01 Mathematik Lösungen 2011 ZKM

Mathematik Notiere die Lösung in ganzen Zahlen und als Brüche: Aufgaben Serie 4 Übungsserie Notiere die Lösung in ganzen Zahlen und als Brüche: (5 • 3 4/7) - 2 3/8 + 4.625 =  (5 • 3) + (5 • 4/7 ) = 15 + 20/7 = 15 + 2 6/7 = 17 6/7 4.625 = 4 625/1000 = 4 5/8  4 35/56 erw. m. 7! kürz. m. 125! 17 6/7 - 2 3/8 = 17 48/56 - 2 21/56 = 15 27/56 gleichnamig! erw. m. 8! erw. m. 7! 15 27/56 + 4 35/56 = 19 62/56 = 20 6/56 = 20 3/28 kürz. m. 2! ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 21

Mathematik Aufgaben Serie 4 Übungsserie 2. Gib die Lösung in Stunden und Minuten an: 9 • (3/12 h —  min) = 2 2/3 h — 61 min Alles in min verwandeln: 9 • (3/12 h —  min) = 2 2/3 h — 61 min 15/60  15 min 40/60  40 min 9 • (15 min —  min) = 2 h 40 h — 61 min 160 min — 61 min = 99 min 9 • (15 min —  min) = 99 min Vorzeichen ändern: (15 min —  min) = 99 min : 9 Aus • wird : (15 min —  min) = 11 min Aus + wird - Aus - wird + 15 min — 11 min =  min 4 min =  min ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 21

Mathematik Aufgaben Serie 4 Übungsserie 3. Bei einem Dreikampf in Leichtathletik gewinnt die Siegerin 146 der Punkte im Hochsprung, 1/3 der Punkte im Weitsprung und 2/5 der Punkte im Schnelllauf. Wie viele Punkte hat die Siegerin insgesamt gesammelt? 1/3 ; 2/5 5/15 ; 6/15 Gleichnamig machen: = Erw. m. 5 Erw. m. 3 5/15 + 6/15 = 11/15 (Weitsprung + Schnelllauf) = 15/15 (Weitsprung + Schnelllauf + Hochsprung) Hochsprung = 4/15 = 146 Punkte (Proportionalität) Dreisatz: 4/15 sind 146 Punkte : 4 : 4 1/15 sind 36.5 Punkte • 15 • 15 15/15 sind 547.5 Punkte Im Detail: (Weitsprung + Schnelllauf + Hochsprung) (182.5 + 219 + 146) ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 21

Mathematik Aufgaben Serie 4 Übungsserie 4. Um ein kreisrundes Grundstück werden 144 Pfosten für einen Gartenzaun im Abstand von 3.5 m eingeschlagen, ausgenommen dem Gartentor, dessen Pfosten einen Abstand von 150 cm aufweisen. a) Wie gross ist der Umfang des Grundstücks b) Da einige Pfosten defekt sind, ist man gezwungen alle Abstände zwischen den Pfosten, inklusive denjenigen des Gartentors, um 0.5 m zu vergrössern. Wie viele Pfosten benötigt der Hausbesitzer nun? a) 144 Pfosten /143 Abstände à 3.5 m / 1 Gartentor à 1.5 m 143 Abstände à 3.5 m = 500.5 m 1 Gartentor à 1.5 m = 1.5 m Statt 144 Abstände  143 Abstände Wegen des Gartentors 502.0 m b) Abstände neu: 3.5 m + 0.5 m = 4.0 m Abstand Gartentor: 1.5 m + 0.5 m = 2.0 m Zaumstrecke ohne Gartentor neu: 502 m – 2 m = 500 m Strecke durch Abstände neu: 500 m : 4 m = 125 (Abstände) Gartentor 125 Pf. + 1 Pf. = 126 Posten Abstände + Pfoste für Gartentor: ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 21

