Vorwissen: Begriff der Steigung Geradengleichung Polynomfunktionen Monotonie und Extremwerte In den ersten Beispielen werden dieses Wissen allerdings wiederholt.

Einstieg: Fragen an die SchülerInnen: 1) Wo kommen Steigungen im Alltag vor? 2) Was ist Steigung ?

Straßen: Die Steigung einer Geraden spielt auch im Straßenverkehr eine Rolle. Das Verkehrszeichen für die Steigung bzw. das Gefälle einer Straße basiert auf dem gleichen Steigungsbegriff, allerdings wird sie in Prozent ausgedrückt. Eine Angabe von 12 % Steigung bedeutet zum Beispiel, dass pro 100 m in waagerechter Richtung die Höhe um 12 m zunimmt. Nach der oben gegebenen Definition hat man 12 m durch 100 m zu dividieren, was zum Ergebnis 0,12 führt (in Prozent-Schreibweise 12 %). Was bedeutet es also, wenn die Steigung einer Straße mit 100% angegeben ist?

Preise: Am Markt kosten 100g Erdbeeren 1,69 €. Ein Geschäft bietet folgendes Angebot. Ein Viertel Kilogramm Erdbeeren um 4,29. Wo ist der Preis pro 100g Erdbeeren billiger? Wie ist das Verhältnis der Preise pro 100g in Prozent ausgedrückt? Wie könnte ein Diagramm aussehen, aus dem ich unmittelbar sehen kann, was das billigere Angebot ist?

Durchschnittsgeschwindigkeit:

Beispiel 1) Lineare Funktion f(x) = 0.5.x + 3 a) absolute Änderung in [0; 1] = 0,5 b) absolute Änderung in [0; 4] = 2 c) Steigung in [0; 1] = 0,5 d) Steigung in [0; 4] = 0,5

Beispiel 1) Lineare Funktion 2.x + y = 4 y = - 2.x + 4 a) absolute Änderung in [0; 1] = - 2 b) absolute Änderung in [0; 4] = - 8 c) Steigung in [0; 1] = - 2 d) Steigung in [0; 4] = - 2

Die Zahl heißt Differenzenquotient oder mittlere Es ~sei~ f:~ A~ rightarrow ~ setR ~ eine~ reelle~ Funktion~ und~ [a;b]~ subseteq ~A. Schlussfolgerung: Bei einer linearen Funktion ist der absolute Änderung in einem Intervall [a; b] abhängig von den Funktionswerten f(a) und f(b). Die Steigung einer Gerade ist aber immer konstant. Die Steigung einer Funktion im Intervall [a;b] ist nichts anderes als die mittlere Änderungsrate in diesem Intervall. Anstelle von mittlerer Änderungsrate spricht man auch vom Differenzenquotienten. Merke: Die Zahl heißt Differenzenquotient oder mittlere Änderungsrate von f in [a; b].

Beispiel 3) Quadratische Funktion f(x) = x² a) Steigung in [0; 1] = 1 b) Steigung in [0; 4] = 4

Sekante:

Beispiel 4) Quadratische Funktion f(x) = ½ . (x - 2)² a) Differenzenquotient in [0; 1] b) Differenzenquotient in [2;4] c) Differenzenquotient in [0;4]

Vorzeichen des Differenzenquotienten Ist [a,b] ein Intervall, dann gilt b – a < 0 und somit gilt: Das Vorzeichen des Differenzenquotient ist positiv, wenn f(b) – f(a) > 0, das heißt: f(a) < f(b) die Sekantenfunktion streng monoton steigend in [a; b] ist, f im „Endeffekt“ in [a; b] steigt ( f muss aber in [a;b] nicht monoton steigend sein)‏ der Funktionswert an der Stelle b höher liegt als an der Stelle a. Man sagt auch: f steigt im Mittel in [a;b].

Das Vorzeichen des Differenzenquotient ist negativ, wenn f(b) – f(a) < 0, das heißt: f(a) > f(b) die Sekantenfunktion streng fallend fallend in [a; b] ist, f im „Endeffekt“ in [a; b] fällt ( f muss aber in [a;b] nicht monoton fallend sein)‏ der Funktionswert an der Stelle b tiefer liegt als an der Stelle a. Man sagt auch: f fällt im Mittel in [a;b].

Das Vorzeichen des Differenzenquotient ist gleich null, wenn f(b) – f(a) = 0, das heißt: f(a) = f(b) die Sekantenfunktion konstant ist in [a; b] , f im „Endeffekt“ in [a; b] weder wachsend noch fallend ist ( f muss aber in [a;b] nicht konstant sein)‏ der Funktionswert an der Stelle b gleich hoch liegt wie an der Stelle a.

Beispiel 5) Durschnittsgeschwindigkeit