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Stochastik Vorlesung in vier Teilen im Rahmen von Mathematik für alle, Leuphanasemester Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015.

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1 Stochastik Vorlesung in vier Teilen im Rahmen von Mathematik für alle, Leuphanasemester Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Folie 1

2 Laplace-Würfel ? Bei welchen Zufallsgeräten sind alle Elementar-Ereignisse gleichwahrscheinlich? Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Folie 2 Laplacian dices? In what cases are elementary results equiprobable?

3 Laplace-Würfel Die Elementar-Ereignisse sind gleichwahrscheinlich. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Folie 3 For Laplacian dices elementary resuts are equiprobable. Ereignis = eine Menge von Elementar-Ereignissen A={5,6} B=„ich würfele ein Primzahl“ An event is a set of elementary results. Laplacian dices I roll a prime number

4 Laplace-Gesetz Sind alle Elementar-Ereignisse gleich-wahrscheinlich, dann ist die Wahrscheinlichkeit eines zusammengesetzten Ereignisses E : Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Die Wahrscheinlichkeit, dass E eintritt Folie 4 P=Wahrscheinlichkeit, probabitity beim Kubus-Würfel: Laplcian law with a cube dice

5 Geometrische Wahrscheinlichkeit als Zurückführung auf das Laplace-Gesetz Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Folie 5 Wenn jede Zeigerstellung die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, dann gilt: each needle position has the same probability Geometric probability as affiliation of the Laplacian law

6 Beim Tetraeder-Würfel Beim Dodekaeder-Würfel Laplace-Würfel Alle Elementar-Ereignisse sind gleich-wahrscheinlich Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Mit welcher Wahrscheinlichkeit würfelt man eine Primzahl? ? Bei welchem Zufallsversuch denn Beim Ikosaeder-Würfel Beim Oktaeder-Würfel Beim Hexaeder-Würfel Folie 6

7 Wahrscheinlichkeitsbegriff ??? Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Und hier ?????? Folie 7 Suhle,Seite, Haxe,Schnauze Astragali, römische Würfel dices of the romans Die relative Häufigkeit bei einer langen Wurfserie ist wahrscheinlich die Wahrscheinlichkeit!?!?!?!?!?!? What can we do here? What shall be the concept of probability?

8 Wahrscheinlichkeitsbegriff ??? Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Und hier ?????? Folie 8 Die relative Häufigkeit bei einer langen Wurfserie ist wahrscheinlich die Wahrscheinlichkeit!?!?!?!?!?!? Zirkuläre Begriffsbildung Circular concepts does‘nt work! What can we do here? The relative frequency probably goes to the probability?

9 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Folie 9 Zufallswege, random walks Wir sehen uns an, wie sich die relative Häufigkeit bei langen Wurfserien verhält. n theoretischer Wert grün=+/- 0.5%-Streifenrot=1-sigma-Streifen stripes

10 Zufallswege, random walks Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Empirisches Gesetz der großen Zahl: Die relative Häufigkeit stabilisiert sich. Folie 10 Abb Abb. 20(-) Weitere Fälle interaktiv oder auf dieser pdf-Seite dieser pdf-Seite Empirisches Gesetz der großen Zahl Es wird für immer größere n immer unwahrscheinlicher, das ein vorgegebener Streifen wieder verlassen wird. law of large numbers For growing up n it become less probable that the observed relative frequency leave a given stripe. relative frequency become stable

11 Plan Stochastik Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Kapitel 10 Stochastik 2 Hypothesentest bei Bernoulliversuchen auf der Grundlage der Binomialverteilung, Signifikanz, n-sigma-Grenzen und ihre Bedeutung Schätzen, Konfidenzintervalle. Stochastik 3 Normalverteilung, Standardabweichung, Messwerte, Wurzel(n)-Gesetz Hypothesentest bei Messwerten, Irrtumswahrscheinlichkeit, P-Wert. Folie 11 Stochastik 1 Zufallswege, Fundierung des Wahrscheinlichkeitsbegriffes, Zufallsgröße, deren Verteilung und Erwartungswert, Binomialverteilung und ihre Kenngrößen. Stochastik 4 Überblick über Vorgehensweisen der Stochastik: Elemente der beschreibenden Statistik, Regression, Korrelation Weitere Verteilungen, Empirisches Forschen

