Kapitel 5: Digitale Signale SiSy, ADC, 1 x(t) analoges Signal (zeit- und wertkontinuierlich) t Abtastung zeitdiskretes, wertkontinuierliches Signal t -Ts Ts Quantisierung digitales Signal (zeit- und wertdiskret) t Codierung z.B. binäres Signal t

Natural Sampling & ideale Abtastung SiSy, ADC, 2 x(t) t = nTs T0 T0 t t T0 -Ts Ts t -Ts Ts x(t) t = nTs xs(t) t t -Ts Ts t -Ts Ts

Spektrum abgetastetes Signal SiSy, ADC, 3 Ideal abgetastetes Signal im Zeitbereich Darstellung Dirac-Impulsfolge als komplexe Fourierreihe Spektrum abgetastetes Signal Das Spektrum Xs(f) des ideal abgetasteten Signals xs(t) besteht bis auf eine Normierung aus dem Original­spektrum X(f) des analogen Signals x(t) sowie Kopien (Spiegelspektren, Images) X(f-nfs), n≠0, bei den ganz­zahligen Vielfachen der Abtastfrequenz fs.

Spektrum abgetastetes cos-Signal SiSy, ADC, 4 Zeitbereich Frequenzbereich fs 1. Nyquistzone -fs x(t) xs(t) = x(nTs) = x[n] Ts·Xs(f) Spiegelspektrum Originalspektrum Spiegelspektrum -fs/2 fs/2

SHA im ADC sampling clock Timing analoger Input ADC Encoder SiSy, ADC, 5 sampling clock Timing analoger Input ADC Encoder digitaler Output S track (S zu) hold (S offen) track (S zu)

Aliasing und Rekonstruktion SiSy, ADC, 6 analoges Signals x(t) ist aus abgetastetem Signal xs(t) nur dann wieder herstellbar, wenn Abtasttheorem erfüllt ist, d.h. wenn fs > 2∙fg X(f) Spektrum des analogen Signals x(t) f fg Xs(f) HTP(f) Spiegelspektren (Images) Fall fs>2fg f - 3fs - 2fs - fs fs 2fs 3fs Xs(f) Aliasing Fall fs<2fg f - 4fs - 3fs - 2fs - fs fs 2fs 3fs 4fs

Anti-Aliasing-Filter Digitalisierungssystem SiSy, ADC, 7 fs fs fg < fs/2 fg < fs/2 ADC „DSP“ DAC mit ZOH* ZOH- Kompensation* Anti-Aliasing-Filter X(f) ∙ H(f) = Y(f) Post-Filter* * Komponenten Rekonstruktionsfilter IH(f)I Durchlass- bereich Übergangs- bereich Sperr- bereich DR DR (dynamic range) f fg fs/2 fs-fg fs

Idealer Tiefpass Rechteck-förmiger Frequenzgang H(f) H(f) SiSy, ADC, 8 Rechteck-förmiger Frequenzgang H(f) H(f) Frequenz f / fs Sinc-förmige Stossantwort h(t) Ts · h(t) Zeit t / Ts

ideal abgetastetes Signal Ideale Rekonstruktion SiSy, ADC, 9 Stossantwort (sinc-förmig) Stoss δ(t) (1) idealer TP t fg=fs/2 ideal abgetastetes Signal (zeitverschobene, gewichtete Stösse) analoges Signal (Originalsignal perfekt interpoliert mit zeit- verschobenen, gewichteten sinc-Funktionen) xs(t) x(t) idealer TP fg=fs/2 t t -Ts Ts

Ideale Rekonstruktion SiSy, ADC, 10 ideal abgetastetes Signal xs(t) idealer TP rekonstruiertes Signal x(t) fg=fs/2 Interpolationsfunktionen x(Ts) x(t) = cos(2π(fs/16)t) t Ts

Reale Rekonstruktion mit ZOH SiSy, ADC, 11 Stoss Stossantwort δ(t) fs h(t) (1) 1 DAC mit ZOH t t ZOH: Zero-Order-Hold Ts rekonstruiertes Signal (Treppenstufen-Signal ≠ x(t)) ideal abgetastetes Signal (zeitverschobene, gewichtete Stösse) fs xs(t) DAC mit ZOH t t -Ts Ts Ts

Reale Rekonstruktion mit ZOH SiSy, ADC, 12 hZOH(t) 1 t Ts Sinc-förmiger Amplitudengang des ZOH-Filters -14 dB -4 dB (kompensierbar) nachgeschaltetes Postfilter

Quantisierung Aussteuerbereich und Quantisierungsstufen SiSy, ADC, 13 Aussteuerbereich und Quantisierungsstufen Δ Quantisierungsstufe Δ = A / 2W W: Wortbreite ADC in Bits Aussteuerbereich A (full-scale-Bereich) t Lineares Ersatzmodell Quantisierungsfehler Wahrscheinlichkeits-Dichtefunktion x(nTs) Pε(nTs) Quantisierer xq(nTs) 1/Δ x(nTs) xq(nTs) -Δ/2 Δ/2 ε(nTs)

Quantisierungskennlinie SiSy, ADC, 14 xq(nTs) 011 3Δ 010 2Δ out of range 001 Δ 000 x(nTs) -4Δ -3Δ -2Δ -Δ Δ/2 Δ 2Δ 3Δ 111 -Δ 110 out of range -2Δ 101 -3Δ 100 -4Δ

Quantisierungsrauschen SiSy, ADC, 15 Signal-zu-Quantisierungsrauschen SNR ist interessant SNR = PSignal / PQ-Rauschen = Px / Pε wobei Pε = Δ2/12 und Δ = A / 2W Signal-zu-Quantisierungsrauschen SNR in dB Signalleistung in dB Aussteuerbereich Sinus-förmiges Signal mit Vollausteuerung d.h. Amplitude A/2, Px = (A/2)2 / 2 SNR [dB] = 6·W + 1.76 mit jedem Bit mehr Wortlänge wird das SNR um 6 dB erhöht bzw. die Amplitude des Quantisierungsrauschens halbiert!

Aperture und Clock Sampling Jitter SiSy, ADC, 16 ∆xrms x(t) track Schalter offen (hold) track t tj SNR = -20·log10(2πf·tj)

Phase[n] = (Phase[n-1] + M) mod N Beispiel einer DAC-Anwendung SiSy, ADC, 17 Direkte, Digitale Synthese (DDS) Lookup-Tabelle mit N Werten einer Sinus-Periode t 0 Ts=1/fs DAC (ZOH) TP fs Phase[n] = (Phase[n-1] + M) mod N (Phase entspricht Adresse) f0 = M·fs/N t 0 Ts=1/fs T0 Fall M=2 t 0 Ts=1/fs