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Fallgesetze Zwei Bereiche: 2.Fallende Objekte auf der Erde 1.Gravitationskraft (Die Ursache des Fallens)

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Präsentation zum Thema: "Fallgesetze Zwei Bereiche: 2.Fallende Objekte auf der Erde 1.Gravitationskraft (Die Ursache des Fallens)"—  Präsentation transkript:

1 Fallgesetze Zwei Bereiche: 2.Fallende Objekte auf der Erde 1.Gravitationskraft (Die Ursache des Fallens)

2 1. Gravitationskraft Allgemein Die Gravitationskraft, die auf einen Körper wirkt, wird von einem zweiten Körper verursacht, der den ersten Körper zu sich hin zieht. Sie ist proportional zum (Abstand)^2 Es gilt das Superpositionsprinzip Eine homogene materielle Kugelschale zieht ein Teilchen mit derselben Kraft an, die auch wirken würde, wenn die gesamte Kraft auf dessen Massenmittelpunkt konzentriert wäre.

3 Wieso kann F grav überall auf der Erde als konstant angenommen werden? Gründe dagegen: 1)Die Erde ist nicht homogen 2)Die Erde ist keine Kugel 3)Die Erde rotiert Wieso können wir diese drei Gründe vernachlässigen?

4 Zu 1) Die Erde ist nicht homogen Die Dichteunterschiede sind zum Großteil symmetrisch (schwerer Erdkern, leichterer Mantel) und haben daher kaum Auswirkungen Die Unebenheit der Oberfläche kann gegen Punkt 2) vernachlässigt werden Punkt 1) ist vernachlässigbar

5 Zu 2) Die Erde ist keine Kugel Der Radius am Äquator ist um rund 20 km größer als der Abstand der Pole zum Erdmittelpunkt. Berechnung der Differenz: M E =5,98 * kgG =6,67 * Nm 2 /kg 2

6 Mit R m =6,375*10 6 :g m =9,814 m/s 2 Mit R pol =6,365*10 6 :g Pol =9,845 m/s 2 Mit R Äqu =6,385*10 6 :g Äqu =9,784 m/s 2 Zu 2) Die Erde ist keine Kugel Die Berechnungen stimmen nur näherungsweise, denn: Die Differenz des Pol- und Äquatorradius zum mittleren Erdradius wurde gemittelt (+/-10 km) Die Erde wird nicht als Kugel angenommen (unterschiedliche Radien) aber g wird aus einer Kugelsymmetrie berechnet g Pol = 9,83 m/s 2 g Äqu = 9,78 m/s 2 Genaue Werte aus der Literatur

7 Zu 3) Die Erde rotiert Es benötigt eine Kraft damit ein Objekt auf einer Kreisbahn bleibt und nicht geradeaus fliegt. Diese Kraft wird von der Gravitationskraft aufgebracht. Gemessen wird jedoch die Normalkraft F N =-m*g eff, die bereits um die Zentripedalkraft reduziert ist. Berechnung der Differenz: m*g eff =m*g-mω 2 R g eff =g-ω 2 R R Äqu =6,385*10 6 m Δg=g-g eff =ω 2 R=0,034 m/s 2

8 Insgesamt: 2) + 3) Δg KeineKugel = g Pol - g Äqu = 9,83 - 9,78 = 0,05 m/s 2 Δg Erderotiert = 0,034 m/s 2 Δg gesamt = 0,084 m/s 2 Max. Abweichung von g ˜ 0,05 m/s 2 0,51 % Der Unterschied ist also meist vernachlässigbar.

9 Näherung für das Problem: Die Erde wird als Kugel mit homogener Dichteverteilung (ρ=konstant) angenommen. Wie sieht das Gravitationsfeld innerhalb der Erde aus? F=??

10 Idee: Lege eine Kugel in die Erde F=?? Behauptung: Eine gleichförmige materielle Kugelschale übt auf ein Teilchen innerhalb dieser Schale keine Gesamtgravitationskraft aus.

11 Gravitationsfeld innerhalb der Erde Anwendung des Gaußschen Satzes (Vgl. Elektrostatik): Konstante (analog zu ε 0 aus Elektrostatik) Integral über Gravitationsfeld Integration über Kugeloberfläche:...über geschlossene Fläche

12 Berechne M(ein): Setze ein in: Die Kraft nimmt also Proportional zum Abstand vom Erdmittelpunkt zu! Gravitationsfeld innerhalb der Erde

13 Wie sieht also der Potenzialverlauf aus? Innerhalb der Erde: Außerhalb der Erde: A:=plot(- G*M/x,x=6,37*10^6..12^8): B:=plot(M/2/R^3*G*x^ *10^7,x=0.. 6,37*10^6):

14 Umlaufbahn eines Satelliten 2 Fragen zum Satelliten: - Wieso fliegt er nicht weg? - Wieso fällt er nicht hinunter? Ohne F grav würde der Satellit geradeaus fliegen (irgendwohin ins Weltall). Durch F grav kommt es zu einer Beschleunigung in Richtung Erdmittelpunkt -> F grav bewirkt eine Richtungsänderung von v in Richtung Erdmittelpunkt. Ist nun v groß genug, dann reicht diese Richtungsänderung nicht aus um den Satelliten auf die Erde stürzen zu lassen. Ist nun v klein genug, dann reicht diese Richtungsänderung aber aus, um den Satelliten auf einer konstanten Bahn zu halten.