12 Axiome zur Grundlegung einer Theorie Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Forderungen an ein Axiomensystem: 1.effizient 2.widerspruchsfrei consistant 3.valide so wenige Axiome wie möglich passend zu dem Gebiet, für das es entworfen wird Euklid: Axiome der Geometrie vor 2300 Jahren Newtonsche Axiome der Mechanik, um 1680 Axiome der Algebra, 19. Jh. Folie 12 foundation

13 Wahrscheinlichkeitstheorie Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Axiome von Kolmogorow 1933 Folie 13 theory of probability Ereignisraum sample space Elementarereignisse elementary events

14 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, rote und 2 grüne Socken in der Schublade zweimal hineingreifen ohne zurückzulegen Mit welcher Wahrscheinlichkeit habe ich verschiedenfarbige Socken an ? P(different colors)? Folie 14 urn model, pulling without putting back Mehrstufige Zufallsversuche multi-level random experiments

15 Mehrstufige Zufallsversuche Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, rote und 5 grüne Socken in der Schublade zweimal hineingreifen ohne zurückzulegen Mit welcher Wahrscheinlichkeit habe ich verschiedenfarbige Socken an? P(different colors)? Baumdiagramm als Sparbaum kurze Strecken=Äste vom Start bis unten=Pfade Folie 15 branches pathes eco-tree multi-level random experiments

16 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Mit welcher Wahrscheinlichkeit habe ich verschiedenfarbige Socken an? Die Äste werden mit Wahrscheinlichkeiten beschriftet. Pfadregeln: Die W. eines Pfades ist das Produkt der Ast-Wahrscheinlichkeiten. Tragen mehrere Pfade zu einem Ereignis bei, sind die Pfad-Wahrscheinlichkeiten zu addieren. Von einen Knoten abgehende Äste haben immer zusammen Wahrscheinlichkeit 1. Folie 16 Mehrstufige Zufallsversuche path-laws multi-level random experiments Oft braucht man nur Teile des Baumes, man nimmt einen Sparbaum (eco-tree)

17 Wahrscheinlichkeits- Verteilung probabitity distribution Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Es wird angegeben, wie die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 bei dem Zufallsexperiment auf die Ausgänge verteilt ist. Folie 17 Abb.10.9 outcomes

18 Gleichverteilung rectangular (equal) distribution Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Erwartungswert Folie 18 expectation value

19 Baumdiagramm und Verteilung Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Folie 19 tree diagramm and distibution

20 Baumdiagramm und Verteilung Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Folie 20

21 Zufallsgröße, Erwartungswert und Verteilung random variable, expectation value and distibution Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Eine Zufallsgröße ist eine Größe, deren Wert vom Zufall abhängt. „Größe“ im Sinne der Physik: reelle Zahl, ggf. mit einer „Einheit“ Jedem Ereignis wird ein Wert der Zufalls- größe zugeordnet. Die für das Ereignis gültige Wahrscheinlichkeit wird als W. für diesen Wert genommen. Folie 21 like „dimension“ in physics: real number, if need so with an unit The event E is a set of elementary outcomes. k is the value which is related to E. The the probability of k ist defined as the probability of the event E.

22 Krüge für den Handwerkermarkt Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Entstehung von Formfehlern und Glasurfehlern als zweistufiger Zufallsversuch. Merkmale: 1. und 2.Wahl, Ausschuss Zufallsgröße: X= Einnahme in € Verteilung | X mal P Liste Erwartungswert E(X)= Folie 22 failours in form and glaze as a 2-level random experiment 1. and 2. selection and waste Multipliziere die Liste der Werte von X mit der Liste der Wahrscheinlichkeiten und bilde die Summe der neuen Spalte. Multiply the X-values with the probabilities in a new column and add all. crocks for the craftsmen market

23 Jakob I. Bernoulli, etwa 1700 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Folie 23

24 Bernoulli-Versuch, Bernoulli-Kette Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Jakob I. Bernoulli, Basel Bernoulliversuch: 1. klare Ja/Nein Entscheidung 2. Wahrscheinlichkeit für Ja ist p Bernoulli-Kette: n Bernoulliversuche mit konstantem p Zufallsgröße : X = Zahl der „ja“ in der Kette Folie 24 process trial, experiment random variable counts the number of successes under n yes/no

