Herzlich willkommen zur Mathe in Tholey Zahlen Herzlich willkommen zur Mathe in Tholey Heute: Von R nach C und darüber hinaus

Der ursprüngliche Hintergrund: Fraktale

Fraktal in C Mit Hilfe von komplexen Zahlen

Oder

Fraktal in H Mit Hilfe von „Quaternionen“, hyperkomplexen Zahlen

Nichts geht ohne komplexe Zahlen Also: Komplexe Zahlen und weitere Zahlbereiche

Ich weiß nicht, wie lange dies dauert. Der Plan Eine Wiederholung: Von N nach R Was ist eigentlich R? R ist perfekt, fast Aber: x2+1 = 0 ist in R nicht lösbar Imaginäre Zahlen, komplexe Zahlen und ihr Preis Was leisten komplexe Zahlen? Weitere Zahlen: H und O Noch mehr Zahlen: Robinson und Conway Ich weiß nicht, wie lange dies dauert.

Der Stil Das Roossche Axiom: Es gibt keine dummen Fragen, es gibt nur dumme Antworten. Fragen, Kommentare sind immer erwünscht.

Zahlen N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ....}: Natürliche Zahlen Subtraktion Ganze Zahlen

Zahlen Z = {.., - 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..}: Ganze Zahlen Division Q = {Brüche}: Rationale Zahlen („Quotienten“)

Die rationale Welt des Pythagoras 569– 475 v.Chr. Mathematiker, Philosoph, Zahlenmystiker.

Es gibt Zahlen, die keine Brüche sind

Neue Zahlen müssen her: Reelle Zahlen, R

R aus Q, wie geht das? Man muss die Löcher auf der Zahlengeraden stopfen: „Vervollständigung“ Methoden: Cauchy-Folgen, Intervallschachtelungen, Dedekind-Schnitte.

Welche Eigenschaften bestimmen R? In R kann man normal rechnen: R ist ein Körper (K) Alle Zahlen der Zahlengeraden kommen vor, keine Löcher: R ist vollständig (V) Man weiß, was links und rechts (des Nullpunkts) bedeuten: R ist angeordnet (A)

K: Normales Rechnen, Regeln der Addition (G,+) a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) a + 0 = a, 0 ist neutral a + x = 0 eindeutig lösbar (x = -a) Statt a + (-b) schreibt man a – b.

K: Normales Rechnen, Regeln der Multiplikation (G, ·) a · b = b · a (a · b) · c = a · (b · c) a · 1 = a, 1 ist neutral a · x = 1 ist eindeutig lösbar (a ≠0, x = a-1). Statt a · (b)-1 schreibt man a /b.

K: Normales Rechnen, Regeln des Ausmultiplizierens (D) a ·(b + c) = a ·b + a ·c

Welche Eigenschaften bestimmen R? In R kann man normal rechnen: R ist ein Körper (K): Ok Alle Zahlen der Zahlengeraden kommen vor, keine Löcher: R ist vollständig (V) Man weiß, was links und rechts (des Nullpunkts) bedeuten: R ist angeordnet (A)

V: Die Zahlengerade wird erfasst Alle Punkte der Zahlengeraden sind Zahlen, es gibt keine Löcher. Technisch anspruchsvoll. Es geht nicht ohne Grenzwerte.

Welche Eigenschaften bestimmen R? In R kann man normal rechnen: R ist ein Körper (K): Ok Alle Zahlen der Zahlengeraden kommen vor, keine Löcher: R ist vollständig (V): Ok Man weiß, was links und rechts (des Nullpunkts) bedeuten: R ist angeordnet (A)

A: Die Zahlengerade ist angeordnet (A1): Für jede Zahl x gilt: Entweder x = 0 oder x >0 oder -x > 0. (A2) Aus a > 0 und b > 0 folgt: a + b > 0 (A3) Aus a > 0 und b > 0 folgt: a ∙ b > 0

Welche Eigenschaften bestimmen R? In R kann man normal rechnen: R ist ein Körper (K): Ok Alle Zahlen der Zahlengeraden kommen vor, keine Löcher: R ist vollständig (V): Ok Man weiß, was links und rechts (des Nullpunkts) bedeuten: R ist angeordnet (A): Ok

R ist einmalig Es gibt nur ein R: Jede Struktur, die K, V, A erfüllt, ist gleich R. Aber: R hat kleine Mängel:

Ein Mangel Einfachste Gleichungen sind nicht lösbar: x2 – 1 = 0: Zwei Lösungen x2 + 1 = 0: Keine Lösung oder sind wir zu dumm?

