Quadratische Funktionen Ilona Schaßner-Held Wiederholung: Quadratische Funktionen 28.04.2017 Ilona Schaßner-Held

Die einfachste quadratische Funktion (Normalparabel) Ergänze die Wertetabelle zu y = x² x -3 -2 -1 0,5 1 2 3 y 9 4 1 0,25 1 4 9 2. Stelle diese Funktion in einem Koordinatensystem dar ! (Überlege dir gut, wie du die Koordinatenachsen einteilst !) y x 28.04.2017 Und nun trage die Punkte ein ;auf der nächsten Folie siehst du die Lösung : Ilona Schaßner-Held

28.04.2017 Ilona Schaßner-Held

Nullstelle : N (0/0) Scheitelpunkt: S (0/0) 28.04.2017 Ilona Schaßner-Held

Bei Funktionen der Form y = x² + c wird die Normalparabel einfach nach oben oder nach unten (je nach Vorzeichen von c) parallel verschoben . y = x² + 1, y = x² - 2 y = x² - 5 28.04.2017 Ilona Schaßner-Held

Bei Funktionen der Form y = (x - d)² wird die Normalparabel nur nach rechts (d positiv) oder nach links (d negativ) parallel verschoben ! y = (x – 3)² y =(x + 3)² 28.04.2017 Ilona Schaßner-Held

Bei Funktionen mit der Gleichung y = (x - d)² +c kann die Normalparabel logischerweise in jede Richtung verschoben sein. Ihr Scheitelpunkt lautet nämlich jetzt : S (d ; e ) Nr. Scheitelpunkt Gleichung 1 2 3 4 5 S ( -4 ; 0 ) y = (x+4)² S (-1 ; -3) y = (x+1)² -3 S (2 ; -2) y = (x – 2)² - 2 S ( 3 ; 1 ) y = (x – 3)² + 1 S ( 6 ; -5 ) y = (x – 6)² - 5 28.04.2017 Ilona Schaßner-Held

Lösungen : Gleichung I y= (x + 1)² - 2 Gleichung II y = (x – 2)² + 1 Gib die Scheitelpunkte an und lies die Nullstellen der beiden Funktionen ab ! Gib auch den Schnittpunkt A der beiden Parabeln an! Lösungen : Scheitelpunkte : : S (- 1 ; - 2 ) : S ( 2 ; 1 ) Nullstellen : N1( - 2,3/0)5 und N2 (0,4/0) keine A Schnittpunkt A der Parabeln : A( 1 ; 2 ) 28.04.2017 Ilona Schaßner-Held

Hier siehst du, wie die Parabel der Funktion y = x² + 4x – 3 aussieht. In dieser Normalform y = x² + px + q sind quadratische Funktionen oft gegeben . 28.04.2017 Ilona Schaßner-Held

Lösungen : a) b) c) Funktion Scheitelpunkt Quadranten Nullstellen Berechne zu folgenden Funktionen den Scheitelpunkt, stelle sie dann in einem KS zeichnerisch dar und lies folgende Eigenschaften ab : Nullstellen, Schnittpunkt mit der y – Achse und Quadranten. a) y = x² - 4x – 1 b) y = x² + 8x + 10 und c) y = x² - x – 0,25 Lösungen : Funktion Scheitelpunkt Quadranten Nullstellen Schnittpunkt mit der y-Achse a) b) c) S ( 2 ; - 5 ) I,II,III,IV - 0,3 ; 4,2 ( 0 ; - 1 ) S ( - 4 ; 6 ) I,II - 1,5 ; - 6,5 ( 0 ; 10 ) S ( 0,5 ; 0 ) I,II 0,5 ( 0 ; 0,25 ) 28.04.2017 Ilona Schaßner-Held

a : y = x² - 4x – 1 b : y = x² + 8x + 10 c : y = x² - x – 0,25 28.04.2017 Ilona Schaßner-Held

Wenn die Nullstellen genau bestimmt werden sollen, berechnet man sie Wenn die Nullstellen genau bestimmt werden sollen, berechnet man sie. Es gilt dann : y = 0 ! Also ist 0 = (x -d)² + c oder 0 = x² + px + q Ob die Funktion Nullstellen hat, hängt von dem Ausdruck unter der Wurzel ,der sogenannten Diskriminante D, ab. Es gibt 2 Lösungen, wenn D > 0 ist. Es gibt 1 Lösung, wenn D = 0 ist. Es gibt keine Lösung, wenn D < 0 ist . , 28.04.2017 Ilona Schaßner-Held

Eine Funktion kann Nullstellen haben. keine, eine oder mehrere Nullstellen haben.                                                                                                                                           xn = / xn = 0 xn1 = -1 und xn2 = 1

Berechne die Scheitelpunkte und Nullstellen der folgenden Funktionen, zeichne sie dann in ein KOOS und vergleiche die dort abzulesenden Nullstellen mit deinen berechneten Nullstellen. Berechne außerdem den Schnittpunkt der Parabeln mit der y - Achse und den Schnittpunkt zwischen der 1. und 2. Parabel : (1) y = x² + 4x + 5 (2) y = x² - 2x + 1 (3) y = x² - 6x + 8 28.04.2017 Ilona Schaßner-Held

Lösungen : S2( 1 ; 0 ) S3( 3 ; -1 ) S1( -2 ; 1 ) (2): NS: 1 (D = 0) (3): NS`n: 2 und 4 (D > 0) (1): keine NS (D < 0) D B C 28.04.2017 Ilona Schaßner-Held