25 Bernoulli-Kette führt zur Binomialverteilung Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Folie 25 Galton Brett britischer Naturforscher Sir Francis Galton ( )

26 Die Zufallsgröße X einer Bernoullikette der Länge n ist binomialverteilt, binomially distributed Binomial-Verteilung, Binomial distibution Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Taschenrechner Binom Pdf Pdf(binomial distribution (10,0.3),2) (n, p),k) Folie 26

27 Die Zufallsgröße X einer Bernoullikette der Länge n ist binomialverteilt Binomial-Verteilung Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Folie 27 The binomial distribution is used to model the number of successes in a sample of size n drawn with replacement from a population of size N. It must be n<

28 Kombinatorik Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Folie 28

29 Kombinatorik Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Binomial- Koeffizient Folie 29

30 Binomial -Koeffizienten Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Höhere Binomische Formeln Folie 30 binomial coefficient Schreibe unten das Produkt bis k und oben genauso viele Faktoren

31 Binomial -Koeffizienten Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Taschenrechner nCr(n,k) binomial coefficient Folie 31 binomial coefficient

32 Binomial -Koeffizienten Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Taschenrechner nCr(n,k) binomial coefficient Folie 32 binomial coefficient

33 Binomial-Verteilung Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Taschenrechner Binom Pdf Pdf(binomial distribution (10,0.3),2) (n, p),k) Folie 33

34 Die Zufallsgröße X einer Bernoullikette der Länge n ist binomialverteilt Binomial-Verteilung Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Taschenrechner Binom Pdf Pdf(binomial distribution (10,0.3),2) (n, p),k) Folie 34

35 Die Zufallsgröße X einer Bernoullikette der Länge n ist binomialverteilt Parameter der Binomial-Verteilung Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Folie 35 The binomial distribution is used to model the number X of successes in a sample of size n drawn with replacement from a population of size N. The probabiltiy of one single success is p. The parameters are n and p. The random variable X is binomial distibuted. Parameter n und p

36 Kenngrößen measures der Binomial-Verteilung Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Folie 36 Fläche für den Balken k. Area of the bar with number k. Erwartungswert expectation value dort steht der höchste Balken it is the position of the highest bar Varianz Standardabweichung variance standard deviation sigma

37 Binomial- und Normalverteilung binomial and normal distibution Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, sigma-Abstand liegt bei den Wendepunkten Ergebnisse außerhalb des 2-sigma- Bereichs heißen „ungewöhnlich“, sie treten mit 5% W. auf. sehr ungewöhnlich Beim Testen: signifikant auf dem 5% Niveau // hochsignifikant Folie 37 The inflection points define the 1-sigma- distance Results outside of the 2-sigma-region are called „abnormal“, their probability is 5%. eminent abnormal

38 Fixe Überlegungen quick thinking Folie 38 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015

39 Fixe Überlegungen quick thinking Folie 39 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015

40 Fixe Überlegungen quick thinking Folie 40 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015

41 Fixe Überlegungen quick thinking Folie 41 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015

42 Kenngrößen der Binomialverteilung Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Erwartungswert der Zufallsgröße X = Anz. der „ja“ in der Kette n, p Klein Fritzchen- Wert Oh je! Folie 42

43 Kenngrößen der Binomialverteilung Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Varianz = Erwartungswert die Abweichungsquadrate Standard- abweichung vom Mittelwert noch schlimmer! Folie 43

44 Seminarplan Stochastik 1 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, W.-Rechner Folie 44 Das war Stochastik 1 Zufallswege, Fundierung des Wahrscheinlichkeitsbegriffes, Zufallsgröße, deren Verteilung und Erwartungswert, Binomialverteilung und ihre Kenngrößen.

