Mathematik lernen – Möglichkeiten der Unterstützung Dr. Rose Vogel Pädagogische Hochschule Ludwigsburg 20.11.2004

Übersicht Einführung ins Thema – Überblick Schwach im Rechnen? Veranschaulichen Diagnoseverfahren - Fehleranalyse Sachaufgaben Gruppeneinteilung

Einführung Kinder denken anders „Der Zweitklässler Sven wollte wissen, was herauskommt, wenn man die Zahlen 9, 12, 10, 11, 8, 10, 9, 8, 12, 11, 10 und 12 zusammenrechnet. Er schrieb 119, 121, 121, 122, 120, 120, 119, 117, 119, 120, 120, 122, zeigt dieses seiner Lehrerin und fragte: „Ist das richtig so?“ Wie würden Sie antworten? Wie hat Sven gerechnet? (vgl. Selter & Spiegel 1997, Wie Kinder rechnen.)

Einführung Kinder denken anders L: Wie viel ist 701 – 698? Malte: von 1 bis 8 gleich 7, von 0 bis 9 gleich 9, von 6 bis 7 gleich 1. 197! L: Kannst du das auch anders rechnen? Malte: Ja. L: Wie denn? Malte: Von 698 bis 700 sind es 2 und von 701 bis 700 ist es 1, also sind‘s 3. L: Mhm. Dieselbe Aufgabe, aber zwei verschiedene Ergebnisse? Malte: Mhm, weiß auch nicht. L: Kann denn beide richtig sein? Malte: Ne. L: Was denkst du denn, was stimmt? Malte: Das da! (Er zeigt auf das schriftlich Gerechnete.) L: Warum glaubst du, dass das stimmt und das andere nicht? Malte: Ja, weil das hier (zeigt auf das schriftlich Gerechnete) habe ich richtig ausgerechnet und das andere habe ich mir nur so hopp-di-hopp im Kopf überlegt. Spiegel & Selter 2004, Kinder & Mathematik S. 24

Begriffsklärung Lernschwierigkeiten im Mathematikunterricht keine Einheitlichkeit in der Begriffswahl mögliche Begriffe für Lernschwierigkeiten im Mathematikunterricht Dyskalkulie Rechenstörung Rechenschwäche Arithmasthenie (vgl. Lorenz, J.H. & Radatz, H. (1993). Handbuch des Förderns im Mathematikunterricht. Hannover: Schroedel.)

Definitionsmöglichkeiten Lernschwierigkeiten im Mathematikunterricht Diskrepanzdefinitionen Setzen die Rechenstörung in Bezug zur Intelligenz und / oder zu Leistungen in anderen Leistungsbereichen  Teilleistungsschwäche Definition der Weltgesundheitsorganisation: Unter Rechenstörung (ICD-10) versteht man die Beeinträchtigung von Rechenfertigkeiten, die nicht allein durch eine allgemeine Intelligenzminderung oder eine eindeutig unangemessene Beschulung erklärbar sind. Das Defizit betrifft die Beherrschung grundlegender Rechenfertigkeiten wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division, weniger die höheren mathematischen Fertigkeiten, die für Algebra, Trigonometrie, Geometrie und Differential- sowie Integralrechnung benötigt werden.“ Phänomenologische Definitionen Häufigkeit und Dauerhaftigkeit von Fehlleistungen im MU bilden die Kriterien für Rechenstörung http://www.fruehbrodt.de/wissen/was_ist_dyskalkulie.htm

Schwierigkeiten beim Rechnen – mögliche Ursachen organisch-neurologisch psychische, emotionale, soziale didaktische Die beiden ersten Ursachenfelder erfordern Interventionsmaßnahmen. Das letztere Ursachenfeld eher Präventionsmaßnahmen, d.h. Veränderung des Unterrichts.

Schwierigkeiten beim Rechnen – mögliche Ursachen Gaidoschik, M. (2003), Rechenschwäche – Diskalkulie, S. 15

Schwierigkeiten beim Rechnen – Störbereiche Störungen der auditiven Wahrnehmung, Speicherung und das Sprachverständnis Störungen im visuellen Bereich visuelles Gedächtnis visuelles Operieren Störungen durch das Material

Störungen im mathematischen Lehr-Lern-Prozess Lorenz, J.H. (19xx). Ursachen für gestörte mathematische Lernprozesse. In G. Eberle & R. Kornmann (Hrsg.), Lernschwierigkeiten und Vermittlungsprobleme im Mathematikunterricht an Grund- und Sonderschulen.

