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Karl Erich Wolff Fachbereich Mathematik der Fachhochschule Darmstadt Ernst-Schröder-Zentrum für Begriffliche Wissensverarbeitung Forschungsgruppe Begriffsanalyse.

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Präsentation zum Thema: "Karl Erich Wolff Fachbereich Mathematik der Fachhochschule Darmstadt Ernst-Schröder-Zentrum für Begriffliche Wissensverarbeitung Forschungsgruppe Begriffsanalyse."—  Präsentation transkript:

1 Karl Erich Wolff Fachbereich Mathematik der Fachhochschule Darmstadt Ernst-Schröder-Zentrum für Begriffliche Wissensverarbeitung Forschungsgruppe Begriffsanalyse der Technischen Universität Darmstadt Forschungszentrum Begriffliche Wissensverarbeitung Begriffliche Fundierung der Fuzzy- und Systemtheorie

2 Gliederung 1 Begriffliche Wissensverarbeitung 2 Begriffliche Fundierung der Fuzzy-Theorie 3 Begriffliche Systemtheorie

3 1 Begriffliche Wissensverarbeitung Eingeführt 1982 durch Prof. Dr. Rudolf Wille Mathematisierung des Begriffs Begriff Visualisierung begrifflicher Hierarchien Datenanalyse Begriffliche Skalierungstheorie Begriffliche Wissensakquisition Logik Fuzzy-Theorie Allgemeine und Mathematische Systemtheorie Rudolf Wille

4 1.1 Ein klassisches Beispiel Aristoteles

5 1.2 Formale Kontexte und Begriffsverbände

6 1.3 Mehrwertige Kontexte und Skalierung (1)

7 1.3 Mehrwertige Kontexte und Skalierung (2)

8 1.4 Liniendiagramme: gestuft: Einbettung in geistige Rahmen Das einfache Liniendiagramm

9 Begriffliche Konstruktion der reellen Zahlen Der Begriffsverband des Kontextes (Q,Q, ) ist der vollständige Verband der reellen Zahlen inclusive plus und minus Unendlich.

10 011DF SELBSTIDEALVATERMUTTER 1 rational denkend 2 emotional ehrlich 4 unehrlich optimistisch 6 pessimistisch interessiert 8 desinteressiert flexibel 10 gehemmt materialistisch 12 idealistisch nicht modebewußt 14 modebewußt lebensfroh 16 depressiv zielbewußt 18 unsicher zwanglos 20 zwanghaft 4223 Daten einer Magersuchtpatientin

11 Der abgeleitete Kontext 011D2FXSELBSTIDEALVATERMUTTER 1 rationalX X 2 emotional X 3 ehrlichXXX 4 unehrlich 5 optimistisch X 6 pessimistischX X 7 interessiert XX 8 desinteressiertX 9 flexibel X 10 gehemmtX 11 materialistisch X 12 idealistischXX 13 nicht modebewußt XXX 14 modebewußt X 15 lebensfroh X 16 depressivX 17 zielbewußt X 18 unsicherX 19 zwanglos XX 20 zwanghaft

12 Der Begriffsverband der Familie

13 Familie und Bekannte: 1. Zeitpunkt

14 Familie und Bekannte: 4. Zeitpunkt

15 2 Begriffliche Fundierung der Fuzzy-Theorie Lotfi A. Zadeh führte 1965 die Fuzzy-Theorie ein als eine Theorie der graded concepts in which everything is a matter of degree or to put it figuratively, everything has elasticity IEEE Medal of Honor

16 Zugehörigkeitsfunktionen Def.: Sei X ein Menge und f: X [0,1]. Dann heißt f eine Zugehörigkeitsfunktion oder eine Fuzzy-Menge auf X. graded concepts werden beschrieben durch die lineare Ordnung auf [0,1] Ersetze [0,1] durch eine beliebige Ordnung!

17 Direkte Produkte von Ordnungen sind Ordnungen. Aber: Direkte Produkte von Intervallen sind keine Intervalle! Deshalb: Fuzzy-Implikationen sind theoretisch nicht fundiert!

