07 Mathematik Lösung 2008 ZKM
Mathematik 1. 7/30 einer Zahl sind 8820. Berechne 7/9 dieser Zahl. Aufgaben Serie 9 Übungsserie ZKM 2008 1. 7/30 einer Zahl sind 8820. Berechne 7/9 dieser Zahl. Gleichnaming machen: 3 10 7/30 ; 7/9 21/90 ; 70/90 3 10 Da nicht alle die Proportionalität gleich darstellen, sind hier beide Varianten! Variante I: Variante II: 21/90 -------- 8820 21/90 -------- 8820 : 3 : 3 29400 7/90 -------- 2940 : 3 70/90 -------- : 3 10 10 10 10 2940 70/90 -------- 29400 7/90 -------- ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 2008
Mathematik Aufgaben Serie 9 Übungsserie ZKM 2008 2. Gesucht ist eine dreistellige Zahl, die folgende vier Bedingungen erfüllt: 2.1. Ihre Quersumme ist 19. 2.2. Vorwärts und rückwärts gelesen ist es die gleiche Zahl. 2.3. Die Zahl ist gerade. 2.4. Das Produkt ihrer Ziffern ist ebenfalls eine Zahl, die vorwärts und rückwärts gelesen gleich lautet. a. Wie heissen die Zahlen, welche die ersten zwei Bedingungen erfüllen? b. Wie heisst die Zahl, die alle vier Bedingungen erfüllt? Gib das Produkt ihrer Ziffern an. c. Zeige, dass die Zahl, welche alle vier Bedingungen erfüllt, eine Quadratzahl ist. (Produkt = Resultat der Malrechnung 2 3 = 6) je gleich Quadratzahl Produkt zweier gleichen Zahlen 5 5 = 25 5 + 9 + 5 = 19 Quersumme a) (2.1. + 2.2) 595 676 757 838 919 b) (2.1. - 2.4) 676 (Produkt der Ziffern = 6 7 6 = 252) OK (838 (Produkt der Ziffern = 8 3 8 = 192) nicht OK c) (2.1. - 2.4 + QZ) 26 26 = 676 ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 2008
Mathematik Aufgaben Serie 9 Übungsserie ZKM 2008 3. Familie Zimmerli möchte die quadratischen Platten ihres Badezimmers mit einem speziellen Muster bemalen lassen. Die Seitenlänge der Platten soll auf jeden Fall 12 cm betragen. Die grauen Rechtecke sollen auf jeden Fall doppelt so breit wie die weissen sein. Bei der Grösse des dunklen Quadrates in der Mitte gehen die Meinungen jedoch auseinander. a) Anna Zimmerli möchte, dass die weissen Rechtecke siebenmal so lang wie breit sind. 12 cm Wie lang wird in diesem Fall die Seite des dunklen Quadrates? b) Beat Zimmerli möchte, dass die Fläche des dunklen Quadrates in der Mitte doppelt so gross ist wie die Fläche eines grauen Rechtecks. Welchen Bruchteil der ganzen Platte nimmt nun ein weisses Rechteck ein? 12 cm neu: weglassen!! 12 cm c) Wie lang wird nun die Seite des dunklen Quadrates? siehe nächste Seite ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 2008
Mathematik a) b) a) Anna Seite = 12 cm 1 Seite hat 10 Teile Aufgaben Serie 9 Übungsserie ZKM 2008 a) b) a) Anna 2 T 2 T Seite = 12 cm 1 T 1T 7T 1 T 1 Seite hat 10 Teile 1 T 4 T 2 T 10 T 2 T 7 T 1 Teil = 12 cm : 10 = 1.2 cm 1 T 2 T 2 T 1T 4 T 1T 2 T schwarz hat 4 Teile = 4 1.2 cm = 4.8 cm 10 T b) Beat c) neue schwarze Seite des Innen Quadrates 1 Quadrat s = 4 T F = 12 cm 12 cm = 144 cm2 4 Rechtecke gr = 8 T F s = 4T = 4/16 4 Rechtecke w = 4 T 144 cm2 : 4 = 36 cm2 F = 36cm2 Total gl. Teile = 16 T s= 6cm 1 w. Rechteck = 1/16 oder: 6cm 6cm=36 cm2 2cm 9cm 1cm Nach den neuen Anforderungen muss dies nicht mehr gemacht werden: 12cm ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 2008
Mathematik Aufgaben Serie 9 Übungsserie ZKM 2008 4. Peter will von seinem Taschengeld Blumen für seine Mutter kaufen. Würde er einen Strauss mit 9 Rosen wählen, so hätte er 2.20 Fr. zu wenig. Bei einem Strauss mit 11 Tulpen, welche nur halb so viel wie die Rosen kosten, blieben ihm 18.10 Fr. übrig. Wie viel kostet eine Rose? 18 Tulpen kosten gleich viel wie 9 Rosen. 9 Rosen – 2.20 Fr = Taschengeld 18 Tulpen – 2.20 Fr. = Taschengeld 11 Tulpen + 18.10 Fr. = Taschengeld Taschengeld oder Taschengeld 18T – 2.20 Fr. = 11 T + 18.10 Fr. 18T – 11 T = 2.20 Fr. + 18.10 Fr. 7 T = 20.30 Fr. 1 Tulpe = 20.30 Fr. : 7 = 2.90 Fr. 5.80 Fr. 1 Rose = 2 2.90 Fr. = ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 2008