15 Umlaufbahn eines Satelliten Mit anderen Worten: Der Satellit fällt ja hinunter nur er fällt nicht auf die Erde sondern in die Umlaufbahn Vergleiche mit Wurfbahn eines Steines -> er fällt auch hinunter, nur weiter drüben ->beim Satelliten ist die Erde eben zu kurz

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17 Umlaufbahn eines Satelliten Wie schnell muss ein Satellit sein, damit er in der Umlaufbahn bleibt? Der Satellit befindet sich auf einer Kreisbahn, da ihn die Gravitationskraft nach innen zieht: Das geht doch auch anders???

18 Umlaufbahn eines Satelliten Berechnung (in Polarkoordinaten): Ansatz mit Polarkoordinaten (r konstant, ω konstant): x(t)=r*e r (t) x(t)=r*e r (t)=r*ω*e φ (t) X(t)=r*ω*e φ (t) = -r*ω^2*e r (t)=-v^2/r* e r (t) Die einzig wirkende Kraft ist F grav und wir erhalten mit Masse * Beschleunigung = Summe aller Kräfte (=F grav ) dieselbe Lösung. v= ω*r

19 Umlaufbahn eines Satelliten Was passiert, wenn wir nun eine kleine Luftreibung berücksichtigen? Ist v(t+Δt)

20 Die 2. Kraft ist also am Größten! Noch ein kleines Bsp: Auf welchen Massenpunkt wirkt die größte Kraft? Massenpunkt

21 2. Fallen auf der Erde Allgemein Die Erde wird als Kugel genähert Die Fallhöhen sind sehr klein gegen den Erdradius Die Masse des fallenden Objektes ist viel kleiner als die Erdmasse Vernachlässigung des Luftwiderstandes g ist konstant

22 Latte vs Ball Was fällt schneller (bzw. wann fällt was schneller)? Wir haben hier das Problem eines physikalischen Pendels. Dieses kann für kleine Auslenkungen von der Ruhelage analytisch gelöst werden. Dabei wird bei der Berechnung der rücktreibenden Kraft näherungsweise sin(α) = α gesetzt. Bei der fallenden Latte befindet sich α jedoch im Bereich Grad! Das macht die Berechnung wesentlich schwieriger (erhalte Differenzialgleichung, die nur numerisch gelöst werden kann)!

23 Latte vs Ball Zuerst ein Spezialfall Die Latte sei drehbar fixiert und stehe gerade horizontal. Wer startet schneller los, das Ende der Latte oder die Kugel? Es gilt allgemein: Trägheitsmoment*Winkelbeschleunigung = Drehmoment Wobei J...Trägheitsmoment L...Länge der Latte Hier haben wir den Spezialfall: alpha=Pi/2 -> sin(alpha)=1

24 Latte vs Ball Erhalte wegen:Trägheitsmoment einer Latte mit homogen verteilter Masse: aufgelöst nach a: Somit wird das Ende der Latte (r=L) mit 1,5 g beschleunigt. Wie sieht aber die Fallzeit von Latte und Ball im Allgemeinen aus?

25 Latte vs Ball h...Abwurfhöhe Fallzeit Ball: g Fallzeit Latte: g Löse hierzu die Differenzialgleichung: Wobei J...Trägheitsmoment L...Länge der Latte

26 Latte vs Ball Grafische Darstellung der Lösung:

27 Kugelstoßer Wie wirft ein Kugelstoßer? Es ist (hoffentlich) bereits bekannt, dass ein Abwurfwinkel von 45 Grad zur Ebene ideal ist, um möglichst weit zu werfen. Ein Kugelstoßer wirft aber wesentlich flacher ab. Wieso? Antwort: Der Kugelstoßer wirft nicht vom Boden, sondern höher ab. Dabei ändert sich der perfekte Abwurfwinkel!

28 Kugelstoßer Berechnung vom besten Abwurfwinkel: Der Kugelstoßer wirft von der Höhe h ab. y(tfall)=0 -> Auflösen nach tfall: Einsetzen in x(t) liefert:

29 Kugelstoßer Besonders interessant: Die Abhängigkeit des Winkels von v! Ableiten nach alpha liefert: Nullsetzen liefert den bzw. die gesuchten Abwurfwinkel:

30 Kugelstoßer Alpha für ein paar Zahlenwerte von v (bei h=2m): Was fällt hier auf?

31 Flüchtender Verbrecher Schafft er den Sprung? Der selbe Ansatz wie vorher (nur mit Spezialfall: alpha=0°; h=4,8 m; v=4,5 m/s) y=0 setzen liefert: in x(t) einsetzen: Der Verbrecher kann also nur noch auf eine weiche Mülltonne am Boden hoffen!

32 elastischer Ball Bahn des Balles: Geschwindigkeit Wodurch werden die Bälle mehr gebremst? Luftreibung Energieverluste durch elastische Deformation

33 elastischer Ball Betrag der Geschwindigkeit Der Geschwindigkeitssprung am Boden zeigt, dass die elastische Deformation wesentlich mehr als der Luftwiderstand ausmacht. kann man hieraus g ermitteln???

34 elastischer Ball Experimentelle Bestätigung: Die Symmetrie der Parabeln zeigt auch, dass der Energieverlust bei der Reflexion vom Boden wesentlich höher ist als der durch den Luftwiderstand.

35 elastischer Ball Für g einfach noch mal ableiten...

36 Zum Schluss noch eine interessante Anmerkung: Reibung des Balles proportional zu v: Reibung des Balles proportional zu v^2: ?? Brauche Richtung Komponentenweise Betrachtung: grundlegender Unterschied: Im 2. Fall sind die Differenzialgleichungen gekoppelt.

37 Zum Schluss noch eine interessante Anmerkung: Reibung des Balles proportional zu v^2: Reibung des Balles proportional zu v: Auswirkungen dieses Unterschieds:

38 Danke für eure Aufmerksamkeit


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