Fraktale & Komplexe Zahlen Bild einer Mandelbrotmenge im komplexen Koordinatensystem.
Fraktale & Komplexe Zahlen Definition: „Fraktal ist ein von Benoit Mandelbrot (1975) geprägter Begriff, der natürliche oder künstliche Gebilde oder geometrische Muster bezeichnet, die einen hohen Grad von Selbstähnlichkeit aufweisen.“
Fraktale & Komplexe Zahlen ● Komplexe Zahlen erweitern die reellen Zahlen dahingehend, sodass sämtliche algebraischen Gleichungen lösbar sind. ● Erweitern die reellen Zahlen um einen mit i² = -1 darstellbaren Teil. ● i stellt die imaginäre Einheit da. ● Darstellung als a+bi, wobei a den Realteil und bi den Imaginärteil darstellt.
Fraktale & Komplexe Zahlen Darstellung komplexer Zahlen ● Komplexe und reelle Zahlen werden in senkrecht aufeinander stehenden Zahlenstrahlen dargestellt. Imaginärteil X (3;4) bzw. 3+4i Realteil (-4;-6) bzw. -4-6i X
Fraktale & Komplexe Zahlen Addition und Multiplikation ● Die Addition gleicht der Addition der reellen Zahlen: ● Die Multiplikation:
Fraktale & Komplexe Zahlen Polarkoordinaten ● Die Umwandlung in Polarkoordinaten:
Fraktale & Komplexe Zahlen Spezialfall x² ● Die Quadrierung von Polarkoordinaten: