Die Beziérkurve Adrian Lehmann Mohrenstr. 39 · 10117 Berlin · Tel. +49 30 203 72 0 · www.wias-berlin.de · 25.03.2017

Allgemeines und Geschichte Inhalt Allgemeines und Geschichte Definition Eigenschaften Beispiele Die Beziérkurve · 25.03.2017 · Seite 2

Allgemeines und Geschichte parametrisch modellierte Kurve Werkzeug für Vektorgrafiken in Computergrafik wegen mathematischer Leichtigkeit und geometrischer Eleganz besteht aus relativ einfacher Formel, nicht aus Pixeln wurde zum Anfang der 1960er von Pierre Bézier und Paul de Casteljau entdeckt Die Beziérkurve · 25.03.2017 · Seite 3

Definition Bezierkurve n-ten Grades besitzt n+1 Kontrollpunkte, die das Kontrollpolygon bilden Die Beziérkurve · 25.03.2017 · Seite 4

Kurve liegt innerhalb der konvexen Hülle des Kontrollpolygons Eigenschaften Kurve liegt innerhalb der konvexen Hülle des Kontrollpolygons geht durch Endpunkte P0 und Pn C(0)=P0 C(1)=Pn Kurve wird von Gerade höchstens so oft geschnitten wie Kontrollpolygon Kontrollpunkte auf einer Gerade → Strecke Einfluss eines Kontrollpunkts ist global Die Beziérkurve · 25.03.2017 · Seite 5

Beispiel 1: Lineare Beziérkurve 2 Kontrollpunkte P0 und P1 bestimmen Kurve, entspricht Gerade zwischen den Punkten Die Beziérkurve · 25.03.2017 · Seite 6

Beispiel 2: Quadratische Beziérkurve n=2 durch Funktion C(t) für P0,P1 und P2 verfolgt Die Beziérkurve · 25.03.2017 · Seite 7

Beispiel 3: Kubische Kurven Bestimmt von 4 Punkten P0 bis P3 P1 legt fest in welche Richtung die Kurve in P0 geht P2 legt fest aus welcher Richtung die Kurve zu P3 geht Abstand von P0 und P1 bzw P2 und P3 bestimmen wie weit sich Kurve in Richtung P1/P2 bewegt bevor sie in Richtung P3 läuft Die Beziérkurve · 25.03.2017 · Seite 8

Beispiel 3: Kubische Kurven Die Beziérkurve · 25.03.2017 · Seite 9

Beispiel 3: Kubische Kurven Die Beziérkurve · 25.03.2017 · Seite 10

Beziérkurve 4. Grades Die Beziérkurve · 25.03.2017 · Seite 11

Beziérkurve 5. Grades Die Beziérkurve · 25.03.2017 · Seite 12

Gebrochenrationale Beziérkurven Vereinfacht: Beziérkurve, deren Kontrollpunkte mit Anziehungskraft versehen sind Die Beziérkurve · 25.03.2017 · Seite 13

Gebrochenrationale Beziérkurven Die Beziérkurve · 25.03.2017 · Seite 14

Eckpunkt Die Beziérkurve · 25.03.2017 · Seite 15

Glatter Punkt Die Beziérkurve · 25.03.2017 · Seite 16

Symmetrischer Punkt Die Beziérkurve · 25.03.2017 · Seite 17