Fraktale II

Der Star des Abends:

Fraktale: Der Plan Großer Rückblick auf Fraktale I Iteration: Feigenbaum Mandelbrot und Juliamengen Newtonfraktale Stellenwert der fraktalen Geometrie

Geometrie, eine kurze Geschichte Vom Geraden zum Krummen, Vom Einfachen zum Komplizierten

Euklid 325 – 265 v.Chr. Geometrie der Punkte, Geraden, Dreiecke, Kreise,… Links: Raphael, die Schule von Athen

Desargues 1591 – 1661 Projektive Geometrie

Mantegna, um 1500

Descartes 1596 - 1650 Analytische Geometrie

Gauss 1777 – 1855 Geometrie der gekümmten Flächen Nichteuklidische Geometrien

Riemann 1826 – 1866 Riemannsche Geometrie

Poincaré 1854 - 1912 Topologie, Geometrie der Verformungen Mit vielen Mitstreitern

Hilbert 1862 – 1943 Grundlagen der Geometrie (1899) Axiomatische Theorie

Mandelbrot Geb. 1924 Fraktale, Geometrie des Verfransten

Ein Problem Unterschiedliche Geometrien

Ein weiteres Beispiel Farn: Verfranst, selbstähnlich Tulpe: Glatt

Das Problem: Was unterscheidet einen Blumenkohl von einer Kugel? Was unterscheidet einen Farn von einer Tulpe?

Warhol: Pollock:

Salvatore Dali

Was sind Fraktale? Cantormenge

Cantormenge

Sierpinski-Korb

Mengers Schwamm

Pythagorasfraktal

Keine Fraktale

Fraktale in C

Barnsleys Farn

Ein Farn aus dem Saarland

Was sind Fraktale?

Was sind Fraktale? Fraktale sind geometrische Objekte: Selbstähnlich, verfranst, mit komplizierten Rändern

Selbstähnlichkeit Vergrößerungen von Teilen sehen aus wie das Ganze Zwei Beispiele: Das Schmidt-Fraktal Der Farn von Barnsley

Schmidt-Fraktal 1

Schmidt-Fraktal 2, 3

Barnsleys Farn

Verfranstheit Schwierig, lange diskutiert. Lösung: Fraktale Dimension

Dimensionsbegriffe Vektorraumdimension Topologische Dimension Hausdorffdimension

Topologische Dimension (Brouwer) Punkt: 0-dimensional Kurve: 1-dimensional Fläche: 2-dimensional Körper: 3-dimensional

Hausdorff 1868 – 1942 Grundzüge der Mengenlehre

Hausdorffs Überdeckungsdimension: Überdeckungen bei Maßstabsänderungen. Hier Flächenmaße, 2-dimensional 1 m2 = 102 dm2 = 1002 cm2

Eindimensional p=5 kleine Längeneinheiten N=5 Überdeckungen

Zweidimensional p = 4 kleine LE N = 16 = 42 ÜD

Zweidimensional p = 2 kleine LE N = 4 = 22 ÜD

Dreidimensional p = 3 LE N = 27 = 33 ÜD

Beliebige Dimension Dim p N 1 5 51 2 4 42 22 3 33 d pd N = Anzahl der Überdeckungen p = Teile der Einheit N = pd (näherungsweise für alle p)

Dimensionsbestimmung Wähle p, zähle N

Fraktale Dimension

Ein klassisches Monster

Klassisches Cantormonster

Koch-Kurve (1905)

Sierpinski-Dreieck

Mengers Schwamm (1926)

Wie entstehen Fraktale? (Kochkurve)

Methode I: Ersetzen

Methode 2: Multikopieren

Methode 3: Ausschneiden

Ein Riesenproblem Die Endprodukte sehen gleich aus. Sind sie auch gleich?

Wo leben die Fraktale? Man braucht einen vollständigen metrischen Raum. Die kompakten Teilmengen werden mit der Hausdorff-Metrik versehen. In dem entstehenden vollständigen metrischen Raum fühlen sich die Fraktale pudelwohl.

Fraktale und Iteration Reelle quadratische Funktionen: Verhuelst, Feigenbaum Komplexe quadratische Funktionen: Mandelbrot, Julia, Fatou

Verhuelst/Feigenbaum: Das logistische System Einfaches Bevölkerungsmodell Feigenbaum: Untersuchung mit Computern

Das Modell Wachstum einer Bevölkerung xn = Population im n-ten Jahr Maximum der Population = 1

Logistisches Modell Annahmen: xn+1  xn xn+1  1 – xn Also: xi+1 = r • xi • (1 – xi) r = Fruchtbarkeitsparameter

Einfache Mathematik: xn+1 = f(xn), f(x) = rx(1-x), 0<r< 4

Verhuelst: Start: 0,25, r = 1

Verhuelst: Start: 0,25, r = 2

Verhuelst: Start: 0,25, r = 3,3

Verhuelst: Start: 0,25, r = 3,5

Verhuelst: Start: 0,25, r = 3,6

Verhuelst: Start: 0,25, r = 3,9

Verhuelst: Start: 0,25001, r = 3,9

Das Feigenbaumdiagramm Wie entwickelt sich die Population nach langer Zeit für verschiedene Fruchtbarkeiten r?

