Begriffliche Fundierung der Fuzzy- und Systemtheorie

Präsentation zum Thema: "Begriffliche Fundierung der Fuzzy- und Systemtheorie"—  Präsentation transkript:

1 Begriffliche Fundierung der Fuzzy- und Systemtheorie
Karl Erich Wolff Fachbereich Mathematik der Fachhochschule Darmstadt Ernst-Schröder-Zentrum für Begriffliche Wissensverarbeitung Forschungsgruppe Begriffsanalyse der Technischen Universität Darmstadt Forschungszentrum Begriffliche Wissensverarbeitung

2 Gliederung 1 Begriffliche Wissensverarbeitung
2 Begriffliche Fundierung der Fuzzy-Theorie 3 Begriffliche Systemtheorie

3 1 Begriffliche Wissensverarbeitung
Eingeführt 1982 durch Prof. Dr. Rudolf Wille Mathematisierung des Begriffs „Begriff“ Visualisierung begrifflicher Hierarchien Datenanalyse Begriffliche Skalierungstheorie Begriffliche Wissensakquisition Logik Fuzzy-Theorie Allgemeine und Mathematische Systemtheorie Rudolf Wille

4 1.1 Ein klassisches Beispiel
Aristoteles

5 1.2 Formale Kontexte und Begriffsverbände

6 1.3 Mehrwertige Kontexte und Skalierung (1)

7 1.3 Mehrwertige Kontexte und Skalierung (2)

8 1.4 Liniendiagramme: gestuft: Einbettung in „geistige Rahmen“ Das einfache Liniendiagramm

9 Begriffliche Konstruktion der reellen Zahlen
Der Begriffsverband des Kontextes (Q,Q, ) ist der vollständige Verband der reellen Zahlen inclusive plus und minus Unendlich. 

10 Daten einer Magersuchtpatientin
011DF SELBST IDEAL VATER MUTTER 1 rational denkend 2 emotional 2 3 5 3 ehrlich 4 unehrlich 1 5 optimistisch 6 pessimistisch 7 interessiert 8 desinteressiert 9 flexibel 10 gehemmt 11 materialistisch 12 idealistisch 4 13 nicht modebewußt 14 modebewußt 15 lebensfroh 16 depressiv 6 17 zielbewußt 18 unsicher 19 zwanglos 20 zwanghaft

11 Der abgeleitete Kontext
011D2FX SELBST IDEAL VATER MUTTER 1 rational X 2 emotional 3 ehrlich 4 unehrlich 5 optimistisch 6 pessimistisch 7 interessiert 8 desinteressiert 9 flexibel 10 gehemmt 11 materialistisch 12 idealistisch 13 nicht modebewußt 14 modebewußt 15 lebensfroh 16 depressiv 17 zielbewußt 18 unsicher 19 zwanglos 20 zwanghaft

12 Der Begriffsverband der Familie

13 Familie und Bekannte: 1. Zeitpunkt

14 Familie und Bekannte: 4. Zeitpunkt

15 2 Begriffliche Fundierung der Fuzzy-Theorie
Lotfi A. Zadeh führte 1965 die Fuzzy-Theorie ein als eine Theorie der „graded concepts“ „in which everything is a matter of degree or to put it figuratively, everything has elasticity.“ 1995 IEEE Medal of Honor

16 Zugehörigkeitsfunktionen
Def.: Sei X ein Menge und f: X  [0,1]. Dann heißt f eine Zugehörigkeitsfunktion oder eine Fuzzy-Menge auf X. „graded concepts“ werden beschrieben durch die lineare Ordnung auf [0,1] Ersetze [0,1] durch eine beliebige Ordnung!

17 Direkte Produkte... ... von Ordnungen sind Ordnungen. Aber:
Direkte Produkte von Intervallen sind keine Intervalle! Deshalb: Fuzzy-Implikationen sind theoretisch nicht fundiert!

