Unmöglichkeitsbeweise Klassische Probleme der konstruktiven Geometrie Von der Problemstellung zum Unmöglichkeitsbeweis Konstruierbarkeit Was lässt sich nun alles mit der Euklidischen Geometrie konstruieren? Wenn wir die möglichen Operationen, welche mit der euklidischen Geometrie möglich sind, genauer untersuchen, stellen wir fest, dass sich nur folgende Rechenschritte mit ihr konstruieren lassen: Additionen/Subtraktionen Multiplikationen/Divisionen Quadratwurzeln Kurz: Es lassen sich alle rationalen Zahlen und Quadratwurzelausdrücke mit der Euklidischen Geometrie konstruieren Unmöglichkeitsbeweise Die Würfelverdoppelung Wir benötigen hierfür Kubikwurzeln. Diese können wir jedoch nicht konstruieren, da sich unter den Zahlen, die wir konstruieren können, lediglich die rationalen Zahlen und Quadratwurzelausdrücke befinden. Eine Würfelverdoppelung kann also nicht mit der Euklidischen Geometrie konstruiert werden. Die Quadratur des Kreises Man braucht für diese Konstruktion die Kreiszahl. Damit wir π konstruieren können, müsste es Lösung eines Polynoms vom Grad 2^n und der Form anx^n+an-1x^n-1+…+a1x+a0 sein. Außerdem müssten alle Koeffizienten Element unseres Körperturmes sein. Mathematiker haben allerdings herausgefunden, dass man die Kreiszahl durch gar kein Polynom darstellen kann! Also ist es für uns unmöglich sie mit der Euklidischen Geometrie darzustellen. Anmerkung: Man kann die Kreiszahl allerdings mit Hilfe einer Quadratrix darstellen. (Ein Modell einer Quadratrix ist an unserem Stand ausgestellt) Die Winkeldreiteilung Es ist durchaus möglich manche Winkel (z.B. 90° oder 180°) dreizuteilen. Bei anderen Winkeln (z.B. 60° scheint es nicht zu funktionieren). Um nun zu zeigen, dass es auch Winkel gibt, die man nicht dreiteilen kann, reicht es einen einzigen Winkel zu finden, bei dem die Dreiteilung nicht funktioniert. Wenn man nun zur Dreiteilung bestimmter Winkel eine Zahl benötigt, die Nullstelle eines irreduziblen Polynoms ist, das nicht vom Grad 2^n ist, dann wäre bewiesen, dass es Winkel gibt, die man nicht mit Zirkel und Lineal dreiteilen kann. Über Additionstheoreme erhalten wir Punkte, die mit Winkelgrößen zu tun haben. Nach längerem Umformen, Vereinfachen und Substituieren kommen wir schließlich auf die Gleichung: 4x³ - 3x – cosα = 0 Bei „α“ kann ein beliebiger Winkel eingesetzt werden, wir nehmen beispielsweise einen Winkel der Weite α = 60°, also cos60° = ½ . So erhalten wir die Gleichung 4x³ - 3x – ½ = 0, welche aber nicht aufgeht! D.h. die Nullstelle ist nicht über unserem Erweiterungskörper von Q reduzibel und lässt sich somit auch nicht konstruieren! Es gibt also Winkel, welche sich allein mit Hilfe von Zirkel und Lineal nicht dreiteilen lassen. Anmerkung: Das heißt aber nicht, das eine Winkeldreiteilung unmöglich ist! Mithilfe von Einschiebelineal, Rechtwinkelhaken, Gelenkmechanismen, Quadratrix oder sogar Papierfalten ist dies durchaus möglich, gilt dann aber nicht mehr mit Euklidischer Geometrie konstruiert. (Wir können ihnen diese Techniken gerne demonstrieren) Problemstellung (Geometrisch) Das antike Griechenland war Ursprung folgender „klassischer“ Probleme, welche aber damals trotz vieler Versuche ungelöst blieben. Die Würfelverdoppelung Die Kanten eines Würfels sollen so verlängert werden, sodass man einen Würfel mit doppelt so großem Flächeninhalt erhält Die Quadratur des Kreises Hier ist ein Kreis gegeben und man soll ein Quadrat konstruieren, dessen Flächeninhalt dem des Kreises entspricht Die Winkeldreiteilung Man hat einen beliebig großen Winkel und möchte den dritten Teil dieses Winkels konstruieren. Doch es gelang erst um das 18.Jhd diese Probleme zu lösen! Man nahm damals bereits an, dass sie unlösbar sind. Doch während als Möglichkeitsbeweis eine Konstruktionsbeschreibung reicht, benötigt ein Unmöglichkeitsbeweis Kenntnisse, welche damals nicht vorhanden waren. Problemlösung (Algebraisch) Erst im 18. und 19. Jhd konnten die antiken Probleme gelöst werden, da es erst jetzt die nötigen theoretischen und algebraischen Kenntnisse gab, die man benötigt, um einen Unmöglichkeitsbeweis aufzustellen Wichtig für unsere Probleme sind: Welche Zahlen lassen sich konstruieren Körpertheorie Polynome V1 = 1cm³ V2 = 2 * V1= 2cm³ = x³ X³ = 2cm² X = ³√2 cm => Um die Konstruktion auszuführen muss man ³√2 konstruieren können r = 1cm AKreis = 2 * π * 1 = 2* π AQuadrat = x² X² = 2* π X = √2 * √ π => Für diese Konstruktion ist es sowohl notwendig Quadratwurzeln, als auch die Kreiszahl zu konstruieren Körpertheorie: Körper sind Zahlenmengen, auf die spezielle Rechenregeln zutreffen. Die Menge Q ist beispielsweise ein körper. Es wäre gut, alle konstruierbaren Zahlen in einem Körper zusammenzufassen. Dazu müsste man zu den rationalen Zahlen noch Wurzelausdrücke hinzufügen. Tut man das, kommt man auf folgenden „Körperturm“: Kn { z|z = a+b √Wn-1 , a, b є Kn-1, Wn-1 є Kn-1, fest} …endlich viele Zwischenkörper K1 { z|z = a+b √W1 , a, b є K0, W1 є K0, fest} K0 = Q => Im letzten Körper vom Grad 2^n sind alle Zahlen, die konstruierbar sind. Wie man sieht, liegen nur rationale Zahlen und Quadratwurzelausdrücke darin => Hierzu muss es möglich sein einen Kreisbogen in drei gleiche Abschnitte zu teilen 2^n Euklidische Geometrie Die alten Griechen versuchten diese Probleme mit Hilfe der Geometrie zu lösen. Sie benutzten dazu die „Euklidische Geometrie“. Euklidische Geometrie bedeutet grob: Nur Zirkel und Lineal dürfen benutzt werden Das Lineal darf nur zum ziehen von Geraden, nicht zum abmessen benutzt werden Bei Verwendung des Zirkels muss ein Mittelpunkt vorhanden sein Die Schritte müssen endlich sein Die Einheit „1“ ist bekannt Polynome: Polynome sind Therme der Form: anx^n+an-1x^n-1+…+a1x+a0 Das Polynom ist über einer Menge M, aus der auch die Koeffizienten sind und hat den Grad n Polynome können reduzibel(=zerlegbar) oder irreduzibel(=unzerlegbar) sein. Wir können nur die Nullstellen von irreduziblen Polynomen vom Grad 2^n konstruieren. Will man einen Unmöglichkeitsbeweis machen, reicht es also aus ein irreduzibles Polynom zu finden, das nicht vom Grad 2^n ist und die zu konstruierende Zahl als Nullstelle hat Sollten sie Fragen haben, werden wir Ihnen diese gerne beantworten