§ 27 Permutationen Zur Beschreibung von alternierenden multilinearen Abbildungen und insbesondere für den begriff der Determinante benötigen wir die Permutationen. Erinnerung (vgl. 8.2): Für eine Menge M ist die Menge S(M) der bijektiven Abbildungen von M nach M in eine Gruppe, die symmetrische Gruppe bzw. die Permutationsgruppe. Die Gruppenmultiplikation ist dabei die Komposition von Abbildungen. Im folgende interessieren wir uns für den Fall M = {1,2, ... , n} = n , für eine positive natürliche Zahl n : Sn = S({1,2, ... , n}) . Die Elemente p von Sn schreibt man zum Beispiel in der Form

Kapitel III, §27 oder (27.1) Definition: Eine Nachbarnvertauschung ist eine Permutation p , die zwei benachbarte Zahlen vertauscht, und alle anderen Zahlen festlässt: Es gibt also j zwischen 1 und n mit p(j) = j+1, p(j+1) = j, und p(i) = i sonst. (27.2) Definition: Eine Transposition ist (anders als in einer früheren Übungsaufgabe definiert) eine Permutation p , die zwei Zahlen vertauscht, und alle anderen Zahlen festlässt: Es gibt also j < k zwischen 1 und n mit p(j) = k, p(k) = j, und p(i) = i sonst. Offensichtlich ist eine Nachbarnvertauschung eine Transposition. (27.3) Lemma: 1o Sn hat n! Elemente.

sgn(p) := (-1)a(p) , „Signum von p“ Kapitel III, §27 2o Jede Permutation aus Sn ist eine Komposition von Nachbarnvertauschungen. 3o Jede Transposition ist Komposition einer ungeraden Anzahl von Nachbarnvertauschungen. 4o Jede Permutation ist Komposition von Transpositionen. (27.4) Definition: Zu p aus Sn ist jedes Paar (j,k) aus n2 ein Fehlstand, für das j < k und p(j) > p(k) gilt. Sei a(p) die Anzahl der Fehlstände für p aus Sn : a(p) := #{(j,k) aus n : j < k und p(j) > p(k)} . Setze: sgn(p) := (-1)a(p) , „Signum von p“ p heißt gerade (bzw. ungerade), je nachdem, ob sgn(p) gerade (bzw. ungerade) ist. Wie berechnet man sgn(p) ? (27.5) Lemma: Für Nachbarnvertauschungen und für Transpo-sitionen p gilt sgn(p) = -1 .

Kapitel III, §27 Allgemeiner: (27.5) Satz: (27.6) Satz: Es gilt sgn(pq) = sgn(p)sgn(q) für p,q aus Sn . ist also ein Gruppenhomomorphismus. (27.7) Folgerung: Für p aus Sn sei p = q1q2 .... qk . 1o Sind alle qj Nachbarnvertauschungen, so gilt sgn(p) = (-1)k . 2o Sind alle qj Transpositionen, so gilt sgn(p) = (-1)k . Bemerkenswert: In jeder Darstellung einer Permutation p von der Form p = q1q2 .... qk mit lauter Transpositionen qj (oder lauter Nach-barnvertauschungen qj ) ist k stets gerade oder stets ungerade.