Störungen im mathematischen Lehr-Lern-Prozess Geforderte bzw. als ausgebildet unterstellte kognitive Fähigkeiten Methodisches Vorgehen Mögliche Störbereiche Konkreter Operationsaufbau; Handlungsvollzug unter Beachtung der quantitativen Struktur Visuelle Antizipation von Teilschritten; Rückblick als vorstellungsmäßiges Erinnern; (grob-) motorische Ausführung Visuelle Gliederung, visuelles Denken, Raum-Lage-Beziehung, Figur-Hintergrund-Differenzierung; Grobmotorik

Störungen im mathematischen Lehr-Lern-Prozess Geforderte bzw. als ausgebildet unterstellte kognitive Fähigkeiten Methodisches Vorgehen Mögliche Störbereiche Bildhafte (und ziffernmäßige) Darstellung der Operationen Visuelle Vorstellung des Operationsablaufs bei statischer Darstellung; (fein-) motorische Ausführung der Schreibbewegung; motorisches Gedächtnis Visuelles Gedächtnis, Visuelles Operieren

Störungen im mathematischen Lehr-Lern-Prozess Geforderte bzw. als ausgebildet unterstellte kognitive Fähigkeiten Methodisches Vorgehen Mögliche Störbereiche Ziffernmäßige Darstellung; allmählicher Versicht auf Visualisierung; Übergang zu logisch-unanschaulicher Handlung Visuelle Vorstellung der Operationen an anschaulichen Handlungskorrelaten; auditives Gedächtnis Operative Abstraktion; auditives Langzeit-gedächtnis

Störungen im mathematischen Lehr-Lern-Prozess Geforderte bzw. als ausgebildet unterstellte kognitive Fähigkeiten Methodisches Vorgehen Mögliche Störbereiche Automatisierung im Zeichenbereich; Kopfrechnung Assoziations-gedächtnis Auditives Kurzzeit-gedächtnis

Störungen im mathematischen Lehr-Lern-Prozess Geforderte bzw. als ausgebildet unterstellte kognitive Fähigkeiten Methodisches Vorgehen Mögliche Störbereiche Sachaufgaben Leseleistung; Umsetzung Sprache-Bild; visuelle Handlungsvorstellung bei Texten i.S. von Textverständnis; Alltagserfahrung; Weltwissen Sprachver-ständnis; visuelles Operieren

Einige Symptome für Lernschwierigkeiten ausschließliches zählendes Rechnen massive Links-Rechts-Problematik Intermodalitätsprobleme eingeschränktes operatives Verständnis

Präsentationsebenen - Veranschaulichen Intermodaler Transfer intra- modaler Transfer Enaktive Ebene Abstraktion Ikonische Ebene Sprachebene Konkretisierung Symbolische Ebene Modell nach Bönig 1993, S. 27

Präsentationsebenen Handlungsebene mit Dingen des Alltags Viererbündelung Zehnerbündelung Padberg 1992, Didaktik der Arithmetik, S. 59 & 61

Präsentationsebenen Handlungsebene mit Arbeitsmitteln des Mathematikunterrichts, z.B. Mehrsystem-Blöcke

Präsentationsebenen Intermodaler Transfer 345 Intramodaler Transfer 3H4Z5E

Diagnostische Verfahren zur Lernstandsbestimmung

Diagnostische Verfahren zur Lernstandsbestimmung Schülerbeobachtung im Unterricht Gespräche über Vorgehensweisen (Methode des lauten Denkens) Fehleranalyse schriftlicher Schülerarbeiten Fehler sind Ausdruck einer individuellen Logik Diagnostische Aufgabensätze Aufgabenbereiche: Relationen, Ordnungen, Stellenwertbegriff, Schreiben und Lesen von Zahlen Vgl. Radatz, Schipper, Dröge & Ebeling (1999). Handbuch für den Mathematikunterricht. 3. Schuljahr. Hannover: Schroedel.

