Vorlesung Prozessidentifikation Deterministische zeitdiskrete Signale Ermittlung des Übertragungsverhaltens 3. Mai 2002 Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes Fachbereich Elektrotechnik Goebenstr. 40 66117 Saarbrücken April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.1

Lineare zeitdiskrete Systeme Fortschritte der Rechnertechnik / Integration von Schaltkreisen Microcomputer und Halbleiterspeicher -> direkte Auswirkung auf RT Entwicklungsphasen (Zentralisierung) Multiplexen der „teuren“ Hardware Ausnutzen der Hardware für verschiedene Prozesse Nacheinanderfolgendes Umschaltung auf verschiedene Messstellen und Stelleinrichtungen / Prozessrechner = Regler April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.2

Entwicklung und Trend Entwicklung der Hardware Erhöhung der Transistorenanzahl bei der Chip-Herstellung Preisverfall elektronischer Komponenten (Speicher, Microprozessoren, A/D-Wandler, D/A-Wandler) Verteilte Systeme (Intelligenz in Sensorik, Datenvorverarbeitung, Verfügbarkeitserhöhung, Intelligenz in Aktorik (Stellglieder)) April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.3

Vorteile digitaler Signale vs. Kontinulierliche Signale in der RT Leistungsverbesserung der Regelung mit Anpassung von Regelalgorithmen Optimierung von Kenngrößen Gütekriterien für Messgrößen Führungsgrößenberechnung April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.4

Diskretisierung kontinuierlicher Signale Digitalisierung erfolgt in Zwei Schritten: Abtastung Quantisierung Abtastung: Zu definierten Zeitpunkten äqui- distante Abstände) wird von s(t) ein Signalwert erfaßt. Abtastzeit T Quantisierung: Kontinuierliche Signalwerte werden definierten Wertebereich zugeordnet. Reihenfolge der Schritte ist tauschbar! April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.5

Digitalisierung 7uo 6uo 5uo 4uo 3uo 2uo uo Digitalisierung bedeutet: kontinuierlichen Verlauf hinsichtlich Zeit und Wert eingeschränkt zu beschreiben. Aus dem kontinuierlichen Signalverlauf entsteht eine diskrete Wertfolge zu definierten Zeitpunkten nT mit n = 0,1,2,3,4,.... April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.6

Realisierung der Digitalisierung Die Operationen Abtasten und Quantisieren sind Aufgaben des A/D-Wandlers! Wichtig für die Abtastung ist, das die Abtastzeit der Dynamik des Signalverlaufes angepaßt wird. Abtasttheorem Tab > 1/2fg April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.7

Rückwandlung digitaler Signale in kontinuierliche Signale Abtastung: periodische Abtastung / Impulsfolge im Abstand Abtastzeit / Eingangssequenz für Prozessmodell Prozessmodell: Algorithmus / Errechnung der Ausgangssequenz Berechnung benötigt Bearbeitungszeit Tr Kern des Regelkreises / Prozessrechner Ausgangssequenz: Durch Modell entsteht modifizierte Signalfolge yd(kTo) -> ud(kTo) April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.8

Mathematische Beschreibung xa(t) x(t) xa(t) = x(t) Σδ(t-kT) = Σx(t) δ(t-kT) = Σx(kT) δ(t-kT) Es gilt: x(t) δ(t-kT) = x(kT) δ(t-kT) Dirac-Stossfolge siebt den Funktionswert an der Stelle heraus, bei der das Argument (t-kT) zu O wird, d.h. für alle t = kT x(t) Σx(kT) δ(t-kT) = xa(t) Durch Abtastung April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.9

Zeitdiskrete Signale / Sprungantwort Voraussetzung LTI-System u(k) g(k) G(s) y(k) ges: y(k) = f(g(k), u(k)) vgl. y(t) = f(g(t), u(t)) -> Y(s) = G(s) U(s) u(k) = u*(t) = Σu(kT) δ(t-kT) = u(0) δ(t) + u(T) δ(t-T) + u(2T) δ(t-2T) + ... Transformation in den Frequenzbereich: U*(s) = u(0) 1 + u(T) e-sT + u(2T)e-s2T + .... + u(kT)e-skT + ..... Y(s) = G(s) U*(s) = u(0)G(s) + u(T)G(s)e-sT + u(2T)G(s)e-s2T + ... + u(kT)G(s)e-skT + ..... Rücktransformation y(t) = u(0)g(t) + u(T)g(t-T) + .... + u(kT)g(t-kT) + ..... + April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.10

Sprungantwort für definierte Zeiten y(t) = u(0)g(t) + u(T)g(t-T) + .... + u(kT)g(t-kT) + ..... + Es interessiert das Verhalten zu den Abtastzeitpunkten t=mT y(t=mT) = u(0)g(mT) + u(T)g(mT-T) + ... + u(kT)g(mT-kT) + .... + Verallgemeinerung für T = 1: y(m) = u(0)g(m) + u(1)g(m-1) + u(2)g(m-2) + ... +u(k)g(m-k) + .... y(m) = Σu(k)g(m-k) k= Alle Funktionen u(k), g(k) und y(k) definiert nur für positive Argumente -> k läuft bis m Ergebnis: diskrete Faltungsoperation K=0 k=m K=0 April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.11

Zeitdiskrete Faltung y(t) = g(t) * u(t) = u(t)g(t-)d Faltung für kontinuierliche Signale k=m y(m) = Σu(k)g(m-k) Faltung für diskrete Signale K=0 Beispiel: u(k) Sprungfolge mit u(k) ={ g(k) Gewichtsfolge mit g(k) = { gesucht y(k) ? 0 für k<0 1 für k>= 0 0 für k<=0 ak für k> 0 und a = 0,5 April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.12

Beispiel zeitdiskrete Faltung u(k) g(k) Bildung aller Produkte für j-te Variable g(o)u(j); g(1)u(j-1); g(2)u(j-2) ........ g(j)u(0) Aufsummation aller Produkte g(x)u(y) mit x+y = j April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.13

Beispiel zeitdieskrete Faltung k=m y(m) = Σu(k)g(m-k) y(0) = u(0)g(0) y(1) = Σu(k)g(m-k) = u(0)g(1) + u(1)g(0) y(2) = Σu(k)g(m-k) = u(0)g(2) + u(1)g(1) + u(2)g(0) y(3) = Σu(k)g(m-k) = u(0)g(3) + u(1)g(2) + u(2)g(1) + u(3)g(0) y(m) = Σu(k)g(m-k) = u(0)g(m) + u(1)g(m-1) + u(2)g(m-2) +...+ u(m)g(0) K=0 k=1 K=0 k=2 K=0 k=3 K=0 k=m K=0 April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.14

Beispiel zeitdiskrete Faltung u(k) = { g(k) = { 0 für k<0 und k>=4 1 für 0 <= k < 4 g(0) = 1/20 = 1 g(1) = 1/21 = ½ g(2) = 1/22 = ¼ g(3) = 1/23 = 1/8 0 für k<=0 a-k für k > 0 mit a = 2 gesucht y(k): Diagramm / Berechnung Tafel y(0) = u(0)g(0) = 1 y(1) = u(0)g(1) + u(1)g(0) = g(0) +g(1) = 1,5 y(2) = u(0)g(2) + u(1)g(1) + u(2)g(0) = g(0) + g(1) + g(2) = 1,75 y(3) = u(0)g(3) + u(1)g(2) + u(2)g(1) + u(3)g(0) = g(0)+g(1)+g(2)+g(3) = 1,875 y(4) = g(1) + g(2) + g(3) + g(4) = 0,9375 Y(5) = g(2) + g(3) + g(4) + g(5) = 0,46875 Y(6) = g(3) + g(4) + g(5) + g(6) = 0,2343 April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.15

