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Zweiniveausystem verschränkte Zustände, EPR-Paradoxon WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester 11. Vorlesung.

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1 Zweiniveausystem verschränkte Zustände, EPR-Paradoxon WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester 11. Vorlesung

2 Das Experiment kann so erklärt werden, dass das Elektron einen Eigendrehimpuls besitzt, der die Werte annehmen kann Wenn sich ein Strahl von Elektronen (Silberatomen) durch ein inhomogenes Magnetfeld bewegt, spaltet der Strahl in zwei Teilstrahlen auf Stern-Gerlach-Experiment

3 Elektronspin: Spin zeigt nach oben oder unten Zweiniveausystem Es gibt eine Vielzahl von Systemen, z.B. Elektronen oder Photonen, die man (näherungsweise) durch zwei Niveaus beschreiben kann Photonen: Horizontale oder vertikale Polarisation i.F. benutzen wir die Sprechweise „spin up“ and „spin down“

4 Zweiniveausystem : Wellenfunktion Allgemeine Form der Wellenfunktion, die normiert ist Wellenfunktion für „spin up“ und „spin down“ Normierung der Wellenfunktion

5 Zweiniveausystem : Wellenfunktion Allgemeine Form der Wellenfunktion, die normiert ist Wellenfunktion für „spin up“ und „spin down“ Wellenfunktion für „spin left“ und „spin right“

6 Zweiniveausystem : Blochkugel Alle Wellenfunktionen können auf der sogenannten Blochkugel dargestellt werden

7 Wie misst man Elektronenspin ? Ein Stern-Gerlach-Apparat, der den Elektronenspin in z-Richtung misst, wird durch folgenden Operator beschrieben „spin up“ und „spin down“ sind Eigenzustände dieses Messoperators

8 Wie misst man Elektronenspin ? Ein Stern-Gerlach-Apparat, der den Elektronenspin in x-Richtung misst, wird durch folgenden Operator beschrieben „spin right“ und „spin left“ sind Eigenzustände dieses Messoperators

9 Wie misst man Elektronenspin ? Was passiert, wenn man Elektronenspin in der „falschen“ Basis misst ? „spin right“ ist kein Eigenzustand von Stern-Gerlach-Experiment in z-Basis !!! John von Neumann hat 1932 eine Vorschrift gegeben, wie man in diesem Fall vorgehen muss

10 von Neumannsches Messpostulat Jedem Messapparat entspricht ein hermitescher Operator : (1) die Eigenenwerte dieses Operators sind immer reell (2) die Eigenfunktionen sind vollständig Die Betragsquadrat die Entwicklungskoeffizienten „spin up“ und „spin down“ liefern die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der zugehörige Eigenwert gemessen wird Ein Stern-Gerlach-Experiment in der z-Basis kann nur die Ergebnisse „spin up“ und „spin down“ liefern Im obigen Beispiel wird „spin up“ und „spin down“ mit jeweils 50% - iger Wahrscheinlichkeit gemessen

11 Messung in z – Basis Messung Ergebnis +1 mit Wahrscheinlichkeit 50%Ergebnis -1 mit Wahrscheinlichkeit 50% Messprozess : Zweiniveausystem Quantenmechanik gibt nur Wahrscheinlichkeit für bestimmte Messung

12 Messprozess : Heisenbergsche Unschärferelation Kann man gleichzeitig x- und z-Komponente von Spin bestimmen ? Spielt die Messreihenfolge eine Rolle ? Die beiden Messoperatoren vertauschen nicht ! Entsprechend der Heisenbergschen Unschärferelation gilt x- und z-Komponente von Spin können nicht gleichzeitig genau bestimmt werden !!!

13 „Gott würfelt nicht …“ Albert Einstein (1875 – 1955)

14 Was ist, wenn das Ergebnis einer quantenmechanischen Messung gar nicht zufällig is t? Wenn „verborgene Parameter“ existieren, die das Ergebnis vorausbestimmen ?  Weil wir nicht kennen (vielleicht überhaupt nicht kennen können), sieht es so aus, als ob Ergebnis der Messung zufällig ist.  In Wirklichkeit ist Ergebnis durch Wert von vorbestimmt. Verborgene Parameter Kann man irgendwie nachprüfen, ob es solcehe verborgenen Parameter tatsächlich gibt?

15 Dieser Zustand wird als „verschränkt“ bezeichnet. Für ihn gilt:  Es ist der Zustand von zwei Teilchen  Er besitzt den Gesamtspin Null  Der Spin der Teilchen a und b ist vollkommen unbestimmt  Teilchen a und b haben stets antiparallele Spins EPR Paradoxon Einstein, Podolsky und Rosen entwickelten folgendes Paradoxon, das die Quantenmechanik widerlegen soll Nehmen wir an, dass folgender Zustand von zwei Teilchen erzeugt werden kann

16 EPR Paradoxon Einstein, Podolsky und Rosen entwickelten folgendes Paradoxon, das die Quantenmechanik widerlegen soll Nehmen wir an, dass folgender Zustand von zwei Teilchen erzeugt werden kann Der Zustand ist auch in der x-Basis verschränkt !!!

