Folie 1 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co.

Folie 2 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Inhalt 1.Einleitung 1.1 Aufgabe – Netzentwurf 1.2 Optimierungsproblem 1.3 Optimierungsverfahren 2.Kruskal - Spannende Bäume 2.1 Problem 2.2 Algorithmen 3.Steiner Bäume 3.1 Problem 3.2 Algorithmen 4.Reduktionsverfahren nach Heck 4.1 Verfahren 4.2 Beispiele KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren

Folie 3 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Aufgabe von Verkehrsnetzen Verkehrsnetze verbinden Räume und erschließen sie. Sie dienen dem Transport von Personen und Gütern. Verkehrsnetze bilden das Rückgrat eines jeden Verkehrssystems. Der Entwurf von Verkehrsnetzen ist eine wichtige Aufgabe der Verkehrsplanung. KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren

Folie 4 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Planung von Verkehrsnetzen Wir betrachten hier Straßennetze und Netze des öffentlichen Verkehrs. KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren Hannover : Straßennetz Region Liniennetz der Stadtbahn - ÜSTRA

Folie 5 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Wirkungsgefüge: Raum und Verkehr KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren Wechsel der Aktivitäten Ortswechsel - Wege Verkehrsnachfrage Raum Verkehrsnachfrage Verkehrsnetz Die Raumstruktur bestimmt die Verkehrsnachfrage und damit die Struktur der Verkehrsnetze.

Folie 6 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Wirkungsgefüge: Raum und Verkehr KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren Zentrale OrteVerkehrsnachfrage - Pendler Raumstruktur - Verkehrsnachfrage - Struktur der Verkehrsnetze

Folie 7 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Anforderungen an Verkehrsnetze Verkehrsqualität das Verkehrsnetz hat die vorhandene Verkehrsnachfrage bei einem Mindestangebot an Verkehrsqualität aufzunehmen. Wirtschaftlichkeit Sicht des Betreibers: minimale Bau- und Unterhaltungskosten und der Nutzer: minimale Betriebs- und Zeitkosten KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren

Folie 8 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Anforderungen an Verkehrsnetze Sicht der Allgemeinheit: geringe Beeinträchtigung der Umweltqualität durch Lärm, Abgase und Unfälle sowie die Schonung der Ressourcen: –Energie und –Flächen >>> komplexes multikriterielles Optimierungsproblem KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren

Folie 9 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Zielkonflikt: Netzlänge - Fahrtweiten KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren

Folie 10 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Zielkonflikt: Netzlänge - Fahrtweiten KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren

Folie 11 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Zielkonflikt: Netzlänge - Fahrtweiten KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren

Folie 12 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Zielkonflikt: Netzlänge - Fahrtweiten KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren

Folie 13 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Netzentwurf – Aufgaben Aufgaben Verkehrsnetzplanung KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren Entwicklung von ideellen Netzkonzepten (RIN * ) Entwicklung von Planfällen in realen Netzen aus Maßnahmenkatalog neue Verbindungen Ausbau/Rückbau Betrieb Formale Aufgaben Strukturoptimierung Netzdimensionierung * Rahmenrichtlinie für die integrierte Netzgestaltung

Folie 14 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Optimierungsproblem: Netzentwurf KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren Entwicklung von Planfällen aus Maßnahmen- katalog Netzhierarchie! Problem: hohe Kombinatorik !!!

Folie 15 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Netzentwurf – Methodisches Vorgehen Konstruktionsprinzipien: RAS-N * Alternativverfahren Reduktionsverfahren * Progressivverfahren * * rechnergestützt KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren * RICHTLINIEN FÜR DIE ANLAGE VON LANDSTRASSEN – Teil: Straßennetzgestaltung Netzhierarchie Konzentration > Auslastung ! Planerisch-intuitiv Reduktion aus Maximalnetz Aufbau aus Minimalnetz >>> Optimierung

Folie 16 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Optimierungsproblem: Netzentwurf KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren Allgemein

Folie 17 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Optimierungsproblem: Netzentwurf KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren Allgemein Netzmodell: Verkehrsnetz > Graph(V,E,c) Entscheidungsvariable: Kanten Bewertungsgrößen: Längen, Zeiten, Kosten... Grenzwerte: Kapazität, Lärm, Abgase...

Folie 18 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Spannende Bäume - Problem Gegeben sei ein zusammenhängender gewichteter Graph G = (V,E,c), mit c > 0, wobei c die Länge der Kanten sein kann. Gesucht ist ein zusammenhängender Untergraph G' = (V,E'), der alle Knoten von G enthält und dessen Gesamtlänge möglichst klein ist. Ergebnis >>> Minimalgerüst in einem bewerteten Graphen Algorithmen: Prim und Kruskal KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren

Folie 19 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Spannende Bäume – Algorithmus von Kruskal Anfang: Sortiere die Kanten aufsteigend nach der Länge in eine Kandidatenliste 1. Wähle die Kante des Graphen G mit der kleinsten Bewertung 2.Für alle Kanten: Wähle die Kante des Graphen G mit der nächst kleinsten Bewertung, sofern dadurch kein Kreis entsteht. Da der Algorithmus insgesamt n Iterationen benötigt, beträgt die gesamte Komplexität O(n*log(n)). KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren Analogie: Kürzeste Wege

Folie 20 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Beispiel - Ablauf des Algorithmus KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren Angewandte Geometrie & Diskrete Mathematik -TUM Prof. Dr. Peter Gritzmann Dr. René Brandenberg

Folie 21 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Beispiel - Ablauf des Algorithmus KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren

Folie 22 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Beispiel - Ablauf des Algorithmus KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren

Folie 23 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Beispiel - Ablauf des Algorithmus KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren

Folie 24 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Beispiel - Ablauf des Algorithmus KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren

Folie 25 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Beispiel - Ablauf des Algorithmus KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren

Folie 26 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Beispiel - Ablauf des Algorithmus KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren

Folie 27 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Beispiel - Ablauf des Algorithmus KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren

Folie 28 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Beispiel - Ablauf des Algorithmus KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren Angewandte Geometrie & Diskrete Mathematik - TUM Prof. Dr. Peter Gritzmann Dr. René Brandenberg

Folie 29 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Gibt es noch Verbessungen ? Steiner Bäume KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren Steiner Bäume sind eine Verallgemeinerung der spannenden Bäume.