45 Beurteilende Statistik inferential statistics Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Schluss von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit Testen: Hypothesentest hypothesis testing Schätzen: Konfidenzintervall estimation confidence interval zwei Handlungs-Typen there are two types to handle it Folie 45 schließende Statistik inferentielle Statistik Die Aufgabe ist: The issue is: statistical inference from the sample to the population Wir wollen die Hypothese H1 durch eine Stichprobe statistisch stützen Bisher galt (unsere Geger meinen) H0

46 Beurteilende Statistik inferential statistics Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Schluss von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit Testen: Hypothesentest hypothesis testing Schätzen: Konfidenzintervall estimation confidence interval zwei Handlungs-Typen there are two types to handle it Folie 46 schließende Statistik inferentielle Statistik Die Aufgabe ist: The issue is: statistical inference from the sample to the population Ziel: Forschungshypothese H1 durch Stichprobe stützen. Intention: the sample shall support H1 Wir haben noch kein Wissen. Die Stichprobe soll Auskunft geben. We are nescient, the sample shall inform us

47 Forderungen an die Stichprobe demands on the sample Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Generelle Voraussetzung: General condition Die Stichprobe muss „repräsentativ“ sein. Am besten man verwirklicht : Jedes Element der Grundgesamtheit muss dieselbe Chance haben, in die Stichprobe zu kommen, wie jedes andere. The sample has to be representativ. The best way to do this is: Any element of the population must have the same chance to come into the sample. Folie 47 Es gibt verschiedene Wege, zu repräsentativen Stichproben zu kommen und die werden in speziellen Büchern oder dickem Statistik-Büchern vorgestellt. Andreas Quatember ISBN ISBN (eBook) (verständlich)

48 Hypothesentest hypothesis testing Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Man hat eine Vermutung, die wird zur „Forschungshypothese“ H 1. Das logische Gegenteil wird zur „Nullhypothese“H 0. Folie 48 Experiment: Biolix put a lot of cardboard pices on the ground :30% round and 70% triangels The scientists observed that newly hatched chicks soon start picking only round grains ra- ther than angular ones. They assume this behavior is hereditary, research hypothesis H1. Die Nullhypothese kann man niemals beweisen oder unterstützen oder (nach dem Test) für wahr halten. Sie bildet die stets die Rechengrundlage. The null hypothesis H0 must be the logical contrary of H1. Ist is never possible to proof or support H0. All computation will based on H0. deutsch in meinem Buch

49 Hypothesentest hypothesis testing Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Signifikanztest: Das Versuchsergebnis legt das „kritische Gebiet“ fest. Dieser Versuch zeigt kein signifikantes Egebnis. Nein, keine Aussage möglich!!! No conclusion ist possible!!! Folie 49 Bernoulli trialrund/ eckig round or triangle mehr Attrappen als im Bild, more dummies then the picture shows konstant Biolix watched one just sliped chick. It picked 5 times, among that 3 round forms. He prepared the demonstration for the scientists. citical region not significant

50 Hypothesentest als Signifikanztest Die Aussagekraft steigt –bei gleichen Verhältnissen- mit dem Stichprobenumfang n. W.-Rechner Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Hier ist es ein einseitiger Test, weil man vorher wusste, dass eher mehr runde Körner gepickt werden. Folie 50 Biolix zuerst significanthigh significant the same ratio but more power The knowlege at the begin give the permission for the one-sided test.

51 Sprechweisen beim Hypothesentest How to speak in hypothesis testing 1. Bei n=10 haben die Küken signifikant ( ) mehr runde Körner gepickt als zu erwarten war. 2. Bei n=20 haben die Küken hochsignifikant( ) mehr runde Körner gepickt als zu erwarten war. 3. Wir nehmen daher unsere Forschungshypothese an: „Küken haben eine angeborene Vorliebe für runde Körner“ (Signifikanzniveau unter 5%) W.-Rechner Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Folie By n=10 the chicks picked significantly more round grains than we expected. 2. By n=20 the chicks picked high significantly (alpha < 1%) more …. 3. We accept our research hypothesis: „Chicks have a hereditary preferenz for round grains.“ (level of significance less than 5%)

52 4. Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von weniger als behaupten wir, dass Küken eine genetische Prägung auf runde Körner haben. Hypothesentest 5. Wir konnten die Hypothese, Küken lernten erst allmählich, dass nur runde Körner essbar sind, auf einem Signifikanzniveau von unter 5% ablehnen. W.-Rechner Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Weitere Redeweisen: More modes of speaking: Hypothesen gelten ganz oder gar nicht, sie haben keinerlei Wahrscheinlichkeit. Folie With an error probability of less than 5% we suggest that Chicks have a genetic imprinting for round grains. 5. We could disclaim the hypothesis that chicks are learning day by day that only round grains are eatable with a 5%-level of significance. english sentence follows next