17 Teilchen b Teilchen a Alice Bob EPR Paradoxon Wenn Alice und Bob die z-Komponenten messen sind sie immer antikorreliert. Wenn Alice und Bob die x-Komponenten messen sind sie immer antikorreliert.

18  Messung von  z an Teilchen a Teilchen b muss entgegengesetzten Spin besitzen  Messung von  x an Teilchen b Teilchen a muss entgegengesetzten Spin besitzen x- und z-Komponente des Spins eines Teilchens können gleichzeitig bestimmt werden ( widerspricht Heisenbergscher Unschärferelation ) Alice Bob EPR Paradoxon Wenn Alice und Bob die z-Komponenten messen sind sie immer antikorreliert. Wenn Alice und Bob die x-Komponenten messen sind sie immer antikorreliert. Teilchen b Teilchen a Quantenmechanik ist unvollständig !?

19 Alice Bob Q: Informationsübertragung mit Überlichtgeschwindigkeit !? A: Nein, es wird keine Information übertragen ! ( Ergebnis des Experiments zufällig ) „ … spooky action at a distance“ EPR Paradoxon Bohr widersprach Einstein und meinte, dass es durch die Messung des Spins zu einem Kollaps der Wellenfunktion kommt Nils Bohr: Messung reduziert Wellenfkt. !!!

20 Verborgene Variablen versus Kollaps der Wellenfunktion Q: Kann man entscheiden, welches der beiden Modelle richtig ist ?

21 John Bell, 1964: „Wenn es verborgene Variablen gäbe, so hätte dies messbare Konsequenzen !“

22 Teilchen b Teilchen a Alice Bob Bellsche Ungleichung Nehmen wir zuerst an, dass die Theorie der verborgenen Variablen richtig ist. Wir können dann eine Korrelationsfunktion definieren P( ) ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die verborgenen Variablen … Für E gelten allgemein folgende Schranken

23  In einer lokalen – verborgenen – Variablentheorie gilt für die Größe die Ungleichung Bellsche Ungleichung Diese Ungleichung kann in der Quantenmechanik verletzt werden !!! Bell konnte folgendendes zeigen :

24  In einer lokalen – verborgenen – Variablentheorie gilt für die Größe die Ungleichung Beweis : q.e.d. Bellsche Ungleichung Bell konnte folgendendes zeigen :

25 Quantenmechanik Operator für Messung in z – Basis Operator für Messung in  – Basis Bellsche Ungleichung Nun untersuchen wir dieselbe Messabfolge in der Quantenmechanik

26 Quantenmechanik Eigenwert und Eigenzustand Was passiert bei Messung in  a und  b Basis ? Verschränkter Zustand Bellsche Ungleichung Nehmen wir an, dass zuerst Alice den Zustand in der  a  – Basis misst

27 Messung von Alice Wellenfunktion von Bob Entwicklung der Zustände nach Eigenzuständen von Bob‘s Messapparat Bellsche Ungleichung : Messung Messung liefert entweder +1 oder -1 (mit jeweils 50% Wahrscheinlichkeit) Zuerst misst Alice …

28 Entwicklung der Zustände nach Eigenzuständen von Bob‘s Messapparat Bellsche Ungleichung : Messung Messung von Alice Wellenfunktion von Bob Zuerst misst Alice und dann Bob

29 Wahrscheinlichkeit für Messergebnisse Bellsche Ungleichung : Messung Wahrscheinlichkeit für unterschiedliche Messabfolgen

30 Bellsche Ungleichungen sind verletzt !!! Bellsche Ungleichung : Korrelationsfunktion Wir können nun dieselbe Korrelationsfunktion wie bei der Theorie der verborgenen Variablen berechnen Wahrscheinlichkeit für Messergebnisse

31 Teilchen b Teilchen a Alice Bob Experimenteller Aufbau A. Aspect et al., Experimental Tests of Realistic Local Theories via Bell's Theorem, Phys. Rev. Lett. 47, 460 (1981). Bellsche Ungleichung : Experiment Bell hat somit ein Experiment vorgeschlagen, mit dem man überprüfen kann, ob die Theorie der verborgenen Variablen oder die Quantenmechanik richtig ist

32 Bellsche Ungleichung : Experiment Verschränkte Photonen können durch nichtlineare Prozesse (parametric down con- version) erzeugt werden Zeilinger Gruppe

33 M. A. Rowe et al., Experimental violation of a Bell's inequality with efficient detection, Nature 409, 791 (2001). S Bellsche Ungleichung : Experiment Vorhersage der Quantenmechanik richtig … keine lokalen verborgenen Parameter !!!

34 EPR Paradoxon : Konsequenzen Die Messung an einem Teil einer verschränkten Wellenfunktion, hat zu demselben Zeitpunkt (!?) einen Einfluß auf die Wellenfunktion an einer anderen Stelle des Universums !!!


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