Verschiedene Potentialansätze in der Numerischen Feldberechnung Benjamin Menküc

Inhalt Das magnetische Skalarpotential Das reduzierte Skalarpotential A, V - P Formulierung T, Omega Formulierung Randbedingungen Allgemein

Das magnetische Skalarpotential Nur verwendbar für stromfreie Bereiche Die Maxwellgleichungen für Magnetfelder können wie die Gleichungen für Elektrischen Felder behandelt werden Es gilt: (keine Stromdichten) Daraus folgt: Das Magnetfeld ist also wirbelfrei, d.h. wir können es als Gradient eines Potentials ausdrücken

Mit der 4. Maxwellgleichung und der Annahme, dass der Zusammenhang Von B und H linear ist folgt dann die allgemeine Laplacegleichung für das magnetische Skalarpotential: Mit dieser Gleichung lassen sich leicht stromlose dreidimensionale Probleme lösen. Bei Randwertproblemen geht man analog zum elektrischen Skalarpotential vor: Dirichlet Randbedingung: Neumann Randbedingung:

Das reduzierte Skalarpotential Dieser Ansatz ist für stromführende Bereiche verwendbar. Dabei wird das Magnetfeld in eine wirbelfreie Komponente und eine quellenfreie Komponente zerlegt. Es ist zu beachten, dass die eingeprägte Stromdichte bekannt sein muss und dass das Gebiet nicht leitfähig ist. Die quellenfreie Komponente des Magnetfeldes muss nur das 1. Maxwellsche Gesetz erfüllen, ansonsten ist sie beliebig: Dieses Feld zu finden ist einfach, da es keine Randbedingungen erfüllen muss und ein beliebigen Quellenanteil enthalten darf.

Da das H Feld des ursprünglichen Problems, auch Quellenanteile haben kann, muss man sich auch um diese kümmern. Das reduzierte Skalarpotential kann man also wie folgt definieren: Um an eine Bestimmungsgleichung für das reduzierte Skalarpotential zu kommen, multipliziert man beide Seiten der obigen Gleichung mit der magnetischen Permeabilität und nimmt dann die Divergenz Um das gesamte Problem zu lösen, bestimmt man also zuerst das reine Wirbelfeld, dann das reduzierte Skalarpotential und schließlich aus Kombination dieser beiden das gesuchte H Feld.

Wirbelströme Das zu betrachtende Gebiet wird zwei verschiedene Bereiche unterteilt. Zum einen gibt es ein Wirbelstrombereich, der leitfähig ist und keine Stromquellen enthält. Der andere Bereich enthält eine Stromdichte, ist sonst aber nicht leitend, wie z.B. die Nuten einer elektrischen Maschine. Obige Zeichnung korrespondiert mit der Formulierung.

Es wird nun das Wirbelstromgebiet betrachtet. Es gibt eine Leitfähigkeit und eine magnetische Permeabilität Die dielektrische Verschiebungsdichte kann vernachlässigt werden, da das Gebiet leitfähig ist. Es wird jetzt das magnetische Vektorpotential eingeführt: Wobei V eine Potentialfunktion für das elektrische Feld ist.

Die Ausgangsgleichung zur Bestimmung des magnetischen Vektorpotentials wird über die zweite Maxwell Gleichung hergeleitet: (1) Bei diesen Umformungen wurden auch die Materialgleichung für die magnetische Flussdichte verwendet. Weitere Vereinfachungen sind möglich, wenn der Zusammenhang zwischen B und H linear ist. Um A eindeutig festzulegen, wird die Coulomb-Eichung angewendet:

In diesem Fall kann Gleichung (1) wie folgt ergänzt werden: (2) Mit dieser Gleichung ist aber nicht mehr automatisch die Quellenfreiheit der Stromdichte gewährleistet, die aber bei Vernachlässigung der dielektrischen Verschiebung notwendig ist. Also muss diese Bedingung separat formuliert werden: In Gleichung (2) kann man jetzt den vektoriellen Laplace Operator zum Einsatz bringen.

Allgemein gilt folgende Identität: wobei der vektorielle Laplace Operator ist, den man so verstehen muss, dass der skalare Laplace Operator auf jede Komponente von A angewandt wird. Falls konstant ist, d.h. keine Funktion des Ortes, vereinfacht sich obige Gleichung weiter: (3) Gleichung (2) lässt sich damit umschreiben zu: Es wird jetzt aber mit Gleichung (2) weitergearbeitet, um die Allgemeinheit zu wahren.

Im nicht leitenden Gebiet lässt sich die Methode mit dem reduzierten Skalarpotential anwenden, oder wenn keine Stromdichte vorhanden ist, das totale magnetische Skalarpotential P. Im weiteren wird jetzt nur P verwendet, da das reduzierte Skalarpotential an dieser Stelle zu aufwändig wäre. Dies ist die Formulierung. In diesem Gebiet ist folgende Gleichung zu erfüllen:

Randbedingungen Oder, im Falle der

, und werden durch folgende Knotenelemente erzeugt:

Schwache Formulierung des Wirbelstromproblems Gewichtungsfunktion Durch Einsetzen der Knotenelemente und Auswertung des Integrals an den Verschiedenen Knoten ergeben sich die zu lösenden Gleichungen.

In den Wirbelstromgebieten kann man ähnlich vorgehen, wie weiter oben für nicht leitende stromführende Gebiete beschrieben wurde. Die Stromdichte ist jetzt aber nicht bekannt, der Wirbelanteil des Magnetfeldes kann also nicht mehr mit Biot-Savart berechnet werden. Diese Methode versagt jedoch, wenn das Gebiet mehrfach leitend verbunden ist, weil das Ampèresche Gesetz dann nicht mehr erfüllt ist.

Fakten zu Randbedingungen: Normalkomponente von D springt um Oberflächenladungsdichte Normalkomponente von B ist stetig Tangentialkomponente von H springt um Oberflächenstrombelag Tangentialkomponente von E ist stetig (Grenzfläche zwischen Leitern) E-Feld und D-Feld an Oberflächen B-Feld und H-Feld an Oberflächen Dielektrizitätskonstante magnetische Permeabilität

Schlussbemerkung Es hat sich im laufe meiner Arbeit mit dem Thema gezeigt, dass besonders die Erfassung des realen Problems durch korrekte Randbedingungen nicht immer einfach ist und viel Aufmerksamkeit erfordert. Durch geschickte Formulierungen der Maxwellgleichungen lässt sich viel Rechenaufwand sparen und es entstehen genauere Ergebnisse.

Referenzen [1] O. Biro, K. Preis, „On the Use of the Magnetic Vector Potential in the Finite Element Analysis of Three-Dimensional Eddy Currents“, IEEE Trans. On Magnetics, Vol. 25, No. 4, July 1989 [2] O. Biro, K. Preis, „Finite Element Analysis of 3-D Eddy Currents“, IEEE Trans. On Magnetics, Vol. 26, No. 2, March 1990 [3] A. Kost, „Numerische Methoden in der Berechnung elektromagnetiscer Felder“, Springer Verlag, 1994 [4] P. P. Silvester, R. L. Ferrari, „Finite elements for electrical engineers“, Cambridge Univ. Press, 1996