53 Hypothesentest 6. Die Hypothese, dass das Picken auf runde Körner angeboren ist, gilt mit 95% Wahrscheinlichkeit. 7. Nur 5% der Küken müssen das Picken auf runde Körner erst lernen % des Pickverhaltens kann man mit der Genetik erklären. W.-Rechner Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Falsche Redeweisen: Folie The hypothesis that picking round grains is hereditary is valid with a probability of 95%. 7. Only 5% of the chicks have to lern to pink better round grains % of the picking-behavior can be explained with genetics. Wrong modes of speaking: Correct is: No hypothesis has any probability. A hypothesis is total correct or total incorrect.

54 Hypothesentest durchführen -1- Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Entscheide, welche Verteilung zu deinem Experiment passt. Entscheide, ob es ein einseitiger oder zweiseitiger Test sein soll. Für „einseitig“ muss man vor der Durchführung Gründe für eine Richtung nennen Nimm als Forschungshypothese Hypothese H1 die Behauptung, die du mit dem Versuch absichern möchtest. Die Nullhypothese H0 ist das logische Gegenteil. Alle Rechnungen erfolgen mit den Parametern von H0. Diese sind die Basis für deine potentiellen Gegner. Nun gibt es zwei Wege weiterzumachen: Folie 54 Erstens: Das Signifikanzniveau ergibt sich aus dem Test. Du kennst das Gesetz alpha<=5%. Zweitens: : Das Signifikanzniveau wird vorgegeben. Du nimmst den Verlust wichtiger Information in Kauf. Der erste Weg reagiert darauf, dass es heute einfach ist, die Werte von zu berechnen. Z.B. ist beim links- einseitigen Test: Der zweite Weg ist der ältere. Man wählt das Niveau aus einer Liste aus. Z.B. gehört zu den 2-sigma-Grenzen das Niveau zweiseitig.

55 Hypothesentest durchführen -2- Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Erstens: „Signifikanztest“: Die Befürworter des zweiten Weges befürchten, man könnte das berechnete nehmen, auch wenn es größer als 5% ist. Aber das tut man nicht!! Folie 55 Führe die Schritte der vorigen Seite durch.. Führe den statistischen Versuch durch, das Ergebnis sei k. k (inklusive) bildet die Grenze des kritischen Gebietes. Das ist der Teil der x-Achse mit den Ergebnissen, die für die Hypothese H1 noch besser sind als k. Berechne auf der Basis von H0 Für ist nichts entschieden. Das Ergebnis k ist verträglich mit H0, du weißt nicht, ob H0 gilt oder nicht, du weißt nicht, ob H1 gilt oder nicht,. Für kannst du H1 annehmen und H0 verwerfen. Das Ergebnis k ist signifikant auf dem Niveau. Darüberhinaus ist die Wahrschein- lichkeit für den Fehler 1. Art, also H1 anzunehmen, obwohl H0 gilt. Zweitens: Das kritische Gebiet folgt bei diesem Weg aus der Vorgabe von. Aber in einem zweiten Schritt wird bei diesem Weg der (genauere) Wert aus dem ersten Weg berechnet und man nennt ihn den P-Wert oder p-Wert. (Aus didaktischem Grund ist dieses ungeschickt, da p oft eine ganz andere Bedeutung hat.)

56 How to do Hypothesis testing -1- Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Decide which type of distribution suits your experiment. Decide, whether you take a one or a two sided test? For choosing „one sided“ you would need reasons before you do the test. Take as reseach hypothesis H1 the assumption you wish to proove. The null hypothesis H0 is the logical contrary. Any computation works on the values of H0. That is the basis for your potential opponents. There are two ways to proceed now: Folie 56 First: level of significance is result of testing. You accept the law alpha<=5% Second: level of significance alpha is predefined. You accept that important information is lost. The first way is a modern approach, where the values of are easy to compute. I.e. for a left sided test is The second way is the former type. You choose the level out of a list. I.e. with the 2-sigma-bounds you have level two sided.

