Zahlen I Von den natürlichen Zahlen zu den komplexen Zahlen und darüber hinaus. Heute: Bis zu den reellen Zahlen

Der Hintergrund: Fraktale

Wo sind die wunderbaren, auch farbigen Bilder?

Oder

Nichts geht ohne Kenntnis der komplexen Zahlen Also: ein Vortrag über Zahlen am 7.Juli, so richtig mathematisch, unverständlich. Erscheinen Sie pünktlich!

Leopold Kronecker 1823 – 1891, bedeutender Zahlentheoretiker: Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk

Richard Dedekind 1831 – 1916, u.a. Zahlentheoretiker 1887: Was sind und was sollen die Zahlen?

Dedekinds Standpunkt Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als ein Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und schärfer aufzufassen

Zahlen: Der Plan Natürliche Zahlen, Peano Von N zu Z Rationale Zahlen Die schwierigen reellen Zahlen C: Eulers kühnes Vorgehen Rechnen in C Größere Zahlbereiche

Natürliche Zahlen: N 1, 2, 3, 4, 5, 6, …… Oder 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….. Geschmacksfrage!

Guiseppe Peano 1858 – 1932 Einfach genial, Grundlagen der Mathematik, Analysis, …. Schaffte den lieben Gott ab.

Peanos N N ist eine Menge mit (P1) 1 ist eine natürliche Zahl (P2) Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger (n+1) (P3) 1 ist kein Nachfolger (P4) Verschiedene Zahlen haben verschiedene Nachfolger !

Peanos N (P5) M sei eine Teilmenge von N mit (1) 1 ist Element von M (2) Gehört eine Zahl zu M, dann auch deren Nachfolger. Dann gilt

(P5)

Peanos N (P5) M sei eine Teilmenge von N mit (1) 1 ist Element von M (2) Gehört eine Zahl zu M, dann auch der Nachfolger. Dann gilt M = N. Prinzip der vollständigen Induktion!

Peanos N, allgemeiner N ist eine Menge mit (P1) Es gibt ein Element a in N (P2) Jedes Element hat einen Nachfolger (P3) a ist kein Nachfolger (a ist erstes Element) (P4) Verschiedene Zahlen haben verschiedene Nachfolger !

Peanos N, allgemeiner (P5) M sei eine Teilmenge von N mit (1) a ist Element von M (2) Gehört eine Zahl zu M, dann auch deren Nachfolger. Dann gilt M = N. Prinzip der vollständigen Induktion!

Unendliche viele Modelle von N 1, 2, 3, 4, 5, ….. 0, 1, 2, 3, 4, …… -3, -2, -1, 0, …. 42, 43, 44, 45, ….. Entscheidend: Es gibt einen Anfang. Bei uns heißt der Anfang 1.

Eigenschaften von N N ist eindeutig (bis auf „Isomorphie“). Es gibt eine Addition „+“ und eine Multiplikation „•“ N ist die kleinste unendliche Menge

John von Neumann 1903 – 1957, genialer Mathematiker, Arbeitsgebiete u.a.: Funktionalanalysis, Informatik

Von Neumanns Modell von N 0 = |{}| 1 = |{0}| 2 = |{0,1}| 3 = |{0,1,2}| 4 = …. Eigentlich viel komplizierter: Erinnern Sie sich der Häuptlingsmethode?

Erster Beweis mit vollständiger Induktion Francisco Maurolico 1494 – 1575 Sein Beispiel folgt.

Beweise mit vollständiger Induktion Blaise Pascal 1623 – 1662 Eigenschaften des Pascalschen Dreiecks.

Eine Beobachtung 1 = 1 1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Eine Vermutung Die Summe der n ersten ungeraden Zahlen ist gleich n2. 1 + 3 + 5 + …. + (2n-1) = n2. Dies gilt für jede natürliche Zahl n.

(P5)

Der Beweis Beh.: 1 + 3 + 5 +…+ (2n-1) = n2. Beweis: Induktionsverankerung: n = 1 (2 – 1) = 12. Das stimmt.

Der Beweis Beh.: 1 + 3 + 5 +…+ (2n-1) = n2. Der Schluss von n auf n+1: Vor.: 1 + 3 + 5 +…+ (2n-1) = n2 Beh.: 1 + 3 + 5 +…+ (2n-1) + (2n+1) = (n+1)2 Bew.:

Der Beweis Beh.: 1 + 3 + 5 +…+ (2n-1) = n2. Der Schluss von n auf n+1: Vor.: 1 + 3 + 5 +…+ (2n-1) = n2 Beh.: 1 + 3 + 5 +…+ (2n-1) + (2n+1) = (n+1)2 Bew.: 1 + 3 + 5 +…+ (2n-1) + (2n+1) = n2 + (2n+1) = (n +1)2. Fertig!

Eine Bewertung Eine sichere Beweismethode. Aber: Man braucht eine Behauptung. Der Beweis fördert kaum die Einsicht.