18 Die Mamdani-Implikation If X is big then Y is big. Min(blue, red)

19

20 Kontextuelle Implikationen

21 Second International Conference on Rough Sets and Current Trends in Computing, Banff /Kanada, Zadeh ZiarkoPawlakWolff Skowron

22 3 Begriffliche Systemtheorie 3.1 Probleme in der Mathematischen Systemtheorie: Was ist ein System? Wie sollte man allgemein die Zeit beschreiben? Was ist ein Zustand? Raum – Zeit – Kontinuum versus diskrete Phänomene? Was ist ein Gegenstand? Was ist ein Teilsystem?

23 3.2 Zwei Zitate: Liu: (General Systems Theory: A Mathematical Approach. 1999) There might not exist an ideal definition for general systems, upon which a general systems theory could be developed so that this theory would serve as the theoretical foundation for all approaches of systems analysis, developed in various disciplines. Zadeh: (The Concept of State in System Theory. 1964)To define the notion of state in a way which would make it applicable to all systems is a difficult, perhaps impossible, task. In this chapter, our modest objective is to sketch an approach that seems to be more natural as well as more general than those employed heretofore, but still falls short of complete generality.

24 3.3 Begriffliche Zeitsysteme Hauptideen: Zustände als formale Begriffe definieren Systemdefinition: skalierter mehrwertiger Kontext Zeitobjekte einführen Zerlegung in Zeit- und Raum-Merkmale Begriffliche Skalierung als Granularitätstheorie Einführung von Zustandsraum und Phasenraum Objekte und Teilsysteme Aktuelle Objekte Transitionen

25 Zu jeder Stunde: Temperaturen: Aussen Raum 2 Raum 3 Vorlauftemperatur 3.4 Ein Beispiel: Klimaanlage bei ROCHE Im Folgenden: Nur die ersten drei Tage

