffee in der Kaffetasse (T) und der Umgebung (T = const.) klingt vorwiegend aufgrund von Wärmeleitung exponentiell mit der Zeit ab, θ(0) ist dabei die anfängliche Temperaturdifferenz, k ist die Abkühlkonstante: θ(t) = T(t) – T = θ(0)exp(-kt) Folgende Messwerte wurden bestimmt (T = 21°C): t 0 1 2 4,5 7,5 11,5 13,5 19 min T 75 73 71 67 63 59 57 52 °C θ(t) 54 52 50 46 42 38 36 31 °C Berechnen Sie die Übertemperatur θ(t) = T(t) - T und tragen Sie deren Logarithmus über der Zeit t auf. Welche Abkühlkonstante k ergibt sich?

t/min t/min lnθ(t) = 3.97 - 0.029t

Instationäre Wärmeleitung

Instationäre Wärmeleitung + Wärmequelle Wärmequelle p = P/V [W/m3] Erwärmung von dV: Summe:

Instationäre Wärmeleitung eindimensional, p = 0: Baustoffe: a = 0,2 bis 1,0 10-6 m2/s Metalle: a = 10 bis 100 10-6 m2/s stehende Luft: a = 20 10-6 m2/s

Temperatursprung am Halbraum Analytische Lösung für x > 0:

Temperatursprung am Halbraum Analytische Lösung für x > 0: Die Wärmestromdichte zeigt für x = t = 0 eine Singularität.

Temperatursprung am Halbraum Analytische Lösung für x > 0: a  2a, t  t/2: keine Änderung x  2x  t  4t: doppelte Tiefe, vierfache Zeit. Wärme kriecht.

Temperatursprung am Halbraum Ein 2 cm dickes Steak muss laut Kochbuch 8 Minuten lang gegrillt werden. Wie lange muss ein 3 cm dickes Steak gegrillt werden? Analytische Lösung für x > 0: t = 18 min.

t/h t/d z erf(z) T(4 m, t) 10 2,357 0,999 10,01°C 50 2,1 1,054 0,864 Instationäre Wärmeleitung in Luft t/h t/d z erf(z) T(4 m, t) 10 2,357 0,999 10,01°C 50 2,1 1,054 0,864 11,36°C 100 4,2 0,745 0,708 12,92°C 1000 42 0,236 0,261 17,39°C