Satz: x2 + 1 = 0 ist in R nicht lösbar. Beweis: x = 0 ist keine Lösung; Für x≠0 gilt: x2 > 0 1 = 12 > 0 Es folgt (A2): x2 + 1 > 0 In R gibt es keine √-1

Die hemdsärmelige Lösung:

Schöne neue Welt: Jede quadratische Gleichung ist lösbar. Ein Beispiel:

Ein Beispiel

Ein kühner Täter: Cardano 1501 – 1576 Mathematiker, Arzt Klaute Tartaglia die berühmte Formel Rechnete mit Wurzeln aus negativen Zahlen

Auch er kühn: Bombelli 1526 – 1572 Lehrte als erster formal korrektes Rechnen mit komplexen Zahlen

Ein Skeptiker: Descartes 1596 – 1650 Der große Philosoph und Mathematiker. Rechnete richtig mit komplexen Zahlen, gab zu, dass man noch keine Vorstellung von diesen Objekten habe.

Ganz skeptisch: Newton 1643 – 1727 Einer der Größten. Deutete das Auftreten komplexer Lösungen als Zeichen für Unlös- barkeit eines Problems

Genial: Euler 1707 - 1783 Größter Mathematiker seiner Zeit Rechnet unbefangen, intuitiv richtig, souverän in C.

Eine von Eulers Großtaten

Der Trick: Ersetze x durch ix

Eulers berühmteste Formel

Offen: Wo liegt C? Wo lebt i? Sicher nicht auf der Zahlengeraden. Wo leben die komplexen Zahlen? Die Antwort von Gauss

Gauss 1777 – 1855 Der größte Mathematiker

Multiplikation mit -1 (-1)·1 = -1: Drehung um 180° (-1)·1=i2 ·1 =i(i ·1) Zweifache Multiplikation mit i

Multiplikation mit i Multiplikation mit i: Drehung um 90° 1·i = i, also ist i die Einheit auf der y-Achse, der imaginären Achse

Die Zahl z = 3 + 2i

Die Gausssche Zahlenebene

Rechnen in C Addition, Subtraktion, Multiplikation: Ohne Probleme. Geometrisch interpretierbar Beispiel: Addition

Geometrische Addition

Division in C

Eigenschaften von C C ist Körper: Man kann ungeniert rechnen. C ist vollständig: Die Ebene ist ohne Löcher. x2+1 = 0 ist in C lösbar. C ist nicht angeordnet! C ist „bewertet“, dies sind bestimmte Eigenschaften des Abstandes der Zahlen zum Nullpunkt. C ist dadurch einzigartig.

Beispiel:Polynome (normiert) P1(x) = x + 3 = x1 + 3 P2(x) = x2 + 4x + 13 P3(x) = x3 + 4 x2 - 12x + 18 P4(x) = x4 - 4 x2 + 7x + 42

Formeln für Nullstellen: Grad N: N = 1: x1 + p = 0 N = 2: x2 + px + q = 0 N = 3: x3 + px2 + qx +r = 0 N = 4: x4 + px3 + qx2 + rx + s = 0

N = 2: x2 + px + q = 0

N = 4: x4 + px3 + qx2 + rx + s = 0 Formel bekannt (nach 1700), sehr groß! N = 5?

Nils Abel 1802 – 1829, Norweger, lebte ein kurzes Leben in großer Armut, Mathematiker, genial. 1824: Für N=5 kann es keine Formel geben

Evariste Galois 1811 – 1832 Ein kurzes, schwieriges Leben. Genial: Seine Galois- Theorie Man zeigt damit: Keine Formel für n≥5.

Aber: Fundamentalsatz der Algebra (FS) Satz: (Gauss, Euler, Argand, …) Ein Polynom n-ter Ordnung besitzt N Nullstellen in C . Fürs Leben: Es gibt Dinge, die man nie bekommen kann.

Trost für Praktiker Näherungslösungen für Nullstellen: Newton-Verfahren, Fixpunktmethoden, klappen auch bei komplexen Funktionen, die „Regula Falsi“ klappt nicht!

Aus dem FS: Es gibt drei dritte Wurzeln von 1

Als Appetizer: Ein Fraktal, bei dem dritte Wurzeln, und das Newtonverfahren wichtig sind.

