Klassische Probleme der konstruktiven Geometrie Mathematik Klassische Probleme der konstruktiven Geometrie

Inhaltsverzeichnis Allgemein Konstruktion von Zahlen Körper Polynome Winkeldreiteilung Würfelverdoppelung Quadratur des Kreises Phi und das Pentagramm

Allgemein Mögliche Konstruktionsschritte: Mögliche Konstruktionen: Zeichnen eines Kreises Zeichnen einer Geraden Mögliche Konstruktionen: Bestimmung der Mitte einer Gerade Bestimmung eines Schnittpunktes zweier Geraden

Konstruktion von Zahlen

Körper

Vereinbarungen Konstruktion muss in endlich Vielen Schritten passieren Bsp: ⅓ = ¼ +1/16+1/64+......

Rechenoperationen Addition: Zeichnen von Strecke 1 Verlängern der Strecke 1 in eine Richtung Zeichnen eines Kreises mit Radius der Strecke 2 Schnittpunkt ergibt dann die Strecke 1 + Strecke 2 a b a + b

Rechenoperationen Subtraktion: Selbe Konstruktion wie Addition Nur diesmal der andere Schnittpunkt zwischen Kreis und Strecke a a b a - b

Rechenoperationen Multiplikation: Durch Strahlensatz a 1 b

Rechenoperationen Radizieren: Mit Hilfe des Höhensatz (Ableitung des Satz des Pythagoras h² = p*q  h = Wenn p= 1  h = h Kkkkkkk kkkk p q

Konstruierbarkeit Es sind alle rationale Zahlen konstruierbar Da, man rationale Zahlen immer als Bruch darstellen kann. Quadratwurzeln und deren Quadratwurzeln(4te-Wurzel, 8te-Wurzel)

Würfelverdoppelung Aufgabe: Man soll einen Würfel im Volumen verdoppeln und wie groß ist dann die Kantenlänge des Würfels Aalt =3wurzel Valt 2 Valt = Vneu Das Delische Problem der Würfelverdoppelung Um dieses Problem rankt sich eine Vielzahl von Legenden. So soll das Orakel auf Delos den Griechen in Aussicht gestellt haben, von der Pest befreit zu werden, wenn sie den würfelförmigen Altar des Apollo doppelt so groß machten. Das Delische Problem der Würfelverdoppelung besteht also in der die Aufgabe, ausgehend von einem Würfel mit Kantenlänge a, mit Zirkel und Lineal allein einen Würfel mit dem doppelten Volumen zu konstruieren. Wie die anderen klassischen Probleme ist diese Aufgabe mit Zirkel und Lineal allein unlösbar. Es existieren aber auch hier wieder Lösungen, die "unerlaubte" Hilfsmittel verwenden, z. B. die von Diokles, bei der er eine von ihm selbst entdeckte Kurve, die Cissoide verwendet.

Winkeldreiteilung Beispiele wo es klappt: 180°, 90°, 45° 180°, 90°, 45°  nicht allgemein

Winkeldreiteilung

Winkeldreiteilung Mit Einschiebelineal

Winkeldreiteilung y 1 sin α α cos α x

Körper

Polynome

Winkeldreiteilung Additionstheoreme:  cos(3 α) = cos(2 α + α) cos(α+β)= cos(α)*cos(β)-sin(α)*sin(β) sin (α +β)= sin(α)*sin(β)+cos(α)*cos(β)  cos(3 α) = cos(2 α + α) 0=4cos³ (α/3) – 3cos (α/3) – cos(α) Substitution: x = cos(α/3)  0= 4x³ - 3x - cos α