Beispiel zeitdiskrete Faltung u(t) Kontinuierliche Signale PT1 Glied Diskrete Signale April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.16

Zeitdiskrete Faltung Schreibweise in Matrixform k=m u(k) g(k) G(s) y(k) y(m) = Σu(k)g(m-k) K=0 Ergebnis der Faltung: y(0) = u(0)g(0) y(1) = u(0)g(1) + u(1)g(0) y(2) = u(0)g(2) + u(1)g(1) + u(2)g(0) y(3) = u(0)g(3) + u(1)g(2) + u(2)g(1) + u(3)g(0) Y(0) u(0) 0 0 .............. 0 g(0) Y(1) u(1) u(0) 0 ............... 0 g(1) Y(2) u(2) u(1) u(0) ........... 0 g(2) . .......................................... 0 . Y(j) u(j) u(j-1) u(j-2) .......... 0 g(j) . ......................................... 0 . Y(m) u(m) u(m-1) u(m-3) .... u(0) g(m) y kann aus Kenntnis der Gewichtsfolge und Eingangs- Folge bestimmt werden = * April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.17

Identifikation für diskrete Systemantwort k=m g(k) G(s) y(k) u(k) y(m) = Σu(k)g(m-k) K=0 Die Eingangsfolge und Ausgangsfolge sind bekannt. Gesucht ist die Gewichtsfolge des Übertragungssystem! Rückschluß der gemessenen Folge y(k) und u(k) auf die Gewichtsfolge Y(k) = U(k)G(k) in Matrix-Schreibweise Y, U und G G(k) = U-1(k)Y(k) In der Matrixschreibweise muß also die Matrix U(k) invertiert werden. -> Hoher Berechungsaufwand -> Anwendung Matrizenrechnung April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.18

Berechnung im diskreten Zeitbereich Ergebnis der diskreten Faltung: (1) y(0) = u(0)g(0) (2) y(1) = u(0)g(1) + u(1)g(0) (3) y(2) = u(0)g(2) + u(1)g(1) + u(2)g(0) (4) y(3) = u(0)g(3) + u(1)g(2) + u(2)g(1) + u(3)g(0) Bestimmungsgleichung zur Berechnung der Gewichtsfolge: Ermittlung g(0) aus (1): g(0) = y(0)/u(0) Ermittlung g(1) aus (2): g(1) = [y(1) – u(1)g(0)]/u(0) Ermittlung g(2) aus (3): g(2) = [y(2) –u(2)g(0)-u(1)g(1)]/u(0) Verallgemeinerung: g(j) = 1/u(0)[y(j) - Σu(k)g(j-k)] k=j K=1 April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.19

Matrixschreibweise g(0) 1 0 0 ................ 0 y(0) g(1) -u1/u0 1 0 ................ 0 y(1) g(2) -u2/u0+u12/u02 -u1/u0 1 ................ 0 y(2) . ......................................................................... y(3) . ......................................................................... y(4) = 1/u(0) * G(k) = U-1(k) Y(k) Bestimmung der inversen Matrix: Rekursive Lösung, da immer alle Vorgänger zur Bestimmung des j-ten Koeffizienten genutzt werden. April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.20

Ermittlung der Sprungantwort aus Kenntnis der Gewichtsfolge Für kontinuierliche Signale gilt: g(t) = dh(t)/dt -> h(t) = g()d Für diskrete Signale gilt: Integration wird auf Summation zurückgeführt t h(k) = Σg(j) j=k j=0 g(k) = { 0 für k<=0 a-k für k > 0 mit a = 2 g(0) = 1/20 = 1 h(0) = g(0) = 1 g(1) = 1/21 = ½ h(1) = g(0) + g(1) = 1,5 g(2) = 1/22 = ¼ h(2) = g(0) + g(1) + g(2) = 1,75 g(3) = 1/23 = 1/8 h(3) = g(0) + g(1) + g(2) + g(3) = 1,875 April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.21