Modellbildung und simulation Lehrbüche: M. Csizmadia Béla, Nándori Ernő: Modellalkotás Hilfsmaterialen: http://siva.banki.hu/~szakacs Dr. -Ing. Tamás Szakács, PhD

Einleitung Mathematische Modellbildung und numerische Simulation sind heute ein wichtiger Baustein vom reinen Erkenntnisgewinn in den Natur- und Ingenierwissenschaften bis hin zur Produktion in der Industrie. In dieser Vorlesung werden wir zunächst eine Klassifikation der verschiedenen Modelle kennenlernen und uns dann intensiv vor allem mit kontinuierlichen Modellen und deren numerischer Simulation beschäftigen.

Erste Theme: Über die Realität Die einzige unverstehbarkeit in der Universum dass es Verstehbar ist. A. Einstein Modellbildung, Modellentwicklung oder vielleicht besser gesagt Modellgestaltung. Modellbildung beschreibt den Vorgang des Abbildens von Teilstücken der Realität, um sie besser verstehen (diagnostizieren) zu können und Aussagen über die Zukunft machen zu können (prognostizieren). Es geht also um das Erkennen, Beschreiben und Prognostizieren von Umwelt und Realität in Strukturen und Prozessen. Ein Modell im Sinne der Modellbildung ist ein abstraktes Abbild eines Systems, welches stellvertretend für das System untersucht wird.

Erste Theme: Über die Realität Die einzige unverstehbarkeit in der Universum dass es Verstehbar ist. A. Einstein Die Realität kann zur kleinere Teilchen nehmen, und so kann Mann Informationen über die Teilchen schaffen dass er die Ganze nicht Investigiert. (Csizmadia)

Realität - Definition

Realität - Eigenschaften Gleichzeitig: geordnet (deterministic) zufällig (stochastic) (Csizmadia: esetlegesség)

Modelle Ein Modell ist ein Abbild der Wirklichkeit. Es ist durch drei Merkmale gekennzeichnet: (Nach Herbert Stachowiak (Allgemeine Modelltheorie, 1973) 1. Abbildung - Ein Modell ist immer ein Abbild von etwas, eine repräsentation natürlicher oder künstlicher Originale (die Realität), die selbst wieder Modelle sein können. (http://de.wikipedia.org/wiki/Modell) 2. Verkürzung - Ein Modell erfasst nicht alle Attribute des Originals, sondern nur diejenigen, die dem Modellschaffer bzw. Modellnutzer relevant erscheinen. 3. Pragmatismus - Pragmatismus bedeutet so viel wie Orientierung am Nützlichen. Ein Modell ist einem Original nicht von sich aus zugeordnet. Die Zuordnung wird durch die Fragen Für wen?, Warum? und Wozu? relativiert. Ein Modell wird vom Modellschaffer bzw. Modellnutzer innerhalb einer bestimmten Zeitspanne und zu einem bestimmten Zweck für ein Original eingesetzt. Das Modell wird somit interpretiert.

Modelle Man unterscheidet die strukturelle und die pragmatische Modellbildung und die Mischform von beidem. Bei struktureller Modellbildung ist die innere Struktur des Systems bekannt, es wird bewusst abstrahiert, modifiziert und reduziert - hier spricht man vom Whitebox-, oder Glassbox Modell. (Analytische Modellbildung) Bei pragmatischer Modellbildung ist die innere Struktur des Systems unbekannt, es lässt sich nur das Verhalten bzw. die Interaktion des Systems beobachten und modellieren. Die Hintergründe lassen sich meist nicht oder nur zum Teil verstehen - hier spricht man vom Blackbox-Modell. (Empyrische Modellbildung)

Modelle Man unterscheidet die strukturelle und die pragmatische Modellbildung und die Mischform von beidem. Als drittes ist hier noch die Mischform von beidem zu nennen. Es sind Teile des Systems bekannt, andere wiederum nicht und nicht alle Wechselwirkungen und Interaktionen zwischen Teilkomponenten lassen sich nachvollziehen - hier spricht man vom Greybox-Modell. Die Mischform ist die häufigste, weil es aufgrund von Kosten-Nutzen-Überlegungen meist besser ist (ausreicht), das System auf diese Weise abzubilden. (Halb-Empyrische Modellbildung)

Definitionen über Modellbildung Zwei Erscheinungen sind sich dann ähnlich, wenn die eine alle charakteristischen Eigenschaften der anderen aufweist und diese charakteristische Merkmale können gegenseitig einander abgebildet werden. Der Faktor, der das Abbild der Eigenschaften der zwei Erscheinungen ineinander erstellt, wird Aehnlichkeitsfaktor genannt. Die Modellgesetze definieren das mathematische Verhältnis des Aehnlichkeitsfaktors.