Diagnostische Verfahren Kindnahe Diagnostik durchgeführt von Personen, die mit einem Kind täglich Umgang haben Lernwegsbegleitende Diagnostik immer wieder wird der aktuelle pädagogische Förderbedarf eines Kindes ermittelt Dialogische Diagnostik über Gespräche und Nachfragen, damit die Herangehensweise eines Kindes an eine Aufgabe ermittelt werden kann

Lösen von Sachaufgaben – ein Modellierungsprozess Ein Bauer pflanzt Apfelbäume an, die er in einem quadratischen Muster anordnet. Um diese Bäume vor dem Wind zu schützen, pflanzt er Nadelbäume um den Obstgarten herum. Wann ist die Anzahl der Apfelbäume gleich groß wie die Anzahl der Nadelbäume? Was wird schneller zunehmen, wenn der Bauer den Obstgarten vergrößert: die Anzahl der Apfelbäume oder die Anzahl der Nadelbäume Deutsches Pisa-Konsortium (Hrsg.) (2001). PISA 2000. S. 148, Opladen: Leske + Budrich.

Beispiel (Pisa-Aufgabe: Äpfel) Version 2 ÄPFEL Ein Bauer pflanzt Apfelbäume an, die er in einem quadratischen Muster anordnet. Um diese Bäume vor dem Wind zu schützen, pflanzt er Nadelbäume um den Obstgarten herum. Im folgenden Diagramm siehst du das Muster, nach dem Apfelbäume und Nadelbäume für eine beliebige Anzahl (n) von Apfelbaumreihen gepflanzt werden: Vervollständige die Tabelle: Deutsches Pisa-Konsortium (Hrsg.) (2001). PISA 2000. S. 148, Opladen: Leske + Budrich.

Lösen von Sachaufgaben – ein Modellierungsprozess Konsequenzen Math. Folgerungen Mathematisches Modell verarbeiten interpretieren Mathematik Welt mathematisieren Realmodell validieren Wie kann man sich die Nutzung mathematischer Begriffe als Werkzeuge vorstellen? Dazu soll der Prozess des Bearbeitens mathematischer Aufgaben in idealisierter Form, modellhaft genauer betrachtet werden. Im Kern geht es um das Verknüpfen von Situationen (realitätsbezogen oder innermathematisch) mit mathematischen Ansätzen. Der gesamte Prozess des Lösens anwendungsbezogener Aufgaben wird als Prozess des Modellierens bezeichnet. Er besteht aus Teilprozessen: mathematisieren, verarbeiten, interpretieren und validieren. Die Teilprozesse vermitteln zwischen der Welt und der Mathematik und zwischen dem Problem und der Lösung. Komplexe Aufgaben erfordern häufig ein mehrmaliges Durchlaufen dieses Prozesses. (Ergebnisse einer Modellierung werden in die Ausgangssituation eingebracht, was möglicherweise zur Revision des Modells führt.) Situation Ergebnisse Problem Lösung Deutsches Pisa-Konsortium (Hrsg.) (2001). PISA 2000. S. 144, Opladen: Leske + Budrich. Bos, W. u.a. (2003). Erste Ergebnisse aus IGLU. S. 191. Münster: Waxmann.

Prozess des Modellierens Wahrnehmen einer Situation und des „Fragwürdigen“ Entwicklung eines Realmodells Entwicklung mathematischer Modelle als konstruktiver und kreativer Akt ==> Phase des Problemlöseprozesses Datenverarbeitung - Arbeit mit einem arithmetischen Modell Rechnerische Ergebnisse werden für die Situation interpretiert

Lösen von Sachaufgaben – ein Modellierungsprozess Deutsches Pisa-Konsortium (Hrsg.) (2001). PISA 2000. S. 148, Opladen: Leske + Budrich.

Lösen von Sachaufgaben – ein Modellierungsprozess Kompetenzstufen Stufe 1: Rechnen auf Grundschulniveau (329-420) Stufe 2: Elementare Modellierung (421-511) Stufe 3: Modellieren und begriffliches Verknüpfen auf dem Niveau der Sekundarstufe I (512-603) Stufe 4: Umfangreiche Modellierungen auf der Basis anspruchsvoller Begriffe (604-695) Stufe 5: Komplexe Modellierung und innermathematisches Argumentieren (über 696) Deutsches Pisa-Konsortium (Hrsg.) (2001). PISA 2000. S. 160, Opladen: Leske + Budrich.

Lösen von Sachaufgaben – ein Modellierungsprozess Bos, W. u.a. (2003). Erste Ergebnisse aus IGLU. S. 201. Münster: Waxmann.

Lösen von Sachaufgaben – ein Modellierungsprozess Bos, W. u.a. (2003). Erste Ergebnisse aus IGLU. S. 202. Münster: Waxmann.

Gruppeneinteilung Veranschaulichen Fehleranalyse Diagnoseverfahren Sachaufgaben

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