Numerische Lösung der 2D Laplace/Poisson-Gleichung Teilnehmer: Alireza Farman Auline Rodler 25.03.2017

Gliederung: Auswertung des zeitinvarianten- Temperaturverlaufs in einem Brennstabelement Auswertung der zeitvarianten- Wärmeleitungsgleichung in einer Baguette Zusammenfassung und Ausblick 25.03.2017

Lösung der zeitinvarianten 2D-Laplace/Poisson Gleichung Temperaturverteilung in einem quadratischen radioaktiven Brennstabelement: Reihenentwicklung von Wärmeverteilung Temperaturverteilung: Matlab programm : Function Reihen_entwicklung Initialisierung : [x y]= meshgrid (0: 0.01: pi); also,N=100 Für jedes n und m (Zwei ineinandergesetzten Schleifen) Qnm = 1./(n(i)*m(j)); Q_fourier(:,:,ind) = (Q*16/pi^2)*(Qnm.*sin(n(i).*x).*sin(m(j).*y)); (nach den schleifen) Q_fourier = sum(Q_fourier,3); 25.03.2017

Lösung der zeitinvarianten 2D-Laplace/Poisson Gleichung Für fehler<0,1  m,n [1:2:7] und für fehler<0,01 m,n[1:2:17] Es werden nur an den Eckpunkten größere Fehler berechnet!! Fehlerberechnung: Maximaler rel. Fehler bei einem ausgewählten Punkt:eps(x,y) Fehler<0,01 Fehler<0,1 25.03.2017

Lösung der zeitinvarianten 2D-Laplace/Poisson Gleichung Temperaturverteilung: Matlab programm : Temperaturverteilung Initialisierung : [x y]= meshgrid (0: 0.01: pi); Für jeden n und m bis 17 (ungerade Zahl) Qnm = 1./(n(i)*m(j)); Tnm = Qnm./(n(i)^2+m(j)^2); T_fourier(:,:,ind) =(Q*16/pi^2)*(Tnm.*sin(n(i).*x).*sin(m(j).*y)); Endlig (nach den schleifen) T_fourier = sum(T_fourier,3); Wärmeleitzahl (‘K’) Die Poisson Gleichung mit k und deren Einbindung in die Temperaturverteilung: Wärmeleitzahl wird im Rahmen dieser Arbeit als konstante behandelt: 25.03.2017

Lösung der zeitinvarianten 2D-Laplace/Poisson Gleichung Veränderung der Länge von Brennstab: Wie sieht das Ganze aus, wenn man das Gebiet auf eine realistische Geometrie [0,L], mit L, der Länge und Breite des Brennstabes ausdehnt? Veränderung der Variable: 25.03.2017

Lösung der zeitinvarianten 2D-Laplace/Poisson Gleichung Auswertung der iterativen Methode: Gauß-Seidel-Verfahren (Einzelschritt-Verfahren) Mit Hilfe dieses Verfahrens wird der Näherungsvektor elementweise neu bestimmt und für die Berechnung der – k-ten Komponente der nächsten Näherung bereits die neuen Daten der ersten Komponenten verwendet. Matlab programm : Function Iterativ_method Initialisierung und Rand Bedigungen : U=10*ones(dim_grid); U(:,end)=0; U(end,:)=0; U(1,:)=0; U(:,1)=0; while eps>eps_required (Konvergenzbedingung) Für alle Punkte des Temperaturgitters U(i,j)=1/4*(U(i+1,j)+U(i-1,j)+U(i,j-1)+U(i,j+1)+Q(i,j)*(dim_section/(dim_grid-1)).^2); 25.03.2017

Lösung der zeitinvarianten 2D-Laplace/Poisson Gleichung Auswertung der iterativen Methode: Gauß-Seidel-Verfahren Zusammenfassung der simulierten Ergebnisse: Temperaturfunktion Iterative Methode Matlab PDE Tool 25.03.2017

Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung Abkühlen einer Baguette als 2D zeitabhängiges Wärmeleitungsproblem mit Dirichlet RB Baguettestemperatur= 90 °C Umgebungstemperatur= 20 °C Holzplattentemperatur= 30 °C Ziel  Die Baguette auf 40 °C abzukühlen Baguette Verteilung der Temperatur: u(x,y;t) Randbedingungen (Boundary conditions): 25.03.2017

Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung Reihenentwicklung von Für ein Intervall [0,pi] x [0,pi] Matlab programm : Function Temperatur_b_v2 Initialisierung : [x y]= meshgrid (0: 0.01: pi); Schleife zur Berechnung von ’W’ (N ist ungerade und M ist integer Zahl): Tnm =(n(i)^2+m(j)^2); anm=m(i)/(n(i)*Tnm); W(:,:,ind)=anm*sin(n(i)*x).*sin(m(j)*y)*(1-exp(-*b*Tnm*t)); Schleife zur Berechnung von ’V ’(N und M sind ungerade Zahlen): ind = ind + 1; Qnm = 1/(n(i)*m(j)); V(:,:,ind) = Qnm.*sin(n(i).*x).*sin(m(j).*y)*exp(-*b*Tnm*t); …. W_tot =(80/pi^2)*sum(W,3); V_tot = (1120/pi^2)*sum(V,3); T_fourier_temporelle(:,:,page_t) = W_tot+V_tot; 25.03.2017

Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung Für fehler<0,1  m,n [1:2:15] Es werden nur an den Eckpunkten größere Fehler berechnet!! Fehlerberechnung: Maximaler rel. Fehler bei einem ausgewählten Punkt:eps(x,y) Fehler<0,1 25.03.2017 3

Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung Veränderung der länge als variable: Wie sieht das Ganze aus, wenn man das Gebiet auf eine realistische Geometrie [0,L] der Länge und Breite der Baguette ausdehnt? Wo käme ‚a‘ in die Formel rein? Veränderung der Variable: 25.03.2017

Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung Nach welcher Zeit erreicht die Baguette in der mitte 40 °C? Es dauert ca. 2 Stunden bis das Baguette komplett abkühlt. Für m=n=1 bis 15, erreicht die Stange nach 26 min 20 °C in der mitte. [°C] Temperatur der baguette nach 26 min für m und n bis 15 70 [°C] 25.03.2017

Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung Darstellung des Temperaturverlaufs für Gitter [20,20] [°C] T=26 min  Temperatur =40 °C Temperatur der Baguette nach 26 min für m und n=15. Temperatur der Baguette nach 56 min für m und n=15. [°C] T=56 min  Temperatur =16 °C 25.03.2017

Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung Ebenso kann die Verschiebung der Isolinien und Abkühlung der Baguette betrachtet werden! 70 [°C] a= 0.33 E-6 m²/s (feuchter Sandboden ) Temperaturleitfähigkeit: [m²/s] Wärmeleitfähigkeit Notwendige Parameter Dichte Spezifische Wärmekapazität Abhängig  Eigenschaften von Baguette 25.03.2017

Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung Auswertung der Temperaturverteilung anhand der expliziten Methode: Matlab programm : Function Iterativ_method_b Initialisierung,Randbedingungen und Anfangsbedingungen: [x,y] = meshgrid(linspace(0,dim_section,dim_grid)); U = 70*ones(dim_grid); U(:,end) = 0; U(end,:) = 0; U(:,1) = 0; U(1,:) = 10; Stabilitätskriterium definiert: alpha = (a*dt)/(dh^2); if alpha > 0.25 U_tot = NaN; ('!!! Stabilitätskriterium nicht erfüllt !!!!') Else Schleifen jeweils für die Zeit und i und j und dann wird die Temperatur gerechnet: U(i,j) = alpha*(U(i+1,j)+U(i-1,j)+U(i,j-1)+U(i,j+1)-4*U(i,j))+U(i,j); Bei einer expliziten methode wird zur Berechnung der Näherungswerte , nur Werte berücksichtigt die zeitlich vor dem zu berechnenden liegen. 25.03.2017

Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung Für ein 10cm viereckiges Baguette, mit a=0.33e-6m²/s, ein Zeit Schritt von 15 sec, erreicht das Baguette nach 5 min in der mitte 40°C! [°C] !!!!Problem!!!! Wenn wir das Gitter verfeinern kommen wir zu falschem Ergebniss. Baguette kühlt sich schneller ab. 25.03.2017

Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung Mit dem PDE-Tool von Matlab braucht man genauso lang, wie bei dem entwickelten Programm. Zusammenfassung Reihen Entwicklung Explizite methode Matlab PDE Tool 25.03.2017

Zusammenfassung und Fazit Die Auswertung für unterschiedliche Längen klappt anhand der entwickelten Programme ganz gut. Übereinstimmung der Ergebnisse aus dem iterativen und dem numerischen Verfahren. Ergebnisse aus dem Matlab PDE-TOOL übereinstimmen mit den Ergebnissen aus der Simulation. Auswertung der Wärmeleitungsgleichung durch explizite Methode soll evtl. noch verbessert und korrigiert werden. 25.03.2017

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit 25.03.2017