Gruppenmitglieder des Leistungskurs Mathe ABI 09 Matheprojekt Gruppenmitglieder des Leistungskurs Mathe ABI 09 Celina Schneider Johanna Petersen Liuyi Dai Franziska Andresen

Teil 1 Unsere Wahl: Eine Milchtüte Besitzt eine Milchtüte die optimalen Maße? Inhalt der Tüte: 1 Liter

Errechnung der optimalen Maße 1) Skizze einer Milchtüte h a

2) Zielfunktion 3) Nebenbedingung [Oberfläche = O] O = 2(h a + h a + a²) 3) Nebenbedingung h a

4) Verbesserte Zielfunktion

5) Berechnung des Minimums Bedingung : O‘(a) = 0 ; O‘‘(a) > 0 O‘(a) = 0 0 = 4a – 4000a | a² 0 = 4a³ - 4000 | : 4 0 = a³ - 1000 | + 1000 1000 = | 10= a Überprüfung O‘‘(10) = 12 > 0 T !

6) Weitere Werte

Antwort auf die Frage nach den optimalen Werten Die Verpackung wäre ideal, wenn sowohl Länge, als auch Breite und Höhe 10 cm betragen würden. Die wirklichen Maße von 19,6 cm Höhe und 7 cm Breite, bzw. Länge stimmen also nicht mit den optimalen Maßen überein.

Um alle Dinge zu berücksichtigen, die für die Herstellung einer Milchpackung verwendet wurden, müssen Ränder für die Klebestreifen (in der folgenden Zeichnung grün markiert) berechnet werden. Wir haben den neuen Materialverbrauch unter Berücksichtigung eines konstanten Wertes von 0,7cm für die Klebestreifen benutzt.

Wenn man sich eine Milchtüte genau anschaut, fällt auf, dass nicht nur Klebestreifen zu berücksichtigen sind, sondern auch seitlich weggeknickte Seiten, die auch mit in den Materialverbrauch hineinzählen. Dieser „Überschuss“ an Material ist in der folgenden Zeichnung ebenfalls grün markiert. Wir stellen uns nun die Frage, wie groß der optimale Materialverbrauch wäre!

_______________e___________________

Annahmen _______e_________ d = 0, 7 cm e = 4a + d c = f = h +a+ 2d O = Materialverbrauch

O= O= 4ha + 4a² + 8ad +hd +ad +2d² 1) Zielfunktion O= O= 4ha + 4a² + 8ad +hd +ad +2d² 2) Nebenbedingung V = 960 cm³ (Nach unseren Messungen scheinen nur 960 cm³ hinein zu passen. Die restlichen 40 cm³ befinden sich vermutlich in den Ausbuchtungen der Milchtüte.) V = a² h 960 = a² h 960 = h a²

3) Verbesserte Zielfunktion: O = 4 960 a+4a²+8 0,7a+960 0,7+0,7a+0,98 a² a² O = 3840 +4a²+5,6a+672+0,7a+0,98 a a² O = 4a²+6,3a+0,98+3840+672 a a²

4) Extrempunkte Bedingung: O‘=0 und O‘‘> 0 O‘= 8a+6,3-3840a -1344a

Notwendige Bedingung 8a + 6,3 –3840a -1344a = 0 | a³ 8a + 6,3a³ - 3840a – 1344 = 0 a= 7, 69 cm

5) Überprüfung O‘‘(7,69) = 26, 04 > 0 => lokale Minimumstelle

6) Weitere Werte 960 = h a² 960 = h (7, 59)² 16,23 = h (cm)

7) Neue Berechnung des Materialverbrauchs O = 4a²+6,3a+0,98+3840+672 7,69 (7, 69)² O = 796, 68 (cm²)

Ergebnis Der Materialverbrauch der Milchindustrie ist nur etwas höher, als der errechnete optimale Verbrauch und das lässt sich dadurch erklären, dass bei Lebensmittelverpackungen auch die Hygiene mit im Vordergrund steht. Fazit: Die Milchindustrie nutzt die für sie und uns optimale Verpackung.