57 How to do Hypothesis testing -2- Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, First way: „significance testing“: The promotors of the second way are afraid, that one could take the computed without respecting the less 5%-law. But this fear for good scientists is unrealistic. Folie 57 Do the steps on the previous page. Do the experiment. The result shall be k. k (incusive) is the bound of the critical region. This is the part of the x-axis, where the results are which are better than k for the hypothesis H1. Compute with the values of H0 If nothing is decided. The result k is compatible with H0, you don‘t know if H0 is valid or not, you don‘t know if H1 is valid ar not. If you can accept H1 and reject H0. The result k is significant on level. Furthermore is the probability for the error of the 1. kind, that is the error to accept H1 while H0 is correct. Second way : The citical region comes here from the chosen. But in a second step the value from the first way will be computed und is called P-value or p-value. (For didactical reasons it is no so good, because has an other meaning).

58 Konfidenzintervalle intervals of confidence Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Konfidenz Folie 58

59 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Konfidenz Folie 59 Konfidenzintervalle intervals of confidence

60 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Die Grenzen des Konfidenzintervalles sind die Erwartungswerte der Verteilungen, mit denen die Zählung gerade noch verträglich auf dem Niveau ist. Folie 60 n=40 k=12 english follows Konfidenzintervalle intervals of confidence

61 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, The bounds of the confidence interval are the expectation values of the distibutions which are just compatible with the data on the level. Folie 61 approx minimum exact minium data …. Wir nehmen z=2 für Niveau 95%. Genauer wäre z=1.96. Der Unterschied ist unerheblich. Konfidenzintervalle intervals of confidence

62 Fixe Überlegungen quick thinking Folie 62 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Beobachtung: observation : k=23 von 184 Feldern mit Kohl haben den Schädling k=23 of 184 fields with cabbage have the pest Punktschätzung point estimation relative Häufigkeit, relative frequency Es passt die Binomialverteilung n=184, p=h The binomial distibution suits. yes/no pest/not pest Konfindezintervall näherungsweise auf dem 95%-Niveau= Verträglichkeitsbereich für die Punktschätzung Confidence interval approximative at the 95%-level = compatibility region of the point estimation Wir erwarten zwischen 7,6% und 17,4% Felder mit Schädlingen. We expect …… fields with pest.

63 Fixe Überlegungen quick thinking Folie 63 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Eine Startwochengruppe kann man Zufallsauswahl der Erstis betrachten. 25 von 30 Erstis fahren Weihnachten zu den Eltern. Geben Sie ein 95%-Konfidenzintervall an, für den Anteil der Erstis insgesamt, die Weihnachten zu den Eltern fahren. One group of the starting week can be considered as random selection. 25 of 30 Erstis travel at christmas to the parents. Give the 95%-confidence interval, for the ratio of all Erstis which travel at christmas to the parents.

64 Fixe Überlegungen quick thinking Folie 64 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Eine Startwochengruppe kann man Zufallsauswahl der Erstis betrachten. 25 von 30 Erstis fahren Weihnachten zu den Eltern. Geben Sie ein 95%-Konfidenzintervall an, für den Anteil der Erstis insgeamt, die Weihnachten zu den Eltern fahren. One group of the starting week can be considered as random selction. 25 of 30 Erstis travel at christmas to the parents. Give the 95%-confidence interval for the ratio of all Erstis which travel at christmas to the parents. Unsere kleine Umfrage hat ergeben, dass zwischen 73% und 97% unsere Erstis Weihnachten zu den Eltern fahren. Die Wahrscheinlich für die Richtigkeit dieser Aussage ist etwa 95%. Our result says: between 73% and 97% travel at christmas to the Parents.

65 Seminarplan Stochastik 2 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Folie 65 Das war Stochastik 2 n-sigma-Grenzen und ihre Bedeutung Hypothesentest bei Bernoulliversuchen auf der Grundlage derBinomialverteilung, Signifikanz, Schätzen, Konfidenzintervalle. Folien sind kein Lesebuch! Sides don‘t be a book for reading it! Ohne Lesen kein Studium! No studies without reading!

66 Jakob I. Bernoulli, etwa 1700 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Folie 66


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