Peter-Michael Schmidt, Stuttgart 2002 Triangulierungen von Polygonen und verwandte Probleme Bei diesem Thema treffen sich drei Teilgebiete der Mathematik: Geometrie, Kombinatorik und Analysis Triangulierung: Zerlegung eines einfachen Polygons in Dreiecke durch Einfügen von Diagonalen Euler 1751 Peter-Michael Schmidt, Stuttgart 2002

Anzahl der Triangulierungen eines konvexen Polygons mit n Ecken Anzahl der binären Bäume mit (n-2) Knoten Äquivalentes Problem 0123456 mit Basis 01 6 5 056 mit Basis 05 12345 mit Basis 15 Basis 4 1 3 2 Jeder Triangulierung eines konvexen Polygons mit n Ecken entspricht ein binärer Baum mit (n-2) Knoten und umgekehrt.

Anzahl der Triangulierungen eines konvexen Polygons mit n Ecken Anzahl der Klammerungen eines (nicht assoziativen) Produktes mit (n-1) Faktoren Äquivalentes Problem Catalan 1837 b a b c d e f (a b) • (c d e f ) „letzte“ Multiplikation (a b) ((c d) (e f )) a (ab) Basis c (cd) d (ef) f e Jeder Triangulierung eines konvexen Polygons mit n Ecken entspricht eine Klammerung eines Produktes mit (n-1) Faktoren.

Anzahl der Triangulierungen eines konvexen Polygons mit n Ecken Zuordnungen der Triangulierungen eines konvexen 5-ecks A(5) B(3) a (b (c d)) a ((b c) d) (a b) (c d) (a (b c)) d ((a b) c) d C(4) A(n) = B(n-2) = C(n-1) für n = 3, 4, ...

Anzahl der Triangulierungen eines konvexen Polygons mit (n+1) Ecken C(n) := Anzahl der Klammerungen eines Produktes mit n Faktoren C(n) := C(1) • C(n-1) + C(2) • C(n-2) + ... + C(n-1) • C(1) für n > 1, C(1) := 1 C(2) = 1, C(3) = 2, C(4) = 5, C(5) = 14, ... , C(12) = 58786 f(x) := C(1) • x + C(2) • x2 + C(3) • x3 + ... erzeugende Funktion der Folge C(n) f(x) = x + f(x)2 quadratische Gleichung für f(x), wegen f(0) = 0 entfällt die Lösung „+“

( ) _ _ ( ) Anzahl der Triangulierungen und Catalansche Zahlen 1 2 1 2 f(x) = - • (1-4x) 0,5 in Taylorreihe entwickeln k. Ableitung von f(x) ist f (k) (x) = • (1-4x) -(2k-1) / 2 für k > 0 wegen = 2k-1 • 1 • 3 • 5 • 7 • (2k-3) Koeffizientenvergleich für xk C(k) = = Catalansche Zahlen (2k-2)! (k-1)! (2k-2)! (k-1)! 2k-2 k-1 ( ) _ 1 k f (k) (0) k! _ 1 n-1 ( ) 2n-4 n-2 Anzahl der Triangulierungen A(n) = C(n-1) =  2 (n-2) .

Optimale Triangulierungen eines konvexen Polygons Gegeben ist ein konvexes Polygon mit Ecken 1, 2,..., n und eine Gewichtsfunktion w auf den Dreiecken (ijk) mit i < j < k. Beispiel: w(ijk) = Umfang des Dreiecke (ijk). Wir suchen eine Triangulierung mit minimaler Summe der Gewichte der Dreiecke der Triangulierung. Da Triangulierungen der Teilpolygone einer Triangulierung mit minimalen Gewicht ebenfalls minimal sind, können wir wie folgt vorgehen:

Optimale Triangulierungen eines konvexen Polygons c(j, k) ist für j < k das minimale Gewicht der Triangulierungen von dem Polygon mit den Ecken j, j+1, ..., k. c(j, k) = min{c(j, m) + c(m, k) + w(jmk): j < m < k} mit den Anfangsbedingungen c(j, j+1) = 0 für alle j C(m,k) j k m w(jmk) C(j,m) Bellmannsche Optimalitätsgleichung