Relativitätstheorie: Kinematik, 40 S. 1 Relativitätstheorie: Kinematik, 40 S. 1.1 Galilei und Lorentz Transformation S. 2 1.2 Zeitdilatation, Längenkontraktion S. 12 1.3 Struktur der Raum-Zeit S. 21 1.4 Addition von Geschwindigkeiten S. 39 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

1.1 Galilei und Lorentz Transformation Bezugssystem S' y y' x x' υ 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

Galilei-Invarianz Demo: stehend/laufend: Ball hochwerfen, Kugel an Schnur, Federpendel 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

Michelson-Morley Experiment υ √c2−υ2 c υ c c + υ c−υ d 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

Erwarteter Effekt υ der Erde ΔN 1. Messung: 2. Messung: 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

Ergebnis des Michelson Versuchs Virgo: gravitational wave detector 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

Postulate der speziellen RT Relativitäts-Prinzip: Alle physikalischen Gesetze sind gleich in Bezugssystemen, welche sich mit konstanter Geschwindigkeit υ gegeneinander bewegen = Galilei-Invarianz für alle Prozesse, inkl. Optik, Elektro-Dynamik. Konstanz der Lichtgeschwindigkeit: Die Lichtgeschwindigkeit c im Vakuum ist unabhängig von der Geschwindigkeit υ der Lichtquelle. aus 1.: alle Inertialsysteme sind gleichberechtigt bzgl. aller physikalischer Prozesse, dh. es gibt kein Experiment, mit dem man eine absolute Geschwindigkeit im Raum messen kann. aus 1.+2.: c ist in allen Inertial-Systemen gleich: υ Beide Beobachter messen für die Geschwindigkeit des Lichtes denselben Zahlenwert, obwohl der linke sich bewegt. Die bewegte wie die ruhende Lichtquelle befinden sich im Zentrum der Kugelwelle 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

Neuere Experimente "Many unifying theories, e.g. string theory, involve the violation of Lorentz invariance at some level." Speed of light c(, υ) in a frame S' with velocity υ, at angle  : RT: c'(, υ) = c Ansatz: c'(, υ)/c = 1 + A υ2 + B υ2 cos θ Experiment 2004: |A| < 3.0·10−7 (Test Inertialsystem) Experiment 2005: |B| < 3.1·10−10 (Test Isotropie) 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

Deutung des Michelson Experiments υ r = ct r' = c t ' 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

Lorentz Transformation S → S' 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

S S' Δx O O' Ruhesystem x(t) Ein Objekt bewegt sich im Laborsystem S der Geschwindigkeit υ(t) entlang des Ortsvektors x(t). Ein bewegtes System besonderer Art ist das mit dem Objekt mitgeführte Ruhesystem S'. Der Ursprung O' von S' liegt immer im Mittelpunkt (Schwerpunkt) des Objekts. Ist das Objekt in S am Punkt x(t), so ist es definitionsgemäß in seinem Ruhesystem S' immer am Punkt x' = 0. Das raum-zeitliche Intervall in S: s2 = c2t2 − x2 ist dasselbe wie in S': s2 = c2t'2 − x'2 = c2τ2 mit t' = τ ≡ Eigenzeit τ des Objektes in seinem Ruhesystem. In einem Zeitintervall Δt ist das invariante Intervall entsprechend: 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

1.2 Zeitdilatation, Längenkontraktion 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

Lichtuhr d c 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

Deutung Zeit-Dilatation Demo: Dopsball stehend/auf Wagen (c2+υ2)½ c υ D d c (c2−υ2)½ υ 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

Längen-Kontraktion x' x S': O' O' S: O L 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

Zerfall des Muons 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

Muon g−2 Experiment in S: verzögerter Muon-Zerfall N = N0 exp(−t/γτ), mit γτ ≈ 50×2.2 μs = 110 μs (überlagert: Muon Spin-Rotation) Muon-Speicherring in Brookhaven 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

Zerfallslängen in der Hochenergie-Physik Hyperon Σ+ (≈ schweres Proton): im Ruhesystem S': Halbwerts-Zeit T½ = 0.80·10−10 s, Zerfallslänge L' ≈ cT½ = 3·108 m/s · 0.80·10−10 s = 2.4 cm Masse mc2 = 1.19 GeV im Laborsystem S: kinetische Energie E = 400 GeV Lorentz-boost γ = E/mc2 = 340 γT½ = 2.7 ·10−8 s Lab.: L ≈ γcT½, L = γL' = 6.5 m TYPISCHER DETEKTOR-AUFBAU: 20 m 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

Messen vs. Sehen Würfel mit 90% der Lichtgeschwindigkeit: in S': ruhender Würfel: in S: bewegter Würfel: Lichtstrahlen sind zu verschiedenen Zeiten gestartet, Rückseite des Würfels wird sichtbar: Einige Würfel sind in einer Reihe aufgestellt (unten). Eine zweite Reihe Würfel bewegt sich mit 90% der Lichtgeschwindigkeit über die ruhenden Würfel hinweg. Die Seite mit der "3" ist in Flugrichtung vorne, die Seite mit der "4" hinten. Beobachter 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

