1.4.5 Zur Berechnung von F+ (1|7) Vor.: Relation r: (U | F); U Attributmenge, F  (U). Definition: Für A  U ist A+ die Menge aller von A funktional abhängigen Attribute: A+ ::= {b  U | A  b (r)}. SS2001 Relationentheorie Ó AIFB Damit gilt folgendes Lemma 1.3: Vor. wie oben; A, B  U. (1) A  B  F+  B  A+ (2) F+ = {A  B | A  U, B  A+} Beweis: klar

1.4.5 Zur Berechnung von F+ (2|7) Anmerkung zu Lemma 1.3 d.h. wenn man alle A+ hat, hat man im wesentlichen auch F+. Wie aufwendig: „alle A+ berechnen“? Wenn |U|=n, dann gibt es 2n verschiedene A+! Braucht man wirklich alle A+? Nein, im wesentlichen nur die A+, wo A linke Seite einer fA f  F: f = A Y  F (Y geeignet). SS2001 Relationentheorie Ó AIFB

1.4.5 Zur Berechnung von F+ (3|7) Beispiel 1-6: r: (a b c d e f g | F) F: a  b c a e  g a g  f b d  f b g  c c  a d e  a g  e Bsp.-Rechnungen (ab)+ = abcdf SS2001 Beweis (nächste Folie) (a)+ = abcdf c+ = cadbf g+ = geabcdf Relationentheorie Ó AIFB Andere Fragen: facd F+  berechne f+  ebcg F+  berechne e+ f+ = f - e+ = eabcgfd  weiter 73

1.4.5 Zur Berechnung von F+ (4|7) Beweis : ab  ab wg.(1) (aus Lemma 1.1) fA1: a bc (2) Erweiterungsregel mit ab ab abc  SS2001 ab  abc  (3) Transitivität fA6: c  ad (2) mit abc abc  abcd   (3) Relationentheorie Ó AIFB ab  abcd fA4: bd  f (2) abcd  abcdf  ab  abcdf  (3) fA 2, 3, 5, 7, 8 bringen nicht mehr dazu: (ab)+= abcdf s.71

1.4.5 Zur Berechnung von F+ (5|7) Algorithmus APLUS zur Berechnung von A+ begin A+ := A; //A+ wird sukzessive aufgebaut F‘ := F; //F‘ enthält „noch nicht abgehakte" fA‘s repeat A‘ := A+; // A‘ wegen Prüfung, ob sich A+ // noch verändert  f = X  Y  F‘ do if X  A+ then A+ := A+ Y // d.h. ergänze A+ F’ := F’ -f // „hake f ab“ endif end  until A+= A‘; // A+ ist jetzt vollständig aufgebaut end APLUS SS2001 Relationentheorie Ó AIFB

1.4.5 Zur Berechnung von F+ (6|7) Beispiel 1-7: r: (a b c d e f g | F) aus Beispiel 1-6 F = { a  bc, ae  g, ag  f, bd  f, bg  c, c  ad, e  a, g  e} Eine genauere Analyse ergibt: a b f SS2001 F, in vereinfachter Form erste Analyse zweite Analyse X a  b notwendig a  c ae  g ag  f ersetzbar durch g  f überflüssig bd  f bg  c ersetzbar durch g  c c  a c  d e  a g  e d Relationentheorie Ó AIFB e c g Ergebnis: F‘= angekreuzte fA‘s, F‘+= F+