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Das Allgemeine Lineare Modell (ALM) 04_alm1 Gliederung 1.Begriff 2.Verschiedene Arten von Variablen 3.Verschiedene statistische Verfahren 4.Grundannahmen.

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1 Das Allgemeine Lineare Modell (ALM) 04_alm1 Gliederung 1.Begriff 2.Verschiedene Arten von Variablen 3.Verschiedene statistische Verfahren 4.Grundannahmen des ALM

2 Das Allgemeine Lineare Modell (ALM) bzw. The General Linear Model (GLM) Allgemein: – Varianzanalyse (ANOVA = Analysis of Variance) und Regression Linear: – Modellgleichung entspricht einer Geraden (Lineare Regression) eine übergeordnete Darstellungsform für verschiedene statistische Verfahren 04_alm2

3 Variablen im ALM Unabhängige Variablen (UV = Prädiktor): x 1, x 2,…, x p – Anzahl der UVn (eine vs. mehrere)? ein- oder mehrfaktorielle ANOVA einfache oder multiple Regression – Skalenniveau (Nominal vs. Intervall)? ANOVA mit festen Effekten vs. mit Zufallseffekten Logistische vs. Lineare Regression Abhängige Variablen (AV = Kriterium): y – Anzahl der AVn? univariate vs. multivariate Analyse – Skalenniveau (Nominal vs. Intervall)? Logistische vs. Lineare Regression Chi² vs. ANOVA 04_alm3

4 Verschiedene Verfahren im ALM Unterschiede zwischen Gruppen erklären? Varianzanalyse (ANOVA) Vorhersage der abhängige Variable? Regressionsanalyse 04_alm4

5 Übersicht ANOVA 04_alm5

6 Übersicht ANOVA 04_alm6

7 Grundannahmen des ALM 04_alm7 Grundannahme des ALM Der beobachtete Wert einer Versuchsperson in der abhängigen Variable setzt sich zusammen aus: – dem Gesamtmittelwert – einer Summe von gewichteten Werten der unabhängigen Variablen – einem individuellen Fehler

8 Grundannahmen des ALM 04_alm8 x i0 x i1 x ip a 0 a 1 a p y i = Individueller Wert der AV von Person i Fehler Gewichte UVn + e i · + · + … + ·

9 Grundannahmen des ALM 04_alm9 x i0 x i1 x ip a 0 a 1 a p y i = Individueller Wert der AV von Person i Fehler + ei+ ei · + · + … + · UVn ANOVA: Indikatorvariablen / Faktoren Regression: Prädiktoren Gewichte ANOVA: Effekte Regression: Koeffizienten

10 Beispiel: Gedächtnistest 04_alm10 Gedächtnistest 10 Versuchsteilnehmer bearbeiten eine Wortliste UV/Faktor: Instruktion – 5 Vpn: Konsonanten zählen (strukturelle Verarbeitung) – 5 Vpn: bildlich vorstellen (bildhafte Verarbeitung) ein Faktor mit zwei Stufen Freie Reproduktion AV: Anzahl der reproduzierten Wörter

11 Gesamtmittelwert 04_alm11 A 1 : strukturellA 2 : bildhaft y 11 = 5y 12 = 12 y 21 = 7y 22 = 7 y 31 = 3y 32 = 8 y 41 = 4y 42 = 10 y 51 = 6y 52 = 13 Vorhersage aufgrund des Gesamtmittelwerts:

12 Effekte 04_alm12 Der Effekt ist die Abweichung eines Gruppenmittelwerts vom Gesamtmittelwert. Effekt in der Stichprobe: Effekt in der Population:

13 Effekte 04_alm13 A 1 : strukturellA 2 : bildhaft y 11 = 5y 12 = 12 y 21 = 7y 22 = 7 y 31 = 3y 32 = 8 y 41 = 4y 42 = 10 y 51 = 6y 52 = 13 Erweiterte Vorhersage:

14 Fehlerkomponenten 04_alm14 A 1 : strukturell A 2 : bildhaft y 11 = 5y 12 = 12 y 21 = 7y 22 = 7 y 31 = 3y 32 = 8 y 41 = 4y 42 = 10 y 51 = 6y 52 = 13 y 11 = 7.5 – y 21 = 7.5 – y 31 = 7.5 – (-2) y 41 = 7.5 – (-1) y 51 = 7.5 – y 12 = y 22 = (-3) y 32 = (-2) y 42 = y 52 =

15 Ein lineares Modell 04_alm15 y ij = a 0 · x i0 + a 1 · x i1 + a 2 · x i2 + e i A 1 : strukturell A 2 : bildhaft y 11 = 5y 12 = 12 y 21 = 7y 22 = 7 y 31 = 3y 32 = 8 y 41 = 4y 42 = 10 y 51 = 6y 52 = 13 5 = 7.5·1 + (-2.5)· · = 7.5·1 + (-2.5)· · = 7.5·1 + (-2.5)· ·0 + (-2) 4 = 7.5·1 + (-2.5)· ·0 + (-1) 6 = 7.5·1 + (-2.5)· · = 7.5·1 + (-2.5)· · = 7.5·1 + (-2.5)· ·1 + (-3) 8 = 7.5·1 + (-2.5)· ·1 + (-2) 10 = 7.5·1 + (-2.5)· · = 7.5·1 + (-2.5)· ·1 + 3

16 Das ALM in der Matrizendarstellung 04_alm16 Y = X · a + e 5 = 7.5·1 + (-2.5)· · = 7.5·1 + (-2.5)· · = 7.5·1 + (-2.5)· ·0 + (-2) 4 = 7.5·1 + (-2.5)· ·0 + (-1) 6 = 7.5·1 + (-2.5)· · = 7.5·1 + (-2.5)· · = 7.5·1 + (-2.5)· ·1 + (-3) 8 = 7.5·1 + (-2.5)· ·1 + (-2) 10 = 7.5·1 + (-2.5)· · = 7.5·1 + (-2.5)· ·1 + 3

17 Das ALM in der Matrizendarstellung 04_alm17 Designmatrix (Indikatorvariablen) Daten (AV) Effekte Fehler

18 Das ALM in der Matrizendarstellung 04_alm18 Y = X · a + e

19 ALM Zusammenfassung Grundannahme: – Beobachteter Wert setzt sich zusammen aus einer gewichteten Summe von Variablen und einem Fehlerterm. Regression: Gewicht und Prädiktoren ANOVA: Effekte und Indikatorvariablen 04_alm19 y i = a 0 ·x i0 + a 1 ·x i1 + …. a p ·x ip + e i Y = X · a + e


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