Definition durch vollst. Induktion Beispiel: A(n) wird festgelegt durch: A(1) = 1, A(n+1) = A(n)+2n+1, n natürl. Zahl

Berechnung der A(n) A(1) = 1, A(n+1) = A(n)+2n+1, n natürl. Zahl

Was Sie längst wussten: A(n) = n2 Hintergrund: (n+1)2 = n2+2n+1 A(n+1) = A(n)+2n+1

Die berühmteste Definition Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci 1170 – 1250 Fulminanter Mathematiker

Fibonacci Zahlen F(1) = 1 F(2) = 1 F(n+1) = F(n) + F(n-1), n = 2,3,4,.. Lösung des „Kanickelvermehrungsproblems“

Fibonacci-Zahlen F(1) = 1 F(2) = 1 F(3) = 2 F(4) = 3 F(5) = 5 F(6) = 8

Eine Formel für F(n)

Ergänzungen Verallgemeinerung: Lucas-Folgen Lektüre: Fibonacci Quarterly Ribenboim: My Numbers my Friends

Von den natürlichen zu den ganzen Zahlen Bedarf: Man kann in N nicht beliebig subtrahieren: 13 – 10 geht, 13 – 20 geht nicht.

Eigenschaften von Z Z = …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …. Wichtig: Z ist abzählbar, Z ist linear geordnet, Die Ordnung verträglich mit +, •, Z ist ein Ring. Die Mathematik von Z: Zahlentheorie

Konstruktion von Z aus N Die Idee: (3,5), (12,14),..,(n,n+2) steht für -2 Genauer: -2 = {(n,n+2)| n natürliche Zahl}

Für ExpertInnen Man definiert in NxN: (a,b)~(c,d) bedeutet: a+d=c+b. Dies ist eine Äquivalenzrelation, die Äquivalenzklassen bilden Z.

Q: Die rationalen Zahlen Bedarf: Man kann in Z nicht beliebig dividieren. -12/3 geht, -12/13 geht nicht.

Definition von Q

Eigenschaften von Q Wichtig: Q ist abzählbar. Q ist linear geordnet. Die Ordnung verträglich mit +, •. Q ist ein „Körper“. Q liegt dicht auf der Zahlengeraden.

Die Dichte von Q

Die Dichte von Q:

Konstruktion von Q aus Z Die Idee: (2,3), (4,6),..,(2z,3z) steht für 2/3 Genauer: 2/3 = {(2z,3z)| z ganze Zahl, nicht 0}

Für ExpertInnen Man definiert in Zx(Z\{0}): (a,b)~(c,d) bedeutet: ad=cb. Dies ist eine Äquivalenzrelation, die Äquivalenzklassen bilden Q.

Die rationale Welt des Pythagoras 569– 475 v.Chr. Mathematiker, Philosoph, Zahlenmystiker.

Es gibt Zahlen, die keine Brüche sind

Indirekte Beweise Um zu beweisen, dass eine Behauptung stimmt, zeigt man, dass ihr Gegenteil falsch ist. Dies können nur Nichtbayern verstehen!

Der Hintergrund: Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten Eine Behauptung ist entweder wahr oder falsch. Ist das Gegenteil einer Behauptung falsch, muss sie wahr sein. Doppelte Verneinung ist das Ursprüngliche. Anders in Bayern!

Reelle Zahlen: R

Eigenschaften von R Wichtig: R ist Körper. R ist linear geordnet. Die Ordnung ist mit „+“ und „•“ verträglich. R ist „vollständig“. R ist nicht abzählbar.

Konstruktion von R aus Q Man muss die Löcher auf der Zahlengeraden stopfen: „Vervollständigung“ Methoden: Cauchy-Folgen, Intervallschachtelungen, Dedekind-Schnitte.

Cauchy (1789 – 1857) Schuf die Grundlagen der modernen Grenzwerttheorie, mit vielen Irrungen und Wirrungen. „Cauchy-Folgen“

Dedekind (1831 – 1916) Brachte den Begriff „reelle Zahl“ zu einem vorläufigen Abschluss. 1887: Was sind und was sollen die Zahlen. „Dedekind-Schnitte“

Konstruktion von R Edmund Landau, 1877 – 1938 Analytische Zahlentheorie „Grundlagen der Analysis“, 134 S.

Hilberts Ideen David Hilbert, 1862 – 1943 Setzte die axiomatische Methode durch.

Axiome für R 11 Körperaxiome 3 Anordnungsaxiome Das archimedische Axiom Das Vollständigkeitsaxiom R ist durch diese Axiome eindeutig (bis auf „Isomorphie“) festgelegt.

Unser Stand

R ist nicht perfekt:

Über R hinaus: C Die Entstehung der komplexen Zahlen: Wildwestmathematik Erste Konsolidierung: Euler Geometrische Interpretation durch Gauß und Riemann Moderne Sicht

Wenn Sie mehr wissen wollen www.wickipedia.de: Da werden Sie geholfen. Zur Geschichte der Mathematik: The MacTutor History of Mathematics archive

Danach Im September die komplexen Zahlen, danach die bunten Bilder, Ihr Herz wird erfreut sein. Mathe in Tholey wird weiter gehen!