18 Die Mamdani-Implikation
Min(blue, red) If X is big then Y is big.

19

20 Kontextuelle Implikationen

21 Second International Conference on Rough Sets and Current Trends in Computing, Banff /Kanada, Ziarko Pawlak Wolff Zadeh Skowron

22 3 Begriffliche Systemtheorie
3.1 Probleme in der Mathematischen Systemtheorie: Was ist ein System? Wie sollte man allgemein die Zeit beschreiben? Was ist ein Zustand? Raum – Zeit – Kontinuum versus diskrete Phänomene? Was ist ein Gegenstand? Was ist ein Teilsystem?

23 3.2 Zwei Zitate: Liu: (General Systems Theory: A Mathematical Approach. 1999) „There might not exist an ideal definition for general systems, upon which a general systems theory could be developed so that this theory would serve as the theoretical foundation for all approaches of systems analysis, developed in various disciplines.“ Zadeh: (The Concept of State in System Theory. 1964) „To define the notion of state in a way which would make it applicable to all systems is a difficult, perhaps impossible, task. In this chapter, our modest objective is to sketch an approach that seems to be more natural as well as more general than those employed heretofore, but still falls short of complete generality.”

24 3.3 Begriffliche Zeitsysteme
Hauptideen: Zustände als formale Begriffe definieren Systemdefinition: skalierter mehrwertiger Kontext Zeitobjekte einführen Zerlegung in Zeit- und „Raum“-Merkmale Begriffliche Skalierung als Granularitätstheorie Einführung von Zustandsraum und Phasenraum Objekte und Teilsysteme Aktuelle Objekte Transitionen

25 3.4 Ein Beispiel: Klimaanlage bei ROCHE
Zu jeder Stunde: Temperaturen: Aussen Raum 2 Raum 3 Vorlauftemperatur Im Folgenden: Nur die ersten drei Tage