gross wie B-Tower wären Mathematik Aufgaben Serie 4 Übungsserie 5. Drei Hochhäuser A-Tower, B-Tower und C-Tower sind zusammen 372.2 m hoch. Der B-Tower ist um 9.4 m kleiner als der A-Tower und der C-Tower überragt den A-Tower um ganze 20.4 m auch dank des 11 m grossen Fahnenmastes zuoberst auf dem Dach. Wie gross sind die einzelnen Türme? A-Tower B-Tower C-Tower 11 m 11 m 20.4 m 20.4 m + 9.4 m = 29.8 m 29.8 m 18.8 m 9.4 m 18.8 m 29.8 m – 11 m = 18.8 m 111 m + 9.4 m 140.8 m 120.4 m 111 m 111 m + B-Tower A-Tower C-Tower 372.2 m C – Überhöhe zu B A – Überhöhe zu B Wenn alle 3 Tower gleich gross wie B-Tower wären  zusammengezählt. Totalhöhe Fahne 372.2 m – (11 m – 18.8 m) – 9.4 m = 333 m 29.8 m 333 : 3 = 111 m = ……………… 111.0 m (B-Tower) 111 m + 9.4 m = ……………….. 120.4 m (A-Tower) 111 m + (+ 11 m + 18.8 m) = …. 140.8 m (C-Tower) 29.8 m ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 21

Mathematik Aufgaben Serie 4 Übungsserie 6. Drei Schnecken kriechen unterschiedlich schnell. Nach 1 min 15 s ist Schnecke Anton 4 cm weiter als Schnecke Maik gekrochen. Zusammen sind Maik und Anton 12 cm weit gekommen. Setzt man Anton um die Hälfte seiner Strecke zurück, so erhält man genau 2/3 der Strecke der Schnecke Luca. Wie weit liegen die langsamste und die schnellste Schnecke auseinander? Maik 4 cm 4 cm 4 cm 12 cm = M+A Anton Startlinie 8 cm ½ Luca 6 cm 2/3 1/3 Achtung: Die Zeit von 1 min 15 s werden hier gar nicht benötigt! 12 cm – 4 cm = 8 cm = Schnecke Anton 8 cm – 4 cm = 4 cm = Schnecke Maik ½ Strecke zurück = 8 cm : 2 = 4 cm 4 cm = 2/3 Strecke der Schnecke Luca  2/3 = 4 cm : 2 = 2 cm Schnecke Luca = 3/3 Strecke = 3 • 2 cm = 6 cm Der Abstand zwischen der schnellsten und der langsamsten Schnecke beträgt: 8 cm – 4 cm = 4 cm Anton Maik Unterschied ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 21

Mathematik Aufgaben Serie 4 Übungsserie 7. Zwei Handwerker verlegen Abwasserrohre. Für einen Meter Rohr benötigt Pietro 6 min und René verlegt in einer Stunde 18 Meter Rohr. Wie lange brauchen sie für 168 m, wenn nach 2 h Stefan noch dazu stösst, der 3.5 Meter Rohr in einer Viertelstunde verlegt? Pietro 1 Meter in 6 min In 1 h (60 min)  60 min : 6 min = 10 (Meter) René 18 Meter  1 h Beide: Für 28 m in 1 h (60 min) = 28 m/h Stefan 3.5 m x 4 = 14 m (in 60 min) 360 min – 120 min = 240 min Total beide Beide gemacht Noch zu machen Wie lange hätten Pietro und René? Zu Dritt in 1h = 10m + 18 m + 14 m = 42 m !! (6 h) Zu Dritt Beide gemacht 160 min + 120 min = 280 min = 4 h 40 min Arbeitszeit total Auch diese Variante ist möglich, aber eine Zahl muss aufgerundet werden! Beide in 1 h = 28 m In 2 h haben sie 56 m verlegt Es fehlen noch 168 m – 56 m = 112 m Stefan in 1 h = 3.5 m x 4 = 14 m Zu Dritt schaffen sie in 1 h: 10m + 18 m + 14 m = 42 m 1.4285714 • 28 = 39.9… Die 112 m schaffen sie in: 112m : 42 m = 2 (h) Rest : 28 m 28 : 42 = 28/42 = 39.9/60 = 40/60  2h + 2 h + 40 min = 4 h 40 min Erw. m. 60 : 42 = 1.4285714 ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 21

