1 Vo#8 Prädikatenlogik Semantik, Zuzana Tuhárska, Matej-Bel- Universität in Banská Bystrica

2 Grundsätzliches Nächste Stufe der Logiken (Logiksysteme) Nächste Stufe der Logiken (Logiksysteme) deklarative Sätze deklarative Sätze der Satzinhalt wird berücksichtigt der Satzinhalt wird berücksichtigt Junktoren bleiben Junktoren bleiben Satzvariablen fallen weg Satzvariablen fallen weg Operatoren werden eingeführt Operatoren werden eingeführt

3 Einfache Sätze mit Eigennamen Eigennamen + Prädikat = der einfachste Satztyp Eigennamen + Prädikat = der einfachste Satztyp Eigenname = Individuenkonstante Eigenname = Individuenkonstante Prädikat = Prädikatenkonstante Prädikat = Prädikatenkonstante Stelligkeit: Anzahl der Argumente Stelligkeit: Anzahl der Argumente Peter liest: L (p), Monika schreibt: S (m), Peter diktiert Monika: D (p,m) Peter liest: L (p), Monika schreibt: S (m), Peter diktiert Monika: D (p,m) lesen (Peter)schreiben (Monika) diktieren (Peter, Monika) lesen (Peter)schreiben (Monika) diktieren (Peter, Monika)

4 Allquantor, Existenzquantor Variablen Variablen –Individuenvariablen (x,y,z) Stellvertreter für Individuen oder Gegenstände Variablen müssen durch einen Quantor gebunden werden, sonst ist die Formel nicht korrekt Variablen müssen durch einen Quantor gebunden werden, sonst ist die Formel nicht korrekt –Existenzquantor : es gibt ein…, für das gilt –Allquantor : für alle … gilt

5 Formalisierung - Existenzquantor Formalisierung eines Satzes: Umschreibung Formalisierung eines Satzes: Umschreibung –Ein Kind spielt ein Computerspiel. –Es gibt ein Kind. Es gibt ein Computerspiel. Diese sind durch die Relation des Spielens verbunden. x y [K (x) & C (y) & S (x, y)] –Ein Kind freut sich. x [ K (x) & F (x)] x [ K (x) & F (x)]

6 Formalisierung - Allquantor Verbindung durch die Implikation Verbindung durch die Implikation –für alle x gilt, wenn es ein x ist, dann ist es…, Alle Kinder sind brav. Alle Kinder sind brav. Für alle Kinder gilt, wenn es ein Kind gibt, dann ist es brav. Für alle Kinder gilt, wenn es ein Kind gibt, dann ist es brav. V x [K (x) → B (x)] V x [K (x) → B (x)]

7 Komplexe Kennzeicnhungen ein schönes Kleid, alle neuen Autos, ein Spielzeug, das Peter gefällt ein schönes Kleid, alle neuen Autos, ein Spielzeug, das Peter gefällt in ihre Bestandteile zerlegt in ihre Bestandteile zerlegt durch und-Operator (&) wieder verbunden durch und-Operator (&) wieder verbunden  Monika hat ein schönes Kleid. x [K (x) & S (x) & H (m,x)] x [K (x) & S (x) & H (m,x)]  Alle neuen Autos sind teuer. V x [ A (x) & N (x) → T (x)]  Monika kauft das Spielzeug, das Peter gefällt. x [S (x) & G (x, p) & K (m, x)] x [S (x) & G (x, p) & K (m, x)]

8 Negation kein – definiert durch alle und ein kein – definiert durch alle und ein –¬ V x = nicht alle, einige – x ¬ = nicht alle, einige Kein vernünftiger Mensch ist ein Rassist. Kein vernünftiger Mensch ist ein Rassist. Es gibt nicht einen vernünftigen Menschen, der Rassist ist. Es gibt nicht einen vernünftigen Menschen, der Rassist ist. Für alle vernünftigen Menschen gilt: sie sind nicht Rassisten. Für alle vernünftigen Menschen gilt: sie sind nicht Rassisten.

9 Negation II Es ist nicht der Fall, dass es etwas gibt, was ein Mensch und zugleich vernünftig ist und Rassist ist. Es ist nicht der Fall, dass es etwas gibt, was ein Mensch und zugleich vernünftig ist und Rassist ist. Für alles gilt: wenn es ein Mensch und vernünftig ist, dann ist es nicht Rassist. Für alles gilt: wenn es ein Mensch und vernünftig ist, dann ist es nicht Rassist. ¬ x [M (x) & V (x) & R (x)] ¬ x [M (x) & V (x) & R (x)] V x [M (x) & V (x) → ¬ R (x)] V x [M (x) & V (x) → ¬ R (x)]

10 Verschiedene Lesarten und Quantorenskopus Sätzen mit zwei Quantoren - zwei Lesarten Sätzen mit zwei Quantoren - zwei Lesarten Alle Kinder beherrschen eine Sprache. Alle Kinder beherrschen eine Sprache. Skopus: Beseitugung der Ambiquität Skopus: Beseitugung der Ambiquität

11 Verschiedene Lesarten… II Alle Kinder beherrschen eine Sprache. Alle Kinder beherrschen eine Sprache. Jedes Kind beherrscht eine Sprache (es muss nicht die gleiche sein) Jedes Kind beherrscht eine Sprache (es muss nicht die gleiche sein) –V x [K (x) → y (S (y) & B (x, y))]  Für alle x gilt, wenn x ein Kind ist, dann gibt es ein y für das gilt: y ist eine Sprache und x beherrscht y –V x y [K (x) → S (y) & B (x, y)]  Für alle x gilt: es gibt ein y, so dass gilt: wenn x ein Kind ist, dann ist y eine Sprache und x beherrscht y.