26 Die ersten drei Tage

27 Die Außentemperatur

28 Ein Film im Phasenraum:
Die Außentemperatur 1. Tag

29 Ein Film im Phasenraum:
Die Außentemperatur 1. Tag

30 Ein Film im Phasenraum:
Die Außentemperatur 1. Tag

31 Ein Film im Phasenraum:
Die Außentemperatur 1. Tag

32 Ein Film im Phasenraum:
Die Außentemperatur 1. Tag

33 Ein Film im Phasenraum:
Die Außentemperatur 1. Tag

34 Ein Film im Phasenraum:
Die Außentemperatur 1. Tag

35 Ein Film im Phasenraum:
Die Außentemperatur 2. Tag

36 Ein Film im Phasenraum:
Die Außentemperatur 2. Tag

37 Ein Film im Phasenraum:
Die Außentemperatur 2. Tag

38 Ein Film im Phasenraum:
Die Außentemperatur 2. Tag

39 Ein Film im Phasenraum:
Die Außentemperatur 2. Tag

40 Ein Film im Phasenraum:
Die Außentemperatur 2. Tag

41 Ein Film im Phasenraum:
Die Außentemperatur 2. Tag

42 Ein Film im Phasenraum:
Die Außentemperatur 2. Tag

43 Ein Film im Phasenraum:
Die Außentemperatur 2. Tag

44 Ein Film im Phasenraum:
Die Außentemperatur 2. Tag

45 Ein Film im Phasenraum:
Die Außentemperatur 2. Tag

46 Ein Film im Phasenraum:
Die Außentemperatur 2. Tag

47 Ein Film im Phasenraum:
Die Außentemperatur 2. Tag

48 Ein Film im Phasenraum:
Die Außentemperatur 2. Tag

49 Ein Film im Phasenraum:
Die Außentemperatur 3. Tag

50 Ein Film im Phasenraum:
Die Außentemperatur 3. Tag

51 Ein Film im Phasenraum:
Die Außentemperatur 3. Tag

52 Ein Film im Phasenraum:
Die Außentemperatur 3. Tag

53 Ein Film im Phasenraum:
Die Außentemperatur 3. Tag

54 Ein Film im Phasenraum:
Die Außentemperatur 3. Tag

55 Ein Film im Phasenraum:
Die Außentemperatur 3. Tag

56 Ein Film im Phasenraum:
Die Außentemperatur 3. Tag

57 Ein Film im Phasenraum:
Die Außentemperatur 3. Tag

58 Ein Film im Phasenraum:
Die Außentemperatur 3. Tag

59 Ein Film im Phasenraum:
Die Außentemperatur 3. Tag

60 Ein dreidimensionaler Phasenraum

61 Ein dreidimensionaler Zustandsraum (grob skaliert)

62 Ein dreidimensionaler Zustandsraum (feiner skaliert)

63 Ein dreidimensionaler Zustandsraum (sehr fein skaliert)

64 Ein Zustandsraum von vier Variablen der Ordnungsdimension drei

65 Ein Zustandsraum von vier Variablen der Ordnungsdimension vier

66 Ein kurzer Blick auf die mathematische Beschreibung der Begrifflichen Systemtheorie
Definition: ‘Begriffliches Zeitsystem' Sei G eine beliebige Menge und T := ((G, M, W, IT), (Sm | m  M)) und C := ((G, E, V, I), (Se | e  E )) skalierte mehrwertige Kontexte (auf derselben Menge G). Dann heißt das Paar (T, C) ein begriffliches Zeitsystem auf G. T heißt der Zeitteil und C der Ereignisteil von (T, C).

67 Zustände in begrifflichen Zeitsystemen
Definition: ‘Zustandsraum eines begrifflichen Zeitsystems’ Sei (T, C) ein begriffliches Zeitsystem und KT und KC der abgeleitete Kontext von T bzw. C. Für jedes Zeitobjekt g definieren wir den Zustand s(g) von (T, C ) am Zeitobjekt g durch s(g) := C(g) := Gegenstandsbegriff von g in KC und den Zeitzustand t(g) durch t(g) := T(g) := Gegenstandsbegriff von g in KT. S(T, C):= {s(g) | g  G } heißt der Zustandsraum von (T, C).

68 Situationen in begrifflichen Zeitsystemen
Definition: Sei (T, C) ein begriffliches Zeitsystem auf G und KT und KC die abgeleiteten Kontexte von T und C. Die Apposition KT|KC der abgeleiteten Kontexte heißt der Situationenkontext von (T, C). Die Gegenstandsbegriffe von B(KT|KC) heißen die Situationen von (T, C).

69 Phasen in begrifflichen Zeitsystemen
Definition: Sei (T, C) ein begriffliches Zeitsystem auf G und KT und KC die abgeleiteten Kontexte von T und C. Das Paar ( t(g), s(g) ) aus Zeitzustand und Zustand von g heißt die Phase von (T, C) im Zeitpunkt g. B(KT)  B(KC) heißt der Phasenraum von (T, C).

70 Transitionen in begrifflichen Zeitsystemen
In begrifflichen Zeitsystemen kann man unterscheiden zwischen Transitionen in verschiedenen Räumen, zum Beispiel: Transitionen zwischen Zuständen, Transitionen zwischen Situationen, Transitionen zwischen Zeitzuständen, Transitionen zwischen Phasen. Alle diese lassen sich erzeugen aus einer gemeinsamen Relation R aus Transitionen auf den Zeitobjekten.

71 Lebenslinien Transition: ( (g,h), (f(g), f(h) )
Lebenslinie f := {(g,f(g)) | g G } 

72 Transitionen in der Automatentheorie
In der Automatentheorie sind Transitionen Übergänge zwischen Zuständen, formal Tripel (r, a, s), wobei r, s Zustände sind und a eine Aktion (Befehl, Buchstabe) bezeichnet. Der Transitionen-Rekonstruktionssatz: Die Transitionen jedes Automaten A lassen sich beschreiben durch die Transitionen eines begrifflichen Zeitsystems, das aus A definiert werden kann.

73 Der Zustandsraum einer Familie (in der Sprache des Therapeuten)

74 Der Zustandsraum einer Familie (in der Sprache der Patientin (SELF))

75 Der Zustandsraum eines Petri-Netzes

76 Der Zustandsraum einer Destillationskolonne

77 Der Zustandsraum einer Wafer-Produktion

78 Danke!