Für die Schnittpunkte mit der y – Achse gilt : x = 0 : (1): y = 0² + 4•0 + 5 y = 5 (2): y = 0² - 2•0 + 1 y = 1 (3): y = 0² - 6•0 + 8 y = 8 28.04.2017 Ilona Schaßner-Held

Schnittpunkt der Parabeln: Also ist der Schnittpunkt der Parabeln gerundet : ( -0,7 ; 2,8 ) 28.04.2017 Ilona Schaßner-Held

Berechne selbst die Schnittpunkte C (Parabel 2 und 3) und D (Parabel 1 und 3) 28.04.2017 Ilona Schaßner-Held

Schnittpunkt C (Funktion (2) und (3) : Schnittpunkt D (Funktion (1) und (3) : x² + 4x + 5 = x² - 6x + 8 | - x² x² - 2x + 1 = x² - 6x + 8 | - x² - 2x + 1 = - 6x + 8 | + 6x und | - 1 + 4x + 5 = - 6x + 8 | + 6x und | - 5 4x = 7 | : 4 10x = 3 | : 10 x = 1,75 und weil y = x² - 2x + 1 ist, gilt: y = 0,5625 x = 0,3 und weil y = x² + 4x + 5 ist, gilt: y = 6,29 SC( 1,75 ; 0,56 ) SD( 0,3 ; 6,29 ) 28.04.2017 Ilona Schaßner-Held

Schnittp. mit der y-Achse Auf der folgenden Folie sind die Funktionen a bis f abgebildet. Gib folgende Sachverhalte (wenn möglich) an :Scheitelpunkte, Nullstellen, Schnittpunkte mit der y – Achse (wenn erkennbar), Quadranten, Funktionsgleichung in der Form y = (x - d)² + c und in der Form y = x² + px + q . Scheitelpunkt Nullstellen Schnittp. mit der y-Achse Quadranten y = (x + d)² + e y = x² + px + q a b c d e f 28.04.2017 Ilona Schaßner-Held

In der nächsten Folie kannst du dir die Lösungen anschauen ! Berechne außerdem die Schnittpunkte zwischen b und f sowie zwischen a und e ! 28.04.2017 Ilona Schaßner-Held

Nullstellenberechnungen: Scheitelpunkt Nullstellen Schnittp. mit der y-Achse Quadranten y = (x + d)² + e y = x² + px + q a b c d e f y = ( x - 2 )² - 5 y = x² - 4x - 1 S ( 2 ; - 5 ) - 0,3 ; 4,3 ( 0 ; - 1 ) I,II,III,IV S ( - 4 ; - 6 ) - 1,5 ; - 6,5 ( 0 ; 10 ) ? I,II,III y = ( x + 4 )² - 6 y = x² + 8x + 10 S ( 0,5 ; 0 ) 0,5 ( 0 ; 0,3 ) I,II y = ( x – 0,5 )² y = x² - x + 0,25 S ( - 6 ; 4 ) keine nicht ablesbar I,II y = ( x + 6 )² + 4 y = x² + 12x + 40 S ( 7 ; - 8 ) 4,3 ; 9,8 nicht ablesbar I,II,IV y = ( x – 7 )² - 8 y = x² - 14x + 41 Lineare Funktion -3 ( 0 ; - 6 ) II,III,IV y = mx + b y = - 2x - 6 Nullstellenberechnungen: x1/2 = - p/2 ±  p²/4 – q ! a: x1/2 = - (-4)/2 ± (-4)²/4 – (-1) ; x1 = 4,24 und x2 = - 0,24 b: x1/2 = -8/2 ±  8²/4 – 10 ; x1 = - 1,55 und x2 = - 6,45 c: x1/2 = - (-1)/2 ±  (-1)²/4 – 0,25 ; x1 = 0,5 ! d: die Wurzel ist nicht berechenbar ! e: x1/2 = - (-14)/2 ±  (-14)²/4 – 41 ; x1 = 9,83 und x2 = 4,17 f: x = 6/(-2) x = - 3 ! 28.04.2017 Ilona Schaßner-Held

Schnittpunkte zwischen b und f : Schnittpunkte zwischen a und e : x² + 8x + 10 = - 2x – 6 | + 2x und | + 6 x² - 4x – 1 = x² - 14x + 41 |-x² |+ 4x |+ 1 x² + 10x + 16 = 0 ; x1/2 = - 10/2 ±  10²/4 - 16 0 = - 10x + 42 also: x = 4,2 und x1 = - 8 ; x2 = - 2 ; also ist y1 = -2•(-8) – 6 = 10 und y2 = -2•(-2) – 6 = - 2 y = 4,2² - 4•4,2 – 1 ; y = - 0,16 S1( - 8 ; 10 ) S2( - 2 ; - 2 ) S ( 4,2 : - 0,16 ) !! 28.04.2017 Ilona Schaßner-Held

Parabeln mit der Gleichung y =a (x - d)² + c sind keine Normalparabeln. Ist a > 0 so ist die Parabel nach oben geöffnet. Ist a < 0 so ist die Parabel nach unten geöffnet. Ist l a l < 1 so ist die Parabel breiter als die Normalparabel. Ist l a l > 1 so ist die Parabel schlanker als die Normalparabel. Der Scheitelpunkt der Parabel hat die Koordinaten S(d / c ).

28.04.2017 Ilona Schaßner-Held

28.04.2017 Ilona Schaßner-Held