Gleichzeitigkeit Zwei gleichzeitige (t1 = t2 ≡ t) Ereignisse in S, an den Orten x1 und x2: Zeitintervall in S: t2 − t1 = 0. Lorentz-Transformation: t1' = γ (t − β x1/c), t2' = γ (t − β x2/c), dh. Zeitintervall in S': t2' − t1' = β γ (x1 − x2) /c ≠ 0 für x1 ≠ x2, dh. Ereignisse sind nicht mehr gleichzeitig! 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

1.3 Struktur der Raum-Zeit 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

"rapidity" 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

Summen-Konvention, Skalarprodukt 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

Weltlinien Graphischer Fahrplan der Eisenbahn: Zeit ↓ Ort→ 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

Lichtkegel ct y x 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

Lorentz Transformation der Koordinaten-Achsen ct' = γ(ct − βx) x' = γ(x − βct), mit β = υ/c In S': t'-Achse definiert durch x' ≡ 0, x'-Achse definiert durch t' ≡ 0, dh. in S ist: die ct'-Achse gegeben durch x = βct, dh. ct = x/β, die x'-Achse gegeben durch ct = βx, dh. die in S rechtwinkligen Achsen werden in S' spitzwinklig, mit Neigungswinkel gegeben durch: Der Maßstab in S' ist gegen den Maßstab in S gestreckt. α ct ct' 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

im (herkömmlichen) Euklidischen Raum: b s a b C 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

im Minkowski Raum: a b alt geworden, grosse Eigenzeit τ jung geblieben, kleine Eigenzeit τ' 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

Vierer-Geschwindigkeit und -Impuls 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

Maßstäbe im Minkowski-Diagramm L' = L/γ A L=1 α 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

Kausalität Signale haben immer Geschwindigkeiten υ < c. Beweis durch Widerspruch. Annahme: Mit Über-Lichtgeschwindigkeit können Signale in die eigene Vergangenheit gesendet werden: Lottozahlen werden gleich nach der Ziehung zur Zeit t0 = 0 mit Über-Lichtgeschwindigkeit V > c an ein Raumschiff (Geschw. υ < c) gesandt, wo sie zur Erdzeit t1 > 0 ankommen. Dem entspricht auf der t'-Achse die Raumschiff-Zeit t1'. Sie werden sofort mit Über-Lichtgeschwindigkeit zur Erde zurück geschickt, wo sie rechtzeitig zum Abgabe-Schluss eintreffen. (NB.: Vom Raumschiff aus gesehen ist t2' > t1'.) Da dies das Kausalitäts-Prinzip verletzt, sind Signal-Geschwindigkeiten größer c nicht möglich. Erde: t x Raumschiff: t' t1' x' t2' V > c Ziehung der Lottozahen t0 Abgabe-Schluss t2 < t0 || x' t1 t1 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

Gegenwart, Zukunft, Vergangenheit ct y x zeitartig raumartig Ereignis A am Ort (x, t) kann nur beeinflusst werden durch zeitartige Ereignisse, die im Lichtkegel der Vergangenheit liegen. Ereignis A kann nur zeitartige Ereignisse im Lichtkegel der Zukunft beeinflussen. "Die Gegenwart ist unbekannt": Für Ereignisse, die raumartig zu A sind, kann nicht festgestellt werden, ob sie zeitlich vor oder nach A passieren. Das ist nicht weiter schlimm, da sie A nicht beeinflussen können. 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

Wiederholung: Wellen c c λ Moment- Aufnahme der Welle f(x,t0) periodischen Welle f(x,t0) λ c 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

Wiederholung: Klassischer Doppler-Effekt A source S of waves moving to the left. The frequency is higher on the left, and lower on the right (det. D). x: −υT 0 xD ← S D 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

Relativistischer Doppler-Effekt 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

Doppler-Spektroskopie A Doppler-graph of the solar corona. A tunable Fabry-Pérot interferometer scans the solar corona at wavelengths near the FeXIV green line at 5308 Å. The picture is a color coded image of the Doppler shift of the coronal plasma velocity towards or away from the satellite camera. The velocity due to solar rotation has been subtracted. Neueres Experiment zum Test des relativistischen Doppler-Effekts: 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

Zwillings-Paradoxon ? Raumschiff mit υ = 0.6 c, reist zu fernem Planeten. Zeitdilatation γ = (1 − 0.62)−½ = 1.25, ist unabhängig von Flugrichtung, dh. nach Rückkehr des Raumschiffs: Zwilling auf Erde: T = 20 Jahre, Zwilling im R-schiff: T ' = T/γ = 16 Jahre? 1 Erdjahr 1 Raumschiff-Jahr ct υ=c x υ=0.6c invariantes Intervall ↓ 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

Auflösung Zwillings-Paradoxon Erde hat 20 Signale geschickt: Erde E Raumschiff R Neujahrs-Grüße Raumschiff hat 16 Signale geschickt: Erde E Raumschiff R 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

1.4 Addition von Geschwindigkeiten 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik

Beispiele Geschwindigkeits-Addition 22.09.2018 D. Dubbers, Physik III WS 07/08 1. RT: Kinematik