Armstrong-Axiome (1) Es seien X, Y, W, Z Í AR. Basis:

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1 Armstrong-Axiome (1) Es seien X, Y, W, Z Í AR. Basis:
Reflexivität: Falls Y Í X, dann X  Y. X bestimmt jede Untermenge von sich selbst funktional. Spezialfälle: Y = X (X  X), Y = Ø (X  Ø). Beispiel: Wegen GeoName Í (GeoName Material Gewicht) folgt (GeoName Material Gewicht)  GeoName. Expansivität: Falls X  Y, Z Í W, dann XW  YZ. Hinzufügen von Attributmengen auf beiden Seiten erhält die Abhängigkeit, falls rechts eine Untermenge der linken Seite steht. Spezialfälle: Z = W (XW  YW), Z = Ø (XW  Y) Beispiel: Wegen FID  Farbe und GeoName Í (GeoName Material Gewicht) folgt (GeoName Material Gewicht FID)  (GeoName Farbe).

2 Armstrong-Axiome (2) Transitivität: Falls X  Y und Y  Z, dann X  Z. Funktionale Abhängigkeiten pflanzen sich transitiv fort. Beispiel: Aus GeoName  Material und Material  Dichte folgt GeoName  Dichte. Einschub: Transitive Abhängigkeit von Attributen: R Î Rm ; X, Y Í AR Y heißt transitiv abhängig von X, wenn gilt: $ Z Í AR, Y  Z : (X  Z  Z  Y  (Z  X)). Beispiel: GeoName  Dichte ist transitive Abhängigkeit in der Relation KomplGeoKörper. /

3 Armstrong-Axiome (3) Ableitungen:
Vereinigung: Falls X  Y und X  Z, dann X  YZ. Ableitung: YX  YZ aus X  Z über Expansivität XX  YX aus X  Y über Expansivität XX  YZ über Transitivität XX = X und somit X YZ Folge: Mehrere funktionale Abhängigkeiten mit gleicher linker Seite können zusammengefasst werden Beispiel: Aus GeoName  Material und GeoName  Gewicht folgt GeoName  (Material Gewicht).

4 Armstrong-Axiome (4) Dekomposition: Falls X  YZ, dann X  Y und X  Z. Ableitung: YZ  Y und YZ  Z wegen Reflexivität Aus X  YZ folgt X  Y und X  Z wegen Transitivität Beispiel: Aus GeoName  (Material Gewicht) folgen GeoName  Material und GeoName  Gewicht. Pseudotransitivität: Falls X  Y und WY Z, dann XW  Z. XW YW aus X Y wegen Expansivität XW  Z aus WY  Z und Transitivität (YW = WY) Beispiel: Aus FID  GeoName und (GeoName Farbe)  FID folgt (FID Farbe)  FID.