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Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Geoinformation II Vorlesung 4 SS 2001 Voronoi-Diagramme.

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Präsentation zum Thema: "Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Geoinformation II Vorlesung 4 SS 2001 Voronoi-Diagramme."—  Präsentation transkript:

1 Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Geoinformation II Vorlesung 4 SS 2001 Voronoi-Diagramme

2 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 42 Übersicht Zu Beginn eine interaktive Animation Voronoi-Diagramm: Motivation Voronoi-Diagramm Anwendungen Delaunay-Triangulation, konvexe Hülle Eigenschaften von Voronoi-Diagrammen Voronoi Regionen (Polygone) Konstruktion des Voronoi-Diagramms Was ist der schwierigste Teilschritt? Aufteilung der Menge P in P 1 und P 2 Voronoi-Diagramm von P 1 Voronoi-Diagramm von P 2

3 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 43 Zu Beginn eine interaktive Animation Quelle: Fern Universität Hagen

4 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 44 Voronoi-Diagramm: Motivation Welcher Löwe fängt die Gazelle?

5 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 45 Voronoi-Diagramm: Motivation Welcher Löwe fängt die Gazelle?

6 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 46 Voronoi-Diagramm: Motivation Welcher Löwe fängt die Gazelle?

7 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 47 Voronoi-Diagramm Gegeben ist eine Menge von n Punkten Das Voronoi-Diagramm zerlegt die Ebene in Gebiete gleicher nächster Nachbarn Die Voronoi-Region eines Punktes p enthält alle Punkte q, die näher an p als an jedem anderen Punkt p liegen Das Voronoi-Diagramm wird gebildet aus den Voronoi-Regionen und ihren begrenzenden Voronoi- Knoten und –Kanten

8 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 48 Anwendungen Kollosionsproblem: welche 2 Punkte haben den kleinsten Abstand (Roboter, Flugzeuge,...) Das Filialenschließungsproblem... Postamts-Problem: wo liegt das nächste Postamt (Krankenhaus,...) Einzugs- und Einflußgebiete von Versorgungsstationen (und ihre Größe) Bewertung von Standorten Modellierung von Nähe Delaunay-Triangulation Konvexe Hülle

9 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 49 Delaunay-Triangulation, konvexe Hülle Delaunay-Triangulation ist die Triangulation, bei der der kleinste Winkel maximal ist In gewiser Weise die best-mögliche Triangulation Konvexe Hülle einer Punktmenge M ist die kleinste konvexe Punktmenge, die alle Elemente aus M enthält Eine Punktmenge M ist konvex, wenn jede gerade Verbindung zweier Elemente p und q ganz in M liegt

10 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 410 Eigenschaften von Voronoi-Diagrammen Vereinfachende Annahme: aus der gegebenen Punktmenge liegen keine 4 Elemente auf einem gemeinsamen Kreis Jeder Voronoi-Knoten hat genau drei Kanten Das Voronoi-Diagramm von n Punkten hat höchstens 2n – 4 Knoten und 3n – 6 Kanten (linear!) Die Knoten mit unbeschränkten Regionen bilden die konvexe Hülle Der Duale Graph, bei dem benachbarte Punkte miteinander verbunden werden, bildet eine Delaunay-Triangulation

11 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 411 Voronoi Regionen (Polygone) beschränkte Voronoi Regionen unbeschränkte Voronoi Regionen Die Konvexe Hülle ver- bindet die unbeschränkten Voronoi Regionen Jede Voroni-Region ist konvex!

12 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 412 Konstruktion des Voronoi-Diagramms Divide and Conquer 1.Input: Gegeben ist eine Menge P von mindestens 2 Punkten 2.Divide: Zerlege P in zwei etwa gleich große Teilmengen P 1 und P 2 3.Rekursiv: Berechne Voronoi-Diagramme von P1 und P2 4.Merge: Verknüpfe die in 3 gebildeten Diagramme 5.Halt: Der Abschluß ist erreicht, wenn das Voronoi-Diagramm eines Punktes zu bilden ist, dies ist die ganze Ebene Wie oft ist dieser Zyklus zu durchlaufen? log n mal O(n * log n) wenn Divide and Merge nicht mehr als n Schritte benötigen,

13 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 413 Was ist der schwierigste Teilschritt? Zerlegung der Punktmenge in gleich große Teilmengen –Sortieren nach x-Koordinate –Bilden des Medians –Einfach Offenbar der letzte Schritt: Merge: Konstruktion des trennenden Kantenzuges Einfachster Fall von Merge: jede der beiden Teilmengen enthält genau einen Punkt der trennende Kantenzug ist die Mittelsenkrechte beider Punkte

14 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 414 P1P1 P2P2 Aufteilung der Menge P in P 1 und P 2 P

15 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 415 Voronoi-Diagramm von P 1

16 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 416 Voronoi-Diagramm von P 2


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