Mathematik Aufgaben Serie 9 Übungsserie ZKM 2008 5. Stefanie und Fabian starten gleichzeitig und fahren auf der gleichen Strecke mit dem Velo zu ihren Grosseltern. Fabian fährt zuerst mit 28.5 km/h, verlangsamt aber nach 24 min und legt den zweiten Streckenteil mit 18 km/h zurück. Stefanie fährt auf der ganzen Strecke mit 24 km/h und kommt gleichzeitig wie Fabian an. Wie viele Meter ist Stefanie nach 24 min hinter Fabian? Wie viele Meter holt Stefanie auf dem zweiten Streckenteil pro Minute auf? Wie lang ist die Strecke, die sie gefahren sind? 28.5 km/h 18 km/h Fabian 24 min A C B 24 km/h Stefanie ? m a) b) ? pro min holt sie auf c) ? km ist die Strecke ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 2008
Mathematik Aufgaben Serie 9 Übungsserie ZKM 2008 24 min 28.5 km/h 18 km/h Fabian A 11.4 km C B 24 km/h 24 km/h Stefanie 24 min 6 km/h schneller 9.6 km 1.8 km a) Wie viele Meter ist Stefanie nach 24 min hinter Fabian? Fabian Stefanie 60 min -------- 28.5 km 60 min -------- 24.0 km : 5 : 5 : 5 : 5 12 min -------- 5.5 km 12 min -------- 4.8 km 2 2 2 2 24 min -------- 11.4 km 24 min -------- 9.6 km 1800 m Stefanie liegt 11.4 km – 9.6 km zurück = 1.8 km = b) Wie viele Meter holt Stefanie auf dem zweiten Streckenteil pro Minute auf? Geschwindigkeitsunterschied: 24 km/h – 18 km/h = 6 km/h 60 min ------ 6 km 100 m/min 1 min ------ 6000 m : 60 min = ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 2008
Mathematik Aufgaben Serie 9 Übungsserie ZKM 2008 28.5 km/h 18 km/h Fabian 24 min A 11.4 km C B 24 km/h 24 km/h Stefanie 24 min 6 km/h schneller 9.6 km 1.8 km 42 min 16.8 km c) Wie lang ist die Strecke, die sie gefahren sind? Rest von Fabian: 1800 m : 100 m/min = 18 min für Stefanie 18 min + 24 min = 42 min für ganze Strecke Stefanie fährt 24 km/h 60 min ---------- 24.0 km : 10 : 10 6 min ---------- 4.2 km 7 16.8 km 7 42 min ---------- ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 2008
Mathematik Aufgaben Serie 9 Übungsserie ZKM 2008 6. Bei Erdarbeiten für einen Dammbau erledigen 7 Schaufelbagger die Arbeit in 40 Tagen. Nach 6 Tagen fallen 2 Schaufelbagger aus und können wegen der Reparatur während 14 Tagen nicht eingesetzt werden. 40 d 7 B 280 Bd 6 d 5 B 14 d ? d = 24 d 7/5/7B 42 Bd 70 Bd 168 Bd 7 B ---------- 40 d !! : 7 1 Bagger hätte für alles 280 Baggertage (Bd) 7 1 B ---------- 280 d Für 6 d sind es 6 d 7 B = 42 Bd 7 B arbeiten 6 d 6 d 7 B = 42 Bd 5 B arbeiten 14 d 14 d 5 B = 70 Bd Für die restliche Zeit sind es noch: 280 Bd – 42 Bd – 70 Bd = 168 Bd 7 B brauchen 168 Bd 168 Bd : 7 B = 24 d 44 d Totale Arbeitszeit: 6 d + 14 d + 24 d = ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 2008
Mathematik Aufgaben Serie 9 Übungsserie ZKM 2008 7. Unten (nächste Seite) ist ein Plan des Innenhofes eines Hauses im Massstab 1:100 gezeichnet. An der Stelle D ist die 5.5 m lange Leine des Hundes Dino befestigt. Konstruiere den Bereich, in dem sich Dino aufhalten kann, und färbe diesen Bereich mit einer ersten Farbe. In diesem Innenhof ist ein Schatz versteckt worden. Du erfährst, dass sich der Schatz näher bei A als bei C befindet und mehr als 3 m von der Mauer AB entfernt ist. Ausserdem wurde beim Verstecken darauf geachtet, dass der Schatz nicht im Aufenthaltsbereich von Dino ist. Konstruiere den Bereich, in dem der Schatz versteckt sein kann, und färbe ihn mit einer zweiten Farbe. Anmerkung: Massstab 1:100 = Auf dem Plan ist alles 100 Mal kleiner als in der Wirklichkeit. Also :100 Leine: 5.5 m 550 cm : 100 = 5.5 cm Abstand: 3 m 300 cm : 100 = 3.0 cm ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 2008
Grün = Bereich des Schatzes Mathematik Aufgaben Serie 9 Übungsserie ZKM 2008 7. Konstruktion: Kreisbogen um D (r = 5.5 cm), C B Mauerkante (D-E-F) verlängern, Kreisbogen um die Ecke (E), r = EF Dinos Leine wird an der Ecke geknickt. Bereich von Dino Grün = Bereich des Schatzes r = 5.5 cm Mittelsenkrechte zu AC, A-Bereich und C-Bereich D r = E F 5.5 cm Parallele zu AB (3 cm) Schraffiere Bereich von Dino (Hund = grau) C-Bereich 3 m A-Bereich Male die 2 Bereiche an! (hier grün) A ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 2008