Klassifikation der verschiedenen Modelle Die erste Unterscheidung erfolgt in: qualitative Modelle, d.h., Modelle, die prinzipiell die Struktur eines Prozesses beschreiben sollen und gewisse qualitative Voraussagen (In Betriebswitschaft: etwa über langfristige Geschwindigkeit von Wachstum) ermöglichen sollen, aber keine expliziten Werte für die Variablen des Systems liefern. quantitative Modelle, d.h., Modelle, die für quantitative Voraussagen der Werte von gewissen Variablen benutzt werden sollen.

Klassifikation der verschiedenen Modelle Die erste Unterscheidung erfolgt in: Qualitative Modelle verwendet man oft in den Wirtschaftswissenschaften (z.B. um die Dynamik der Preisbildung zu verstehen) und auch in manchen Naturwissenschaften wie der Ökologie (ein qualitatives Modell kann genügen um zu verstehen, ob sich ein ökologisches Gleichgewicht ausbildet oder ob es zu einer möglichen Katastrophe kommt). Im Allgemeinen bevorzugt man in Naturwissenschaft und Technik aber quantitative Modelle, und auch wir werden uns im Laufe dieser Vorlesungserie mit solchen beschäftigen.

Klassifikation der verschiedenen Modelle Weitere Unterscheidungen: Man unterscheidet materielle und gedankliche Modelle. Materielle Modelle sind: - Geometrische Modelle (Sample) - Experimental Modelle + Natürliche Modelle + Künstliche Modelle - Ausbildung (anschauliche Modelle) - Forschung (experimentelle Modelle) Gedanklihe Modelle sind: - Geometrische Konstructionsmodelle (CAD) - Physische Modelle + Kontinuum-Modelle + Diskrete -Modelle - Mathematische

Definitionen über Modellbildung Gedankliche Modelle sind die Modelle, die nicht in vergegenstaendlicher Form, nur in 2 Dimensionen, in der Bildform oder nur in mathematischer Form erscheinen, aber (wegen aehnlichem Verhalten in der Wirklichkeit) sie sind geeignet für die allgemeine schlussfolgerung der Konklusion der geprőften Erscheinungen. Physikalische (mechanische) Modelle sind die gedanklichen Modelle, um die Wirklichkeit des physikalischen (mechanischen) Verhaltens studienhalber darzustellen.

Klassifikation der verschiedenen Modelle Eine weitere Unterscheidung von mathematischen Modellen besteht in der Natur der Unbekannten, Diskrete Modelle bestehen aus einer endlichen Anzahl von Partikeln (Atomen, Moleküulen, ...), deren Eigenschaften (Position, Geschwindigkeit, Spin, ...) durch das Modell beschrieben werden. Kontinuumsmodelle beschreiben die Dichten der Variablen, normalerweise als Funktionen von Ort und Zeit.

Modellierungszyklus Der Zyklus der mathematischen Modellierung läuft im allgemeinen wie folgt ab: 1. Verständnis des realen Problems. 2. Wahl der Skalen und der entsprechenden mathematischen Beschreibung. 3. Entwicklung eines mathematischen Modells. 4. Sensitivitätsanalyse und eventuelle Vereinfachung des Modells. 5. Numerische Simulation des Modells. 6. Interpretation der Lösung. 7. Vergleich der Lösung mit realen Daten. 8. Falls nötig, Verfeinerung des Modells oder (optimale) Änderung von Parametern.

Modellierungszyklus

Definitionen: Simulation Die Simulation ist eine Anwendung des aufgebauten Modelles für eine vorgegebenes Problemlösung, um die Erkenntnis der geprüften Erscheinung gäenzlich zu ermöglichen.

Simulieren - Definition

Überblick – Motivation

Simulationen

Simulationen Matlab/Simulink

Simulationen LabView

Simulationen Virtuelle Realität

Über die Realität http://de.wikipedia.org/wiki/Mathematisches_Modell http://de.wikipedia.org/wiki/Modellbildung http://hannes-sander.net/wordpress/2011/01/11/was-genau-ist-eigentlich-ein-modell/