From Circuit Theory to System Theory

Lotfi Zadeh, 1954: System Theory Fuzzy Set Theorie

System: an aggregation or assemblage of objects united by some form of interaction or interdependence (Websters dictionary) Beispiele: - Partikel, die sich gegenseitig anziehen, - eine Gruppe von Menschen, die eine Gesellschaft bilden, - ein Komplex miteinander verwobener Industriezweige, - ein elektrisches Netzwerk - ein Computer mit groß-integrierten Schaltkreisen Lotfi Zadeh, 1954: System Theory Fuzzy Set Theorie

Input-output-relationship: y = f ( u ) Lotfi Zadeh, 1949: System Theory Fuzzy Set Theorie

Lotfi Zadeh, 1949: System Theory Fuzzy Set Theorie

A:z = f(x, y, w) B:u = g(z, v) C:v = h(u) w = k(u) Blockdiagramm Linearer gerichteter Graph Matrix Lotfi Zadeh, 1954: System Theory Fuzzy Set Theorie

Zadeh, 1963: Linear System Theory Welche Attribute der Objekte des Systems müssen betrachtet werden? Welche mathematischen Beziehungen bestehen zwischen den relevanten Attributen der Objekte des Systems? Welche mathematischen Beziehungen bestehen zwischen den Attributen der verschiedenen Objekte des Systems, m. a. W.: welche Beziehungen repräsentieren ihre Interaktionen? Die in der Mechanik relevanten Attribute einer Partikel M sind: Masse, Position, Geschwindigkeit, Beschleunigung, aufgewendete Kraft. Die Attribute der Feder sind die Feder-konstante k, die kraftfreie Federlänge l 0 sowie die Federlänge unter Spannung (bzw. Druck) l.

Beziehungen zwischen den Attributen von M 1 bzw. M 2 durch das Newtonsche Kraftgesetz gegeben: Zwischen den Attributen des Systems S 3 Hookes Gesetz, Wechselwirkungen repräsentierenden Beziehungen: Die totale auf M 1 wirkende Kraft ist die Differenz zwischen der externen Kraft f und der von der Feder ausgeübten Kraft, und die totale an M 2 angreifende Kraft ist die von der Feder ausgeübte Kraft Fuzzy Set Theorie Zadeh, 1963: Linear System Theory

Identische Gleichungssysteme können zur Berechnung von Systemen völlig unterschiedlicher wissenschaftlicher Bereiche dienen. Den gleichen Differentialgleichungen, die ein mechanisches System beschreiben, gehorcht auch ein elektrisches Netzwerk. Ein Objekt sei mit zwei Anschlussvariablen v 1 und v 2 versehen, die folgende Differentialgleichung erfüllen: Dieses Objekt könne auf verschiedene Weisen realisiert werden. Fuzzy Set Theorie Zadeh, 1963: Linear System Theory

Erste Realisierungsmöglichkeit: ein elektrisches Netzwerk. v 1 : Input-Spannung v 2 : in das Netzwerk fließender Strom. Zweite Realisierungsmöglichkeit: mechanisches System v 2 : die Partikel M angreifende Kraft v 1 : die Geschwindigkeit von M Fuzzy Set Theorie Zadeh, 1963: Linear System Theory

v 1 = f 1 (u 1, u 2,..., u m ) v 2 = f 2 (u 1, u 2,..., u m ) _ _ _ _ _ _ _ _ _ v n = f n (u 1, u 2,..., u m ) v = f(u) Multipol ( multipole ) Fuzzy Set Theorie Zadehs System Theory

s t+1 = f ( s t, u t ), t = 0, 1, 2,... y t = g ( s t, u t ) y : output u : input s : state Fuzzy Set Theorie Zadehs System Theory

Fuzzy Set Theorie Siebschaltungen, Filter

IRE Transactions on Information Theory : März, Juni 1956 The BandwagonWhat is Information Theory? Fuzzy Set Theorie

Claude Elwood Shannon: The Bandwagon Indeed, the hard core of information theory is, essentially, a branch of mathematics, a strictly deductive system. Research rather than exposition is the keynote, and our critical thresholds should be raised.

Norbert Wiener: What is Information Theory? I am pleading in this editorial that Information Theory go back of its slogans and return to the point of view from which it originated: that of the general statistical concept of communication. I hope that these Transactions may encourage this integrated view of communication theory by extending its hospitality to papers which, why they bear on communication theory, cross its boundaries, and have a scope covering the related statistical theories. In my opinion we are in a dangerous age of overspecialization. Fuzzy Set Theorie

R. Bellman, R. Kalaba, 1957: On the Role of Dynamic Programming in Statistical Communication Theory Fuzzy Set Theorie

IRE Transactions on Information Theory : März 1958 What Is Optimal? Lotfi A. Zadeh Hinsichtlich eines Kriteriums A gelte: Design D 1 ist besser als D 2 und Design D 2 ist besser als D 3. Hinsichtlich eines Kriteriums B gelte aber: Design D 2 ist besser als D 3, und Design D 3 ist besser als D 1. Hinsichtlich eines Kriteriums C gilt noch: Design D 3 ist besser als D 1, und Design D 1 ist besser als D 2. Fuzzy Set Theorie

A System is a big black box Of which we cant unlock the locks, And all we can find out about Is what goes in and what goes out. Perceiving input-output pairs, Related by parameters, Permits us, sometimes, to relate An input, output, and a state. If this relations good and stable Then to predict we may be able, But if this fails us – heaven forbid! Well be compelled to force the lid! Kenneth E. Boulding Proceedings of the Second Systems Symposium at Case Institute of Technology, April 1963, Cleveland, Ohio Views on General Systems Theory Fuzzy Set Theorie

Zadeh, 1962: From Cercuit Theory to System Theory In fact, there is a fairly wide gap between what might be regarded as animate system theorists and inanimate system theorists at the present time, and it is not at all certain that this gap will be narrowed, much less closed, in the near future. There are some who feel that this gap reflects the fundamental inadequacy of the conventional mathematics – the mathematics of precisely-defined points, functions, sets, probability measures, etc. - for coping with the analysis of biological systems, and that to deal effectively with such systems, which are generally orders of magnitude more complex than man-made systems, we need a radically different kind of mathematics, the mathematics of fuzzy or cloudy quantities which are not describable in terms of probability distributions. Indeed, the need for such mathematics is becoming increasingly apparent even in the realm of inanimate systems, for in most practical cases the a priori data as well as the criteria by which the performance of a man-made system is judged are far from being precisely specified or having accurately-known probability distributions. In: Proceedings of the IRE, May 1962, pp Fuzzy Set Theorie

Eine Teilmenge ( constraint set ) C von sei durch Einschränkungen an das System S definiert. Auf sei eine partielle Ordnung definiert, wodurch jedem System S in die folgenden drei disjunkten Teilmengen von zugeordnet werden können: > ( S ):Teilmenge aller Systeme, die besser als S sind ( superior ). ( S ):Teilmenge aller Systeme, die schlechter oder gleich S sind ( inferior ). ~ ( S ):Teilmenge aller Systeme, die mit S nicht vergleichbar sind. > ( S ) ( S ) ~ ( S ) =. Definition 1: Ein System S 0 ist in C nichtinferior, wenn gilt: C > ( S 0 ) = Ø. (Es gibt somit kein System in C, das besser als S 0 ist. ) Definition 2: Ein System S 0 ist in C optimal, wenn gilt: C ( S 0 ). ( Jedes System in C ist somit schlechter (inferior) als S 0 oder gleich S 0.) L. A. Zadeh, 1963: Optimality and Non-Scalar-Valued Performance Criteria Fuzzy Set Theorie

Ist die Menge aller betrachteten Systeme durch ein skalares Kriterium vollständig geordnet, dann gilt: ~ ( S 0 )= und > ( S 0 ) und ( S 0 ) sind komplementäre Mengen. Wenn C > ( S 0 ) =, dann gilt sicher: ( S 0 ) C. Nichtinferiorität und Optimalität sind äquivalent; Unterschied der Begriffe ist nicht erkennbar. L. A. Zadeh, 1963: Optimality and Non-Scalar-Valued Performance Criteria Fuzzy Set Theorie

Vorschlag: Partielle Ordnung von durch vektorwertiges Leistungskriterium berücksichtigen: System S sei durch x = ( x 1,..., x n ) charakterisiert, dessen reellwertige Komponenten z. B. die Werte von n veränderlichen Parametern des Systems S sind. C sei Teilmenge des n -dimensionalen Euklidischen Raumes. Die Leistung des Systems S werde durch einen m -dimensionalen-Vektor p ( x ) = [ p 1 ( x ),..., p m ( x )] gemessen, wobei p i ( x ), i = 1,..., m, reellwertige Funktion von x ist. Es gilt nun S S´ p ( x ) p ( x ). Das heißt also: p i ( x ) p i ( x ), i = 1,..., m. L. A. Zadeh, 1963: Optimality and Non-Scalar-Valued Performance Criteria Fuzzy Set Theorie

Illustration: Fall, > ( S ) oder äquivalent dazu > ( x ) ist ein fester Kegel mit Scheitelpunkt bei x. Die Constraint-Menge C ist eine abge- schlossene beschränkte Teilmenge im Vektorraum. Beispiel: p i ( x ), i = 1,..., m ist von der Form: p 1 ( x ) = a i i x a n x n i, mit a i = ( a i i,..., a n i ) ein konstanter Vektor, nämlich der Gradient von p i ( x ), d.h. a i = grad p i ( x ). In diesem Falle ist > ( x ) der Polarkegel des Kegels, der durch die a i aufgespannt wird. L. A. Zadeh, 1963: Optimality and Non-Scalar-Valued Performance Criteria Fuzzy Set Theorie

Definition 1 Ein nichtinferiorer Punkt kann kein Punkt im Inneren der Menge C sein. Wenn C darüber hinaus eine konvexe Menge ist, dann ist die Menge aller nichtinferioren Punkte auf dem Rand von C die Menge aller Punkte x 0, durch die Hyperebenen verlaufen können, so dass die Mengen C und > ( x 0 ) durch diese Hyperebenen separiert werden. Illustration: Die Menge ist die stark gezeichnete Linie auf dem Rand von C. Ist x 0 ein solcher Punkt und ist die (vom Inneren der Menge C wegzeigende) Normale auf der Hyperebene in diesem Punkt x 0, dann gehört zum Polarkegel der Menge > ( x 0 ), denn bildet keinen stumpfen Winkel mit den Vektoren in > ( x 0 ). L. A. Zadeh, 1963: Optimality and Non-Scalar-Valued Performance Criteria Fuzzy Set Theorie

1964: Lotfi Zadeh, Vortrag in Dayton, Ohio (Wright-Patterson Air Base) Fuzzy Set Theorie

Richard Bellman Robert Kalaba Lotfi A. Zadeh