26 Die ersten drei Tage

27 Die Außentemperatur

28 Ein Film im Phasenraum: 1. Tag

29 Die Außentemperatur Ein Film im Phasenraum: 1. Tag

30 Die Außentemperatur Ein Film im Phasenraum: 1. Tag

31 Die Außentemperatur Ein Film im Phasenraum: 1. Tag

32 Die Außentemperatur Ein Film im Phasenraum: 1. Tag

33 Die Außentemperatur Ein Film im Phasenraum: 1. Tag

34 Die Außentemperatur Ein Film im Phasenraum: 1. Tag

35 Die Außentemperatur Ein Film im Phasenraum: 2. Tag

36 Die Außentemperatur Ein Film im Phasenraum: 2. Tag

37 Die Außentemperatur Ein Film im Phasenraum: 2. Tag

38 Die Außentemperatur Ein Film im Phasenraum: 2. Tag

39 Die Außentemperatur Ein Film im Phasenraum: 2. Tag

40 Die Außentemperatur Ein Film im Phasenraum: 2. Tag

41 Die Außentemperatur Ein Film im Phasenraum: 2. Tag

42 Die Außentemperatur Ein Film im Phasenraum: 2. Tag

43 Die Außentemperatur Ein Film im Phasenraum: 2. Tag

44 Die Außentemperatur Ein Film im Phasenraum: 2. Tag

45 Die Außentemperatur Ein Film im Phasenraum: 2. Tag

46 Die Außentemperatur Ein Film im Phasenraum: 2. Tag

47 Die Außentemperatur Ein Film im Phasenraum: 2. Tag

48 Die Außentemperatur Ein Film im Phasenraum: 2. Tag

49 Die Außentemperatur Ein Film im Phasenraum: 3. Tag

50 Die Außentemperatur Ein Film im Phasenraum: 3. Tag

51 Die Außentemperatur Ein Film im Phasenraum: 3. Tag

52 Die Außentemperatur Ein Film im Phasenraum: 3. Tag

53 Die Außentemperatur Ein Film im Phasenraum: 3. Tag

54 Die Außentemperatur Ein Film im Phasenraum: 3. Tag

55 Die Außentemperatur Ein Film im Phasenraum: 3. Tag

56 Die Außentemperatur Ein Film im Phasenraum: 3. Tag

57 Die Außentemperatur Ein Film im Phasenraum: 3. Tag

58 Die Außentemperatur Ein Film im Phasenraum: 3. Tag

59 Die Außentemperatur Ein Film im Phasenraum: 3. Tag

60 Ein dreidimensionaler Phasenraum

61 Ein dreidimensionaler Zustandsraum (grob skaliert)

62 Ein dreidimensionaler Zustandsraum (feiner skaliert)

63 Ein dreidimensionaler Zustandsraum (sehr fein skaliert)

64 Ein Zustandsraum von vier Variablen der Ordnungsdimension drei

65 Ein Zustandsraum von vier Variablen der Ordnungsdimension vier

66 Ein kurzer Blick auf die mathematische Beschreibung der Begrifflichen Systemtheorie Definition: Begriffliches Zeitsystem' Sei G eine beliebige Menge und T := ((G, M, W, I T ), (S m | m M)) und C := ((G, E, V, I), (S e | e E )) skalierte mehrwertige Kontexte (auf derselben Menge G). Dann heißt das Paar (T, C) ein begriffliches Zeitsystem auf G. T heißt der Zeitteil und C der Ereignisteil von (T, C).

67 Zustände in begrifflichen Zeitsystemen Definition: Zustandsraum eines begrifflichen Zeitsystems Sei (T, C) ein begriffliches Zeitsystem und K T und K C der abgeleitete Kontext von T bzw. C. Für jedes Zeitobjekt g definieren wir den Zustand s(g) von (T, C ) am Zeitobjekt g durch s(g) := C (g) := Gegenstandsbegriff von g in K C und den Zeitzustand t(g) durch t(g) := T (g) := Gegenstandsbegriff von g in K T. S(T, C):= {s(g) | g G } heißt der Zustandsraum von (T, C).

68 Situationen in begrifflichen Zeitsystemen Definition: Sei (T, C) ein begriffliches Zeitsystem auf G und K T und K C die abgeleiteten Kontexte von T und C. Die Apposition K T |K C der abgeleiteten Kontexte heißt der Situationenkontext von (T, C). Die Gegenstandsbegriffe von B(K T |K C ) heißen die Situationen von (T, C).

69 Phasen in begrifflichen Zeitsystemen Definition: Sei (T, C) ein begriffliches Zeitsystem auf G und K T und K C die abgeleiteten Kontexte von T und C. Das Paar ( t(g), s(g) ) aus Zeitzustand und Zustand von g heißt die Phase von (T, C) im Zeitpunkt g. B(K T ) B(K C ) heißt der Phasenraum von (T, C).

70 Transitionen in begrifflichen Zeitsystemen In begrifflichen Zeitsystemen kann man unterscheiden zwischen Transitionen in verschiedenen Räumen, zum Beispiel: Transitionen zwischen Zuständen, Transitionen zwischen Situationen, Transitionen zwischen Zeitzuständen, Transitionen zwischen Phasen. Alle diese lassen sich erzeugen aus einer gemeinsamen Relation R aus Transitionen auf den Zeitobjekten.

71 Lebenslinien Transition: ( (g,h), (f(g), f(h) ) Lebenslinie f := {(g,f(g)) | g G }

72 Transitionen in der Automatentheorie In der Automatentheorie sind Transitionen Übergänge zwischen Zuständen, formal Tripel (r, a, s), wobei r, s Zustände sind und a eine Aktion (Befehl, Buchstabe) bezeichnet. Der Transitionen-Rekonstruktionssatz: Die Transitionen jedes Automaten A lassen sich beschreiben durch die Transitionen eines begrifflichen Zeitsystems, das aus A definiert werden kann.

73 Der Zustandsraum einer Familie (in der Sprache des Therapeuten)

74 Der Zustandsraum einer Familie (in der Sprache der Patientin (SELF))

75 Der Zustandsraum eines Petri-Netzes

76 Der Zustandsraum einer Destillationskolonne

77 Der Zustandsraum einer Wafer-Produktion

78 Danke!


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