Folie 30 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Steiner Bäume KruskalEinleitung Reduktionsverfahren Problemformulierung: Gegeben sind n Punkte, die miteinander zu verbinden sind, wobei die Lage von m Zwischenpunkten mit ihren Verbindungen untereinander so zu bestimmen sind, dass die Gesamtlänge ein Minimum annimmt.

Folie 31 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Beispiele: gegeben n = 3, 4, 9 und 25 KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren Spannende Bäume sind eine obere Schranke für Steiner Bäume. Komplexität: n > 4 NP-vollständig

Folie 32 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Beispiele: gegeben n = 3, 4, 9 und 25 KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren Algorithmen: Exakte Optimierung Heuristische Optimierung Anwendungen: Optimierung der Netzstruktur Reduktionsverfahren Progressivverfahren

Folie 33 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Reduktionsverfahren nach Heck Beispiel Rasternetz KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren Rasternetz 4 x 4 Knoten Die Umlegungen wurden mit einem Gleichgewichtsmodell mit AMBOS - TRANSVER durchgeführt.TRANSVER

Folie 34 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Reduktionsverfahren Beispiel Rasternetz KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren F i,j = const Umlegung: Basisnetz mit Belastung

Folie 35 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Reduktionsverfahren Beispiel Rasternetz KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren Veränderungen PlusMinus

Folie 36 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Reduktionsverfahren Beispiel Rasternetz KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren Veränderungen PlusMinus

Folie 37 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Reduktionsverfahren Beispiel Rasternetz KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren Veränderungen PlusMinus

Folie 38 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Reduktionsverfahren Beispiel Rasternetz KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren Veränderungen PlusMinus

Folie 39 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Reduktionsverfahren Beispiel Rasternetz KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren Veränderungen PlusMinus

Folie 40 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Reduktionsverfahren Beispiel Rasternetz KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren Veränderungen PlusMinus

Folie 41 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Reduktionsverfahren Beispiel Rasternetz KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren Veränderungen

Folie 42 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Konzept der Reduktion Eingaben: Nachfragematrix Maximalnetz entwerfen Start: Umlegung 0 Kriterium: Reisezeit Ergebnis: Netzbelastung 0 Iteration: (i=1..x) > Umlegung i Kriterium: Gesamtkosten * /Auslastung alpha * Bau-und Nutzerkosten Ergebnis: Netzbelastung i Stop falls: Netzbelastung i = Netzbelastung i+1 KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren Maximalnetz Schritt 1

Folie 43 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Konzept der Reduktion Eingaben: Nachfragematrix Maximalnetz entwerfen Start: Umlegung 0 Kriterium: Reisezeit Ergebnis: Netzbelastung 0 Iteration: (i=1..x) : Umlegung i Kriterium: Gesamtkosten * /Auslastung alpha * Bau- und Nutzerkosten Ergebnis:Netzbelastung i Stop falls: Netzbelastung i = Netzbelastung i+1 KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren Maximalnetz Schritt 1 Endergebnis

Folie 44 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Raum- Struktur Region Hannover Gemeinden Ortsteile REDUKTIONSVERFAHRENnach Heck

Folie 45 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. REDUKTIONSVERFAHREN Bezirksgrenzen Ortsteile Region Hannover 373 Verkehrs- bezirke

Folie 46 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. REDUKTIONSVERFAHREN Maximalnetz Anfangslösung Region Hannover 373 Verkehrs- bezirke

Folie 47 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. REDUKTIONSVERFAHREN Ergebnis Region Hannover 373 Verkehrs- bezirke

Folie 48 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. REDUKTIONSVERFAHREN Ergebnis: ideelles Netzreales Netz ÖV DB + Stadtbahn Bus

Folie 49 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Teilmatrix: Tangential- verbindungen Stadtgebiet Hannover REDUKTIONSVERFAHREN

Folie 50 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. REDUKTIONSVERFAHREN Ergebnis Stadtgebiet Tangential- verbindungen

Folie 51 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Algorithmische Geometrie KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren 373 Verkehrsbezirke Spiderwebnetz Aufgabe: Generieren eines Netzmodells

Folie 52 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Algorithmische Geometrie Teilgebiet der Informatik KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren Speicherung und Verarbeitung geometrischer Daten Lösung geometrischer Distanzprobleme Instrumente: Voronoi Diagramm Delaunay Triangulation Spannende Bäume

Folie 53 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Algorithmische Geometrie Distanzprobleme KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren Voronoi- Diagramm DelaunayTriangulation Applets FernUniversität Hagen Verteilte Systeme Dr. Christian Iking

Folie 54 Workshop: Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden im Verkehr 09.Dezember 2005, Darmstadt Netzoptimierung mit geometrischen Algorithmen - Kruskal & Co. Algorithmische GeometrieMinimalstruktur KruskalEinleitung Steiner Bäume Reduktionsverfahren 1.Generieren eines Netzmodells (Modellierung des Raumes) gegeben: Bezirke Voronoi Diagramm Delaunay Triangulation Ergibt: Netzmodell 2. Netzkonzept Kruskal – Spannender Baum Spannender Baum mit Kapazität Steiner Baum Reduktionsverfahren