B fährt mit 7.5 m/s Mathematik Aufgaben Serie 4 Übungsserie 8. A und B starten mit den Inlinern zu einer Bergseerundfahrt auf einem 4.8 km langen Uferweg in entgegengesetzter Richtung beim Restaurant Seeblick. A fährt mit einer Geschwindigkeit von 5 m/s los. Nach 6 min 24 s kreuzen sich die beiden erstmals. a) Wie viele Meter legt B in einer Sekunde zurück? 6 min 24 s = 384 s Dauer bis Treffp. 4800 m – ( 5 m • 384) = 4800 m – 1920 m = 2880 m Meter bis Treffp. Weg von A Weg von B 2880 m : 384 s = 7.5 m/s  B fährt mit 7.5 m/s Weg : Zeit = Geschwindigkeit ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 21

3840 m muss A noch bis zu Start zurücklegen Mathematik Aufgaben Serie 4 Übungsserie 8. A und B starten mit den Inlinern zu einer Bergseerundfahrt auf einem 4.8 km langen Uferweg in entgegengesetzter Richtung beim Restaurant Seeblick. A fährt mit einer Geschwindigkeit von 5 m/s los. Nach 6 min 24 s kreuzen sich die beiden erstmals. b) Wie viele Meter muss A nach dem dritten Kreuzen bis zum Start noch zurücklegen? Weg von A 3 • 1920 m = 5760 m (Strecke von A) Strecke A 1 Runde 5760 m – 4800 m = 960 m (So weit ist A über den Start hinaus gefahren) Strecke Zuviel von A 4800 m – 960 m = 3840 m 3840 m muss A noch bis zu Start zurücklegen  ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 21

A 2 Runden B 3 Runden A 2 Runden B 3 Runden Mathematik Aufgaben Serie 4 Übungsserie 8. A und B starten mit den Inlinern zu einer Bergseerundfahrt auf einem 4.8 km langen Uferweg in entgegengesetzter Richtung beim Restaurant Seeblick. A fährt mit einer Geschwindigkeit von 5 m/s los. Nach 6 min 24 s kreuzen sich die beiden erstmals. c) Wie viele Runden müssen A und B je zurücklegen, bis sie sich wieder am Start kreuzen? Strecke Geschw. von A 4800 m : 5 m/s = 960 s Strecke Geschw. von B 4800 m : 7.5 m/s = 640 s Alternativ: (4800 m : 75 s) • 10 = 640 s 1. Möglichkeit: Tabelle erstellen Fahrer 1. Runde 2. Runde 3. Runde A B A 2 Runden 960 s 1920 s 2880 s 640 s 1280 s 1920 s B 3 Runden 2. Möglichkeit: Berechnen (Nach «wie oft Mal» sind beide Zahlen gleich gross!) 960    1920 Nach 2 Mal A 2 Runden k.g.V. von: 640  1280  1920 Nach 3 Mal B 3 Runden ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 21

Mathematik 9. Konstruiere folgende Figur im Massstab 2:1. Variante 1 Aufgaben Serie 4 Übungsserie 9. Konstruiere folgende Figur im Massstab 2:1. Variante 1 Zeichne einen Kreis mit dem Radius = Durchmesser der Originalfigur, so hast du den Radius bereits verdoppelt. 1 Mal Trage nun den Radius sechsmal auf dem Kreis ab mit dem Abstand = r. So erhältst du die 6 Punkte, die du nun verbinden musst gemäss dem Original. 2 Mal 6 Mal Radius M Durchmesser 5 Mal 3 Mal Variante 2 siehe hinten! 4 Mal ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 22

Mathematik 9. Konstruiere folgende Figur im Massstab 2:1. Aufgaben Serie 4 Übungsserie 9. Konstruiere folgende Figur im Massstab 2:1. Variante 2 auch möglich Zeichne einen Kreis mit dem Radius = Durchmesser der Originalfigur, so hast du den Radius bereits verdoppelt. 1 Mal Trage nun den Radius sechsmal auf dem Kreis ab mit dem Abstand = r. So erhältst du die 6 Punkte, die du nun verbinden musst gemäss dem Original. 2 Mal 6 Mal Radius M 5 Mal 3 Mal 4 Mal ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 22