Für Bildungshungrige: Anwendungen von C Mathematik: Funktionentheorie Analytische Zahlentheorie (ζ-Funktion) Physik: Relativitätstheorie (Minkowski-Raum) Quantentheorie (Schrödinger-Gl.) Strömungsmechanik Technik: Wechselstrom (man schreibt j statt i) MP3

Weitere Zahlen? Zahlen auf der Geraden: R Zahlen in der Ebene: C Zahlen im Raum? Dreidimensionale Zahlen? Was erwarten wir von Zahlen?

Erwartungen an Zahlen: Die Grundrechnungsarten müssen klappen. Es darf keine Löcher geben. (Vollständigkeit) Zahlen haben eine Größe (Länge, Betrag) Bremse: Division (vollst. Divisionsalgebren, sehr modern)

Heinz Hopf 1894 – 1971 Für mich einer der ganz Großen. Sein Ergebnis: Richtige Zahlen haben die Dimension 1, 2, 4 oder 8. Also: Keine Zahlen im Raum

William Rowan Hamilton 1805 – 1865, Ire Mathematiker, Physiker Arrogant, starrsinnig, ließ nur Gauß und Grassmann gelten 1843: Quaternionen, 4-dimensionale Zahlen

Quaternionen u=-3 + 4i – 6j + 3k v= 2 + 3i + 8j - 8k u+v= Übliches Rechnen

Quaternionen: H in der Math.: H steht für „hyperkomplexe Systeme“ In H gilt nicht: ab = ba (Kommutativgesetz) H ist eindeutig bestimmt Fundamentalsatz der Algebra in H Viele Funktionen möglich in H, z.B ez

Anwendungen Dirac-Gleichung (alternativ: Paulimatrizen) Beschreibung von Drehungen im Raum mittels H Computergrafik (Spiele, Fraktale, Quat 3D) Hamilton hat die Bedeutung von H total überschätzt (Prüfungsfach in Dublin!)

Cayley 1821 – 1895 Matrizenalgebra Fand 1845 die Oktaven, 8-dim. Zahlen (1843 schon von Graves beschrieben)

Oktaven: 8-dim. Zahlen (O) Die Regeln ab = ba (Kommutativgesetz) (ab)c = a(bc) (Assoziativgesetz) gelten nicht. O ist eindeutig bestimmt. Keine wichtigen Anwendungen, just for fun!

Zahlen nach Dimension und ihr Preis: 1-dimenional: Reelle Zahlen 2-dimensional: Komplexe Zahlen, Verlust der Anordnung 4-dimensional: Quaternionen, Verlust von ab = ba 8-dimensional: Oktionen, Verlust von (ab)c = a(bc) Mehr gibt es nicht in dieser Art, wenn man dividieren will.

Ist dies wirklich alles? Natürlich nicht. Gegenmodelle: Non-Standard-Analysis Schmieden, Laugwitz, Robinson Spieltheoretische Modelle Conway-Spiele p-adische Zahlen (Hensel) Aber: Man zahlt immer einen Preis!

Abraham Robinson 1918 – 1974 Deutsch-jüdischer Mathematiker Emigration 1933 Wichtige Beiträge zur angewandten Math.

Non-standard Analysis Robinson 1961 nach Vorarbeiten von Schmieden, Laugwitz 250 Jahre nach Leibniz „Infinitesimale“ Technisch schwierig (Ultrafilter, spezielle Maße)

Conway Geb. 1937 in Liverpool Höchst kreativ: Geometrie, Gruppentheorie

Conway: Zahlen und Spiele Zwei Ideen (1976): Neue Dedekindschnitte Ordnung: Durch Spiele Vorteile: Infinitesimale, geht schnell, aber: Verdammt anspruchsvoll, vor allem technisch.

Wenn Sie mehr wissen wollen www.wickipedia.de: Da werden Sie geholfen. Zur Geschichte der Mathematik: The MacTutor History of Mathematics archive

Literaturtipps: Ebbinghaus et al.: Zahlen Springer 2000 39,95 € Conway/Guy: Zahlenzauber Birkhäuser 1997 vergriffen Berlekamp, Conway: Gewinnen.. Vieweg 1985 vergriffen

Fragen? Ich bitte darum.

Wie geht’s weiter? Fraktale: Der zweite Teil, Apfelmännchen und Co. Mit vielen Bildern, einfacher als heute. Wahrscheinlichkeitsrechnung: Was ist das? Mathe in Tholey wird weiter gehen, wenn Sie dies wünschen!

Zwei kleine Bitten: Teilen Sie uns mit, wie Sie unsere Veranstaltungen erleben. Schicken Sie Frau Backes-Burr oder mir eine kleine Bewertung. Schicken Sie uns Verbesserungsvorschläge.

Mathe ist einfach prima Vielen Dank!