Nach tausend Perioden 0 < r< 4

Nach tausend Perioden 3 < r< 4

Nach 2000 Perioden: r > 3,5

Nach 2000 Perioden: r > 3,8

Ähnlich im Komplexen: f(z) = z2 + c zi+1 = f(zn) Startwert: z0 (häufig 0), c komplexe Zahl Wie entwickelt sich zn für verschiedene c?

Die Zahl z = 3 + 2i

Die Gausssche Zahlenebene

Rechnen in C Addition, Subtraktion, Multiplikation: Ohne Probleme. Division leicht schwieriger. Geometrisch interpretierbar. Beispiel: Addition

Geometrische Addition

Eigenschaften von C C ist Körper: Man kann ungeniert rechnen. C ist vollständig: Die Ebene ist ohne Löcher. x2+1 = 0 ist in C lösbar. C ist nicht angeordnet! C ist „bewertet“, dies sind bestimmte Eigenschaften des Abstandes der Zahlen zum Nullpunkt. C ist dadurch einzigartig.

Quadratische Iteration in C f(z) = z2 + c zn+1 = f(zn) Startwert: z0 (häufig 0), c komplexe Zahl Wie entwickelt sich zn für verschiedene c?

Was kann passieren? f(z) = z2 + c zn+1 = f(zn), Startwert z0 gegeben (zn) kann konvergieren gegen Unendlich gehen periodisch sein chaotisch sein

Beispiel: z0 = 0, f(z) = z2 +1/8

Beispiel: z0 = 0, f(z) = z2+1 n zn 0 1 1 2 2 5 3 26 4 677 5 458330

Mandelbrotmenge M f(z) = z2+c, abhängig von z0 Mideal (z0)= {c|zn hat einen Grenzwert} Mreal (z0) = {c| |z1000| < 2} (vereinfacht)

M(0) (nach Zeitler u.a.)

Farben: Farbwert abhängig von der Anzahl der Iterationen, bis |zn|≥2: „Ballistische Fraktale“ Einige Beispiele:

M, z0 = 0

M, z0 = 0,5

M, z0 = -0,5

M, z0 = -0,5i und z0 = 0,5i

Eigenschaften von M(0) Symmetrie bzgl. der reellen Achse Schnitt mit R = [-2,1/4] M(0) ist einfach zusammenhängend (keine Inseln, keine Löcher) Der Rand ist fraktal, fraktale Dimension 2

Andere Farben:

Andere Farben:

Julia 1893 – 1978 Arbeiten über Iteration reeller Funktionen

Juliamenge J f(z) = z2 + c, abhängig von c Jideal(c) = {Startwerte| zn hat einen Grenzwert} Jreal(c) = {Startwerte| |z1000| < 2}

J(0,3+i0,6)

J(1)

J(-1)

J(i)

J-Mengen (Wikipedia)

Eigenschaften von J-Mengen Jede J-Menge ist nicht leer, kompakt , perfekt (gleich der Menge ihrer Häufungspunkte). Die Ränder sind fraktal.

J und M-Mengen Starker innerer Zusammenhang M(0) enthält einen Katalog aller J-Mengen

M- und J-Mengen (Zeitler)

Eine Verallgemeinerung

Newtonfraktale

Newton 1643 - 1727

Newton-Verfahren Näherungsweise Bestimmung von Nullstellen einer Funktion Klappt auch in C

Aus dem FS: Es gibt drei dritte Wurzeln von 1

N-Verfahren für z3 – 1 =0 Farbgebung nach Divergenz- Geschwindigkeit Die Ränder der Newtonmenge sind fraktal

N(z3-1)

N(z3-1) (Zoom)

Anwendung I: Bildkompression Aus 10 MB Tiff werden 3 MB BMP 500 KB GIF 100 KB JPG 70 KB FIF, beliebig skalierbar

Anwendung II: Virtuelle Welten Beispiel: Krieg der Sterne Anbieter: George Lucas

Weitere Anwendungen Druckersteuerung Wie überstehen Bäume Stürme? Fraktale Unternehmen? (Warnecke) Vorhersagen (Börsenkurse) Lindenmayer-Systeme

Lindenmayer-Systeme

Versuch einer Wertung Fraktale Geometrie: Gut zum Beschreiben, schlecht zum Erklären. Fraktale und Chaos (dynamische Systeme): Fraktale: Der geometrische Aspekt Chaos: Der dynamische Aspekt

Versuch einer Wertung Fraktale Geometrie: Chaos: Nicht mehr in, kaum neue Literatur, kaum neue Anwendungen. Chaos: Äußerst lebendig, hochkarätige Forschung.

Versuch einer Wertung Fraktale auf dem Computer: Sehr aktive Szene, Wettbewerbe, Ausstellungen im Internet. Auch fraktale Musik, Videos (Reisen durch Fraktale)

Literaturtipps Zeitler/Pagon: Fraktale Geometrie Vieweg 24,90 € Peitgen u.a.: The Beauty of Fractals Springer 2000 82,34 € Peitgen u.a: Bausteine des Chaos Fraktale Mandelbrot: Die fraktale Geometrie der Natur Birkhäuser 28,00 €

Wenn Sie mehr wissen wollen www.wickipedia.de: Da werden Sie geholfen. Spanky-Homepage Clifford Pickover Computergrafik an der TU Wien

Windowsprogramme Fractint (DOS-Version) Winfract Fdesign Ultrafract Xfract

Noch einige Fraktale

Oder

Zum Ende: Herzlichen Dank, auf fraktalisch, im Dialekt der IFS

Herzlichen Dank (auf fraktalisch)