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Zerlegung von Quadraten und ????. 2x+y=1y+z=x3z=y 15/11.

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Präsentation zum Thema: "Zerlegung von Quadraten und ????. 2x+y=1y+z=x3z=y 15/11."—  Präsentation transkript:

1 Zerlegung von Quadraten und ????

2 2x+y=1y+z=x3z=y 15/11

3 4

4

5 4 4

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7 Kettenbruchentwicklung und ggT: Die Länge des kleinsten Quadrats ist der ggT

8 r n hat fraktionalen Anteil a n := ganzzahliger Anteil von r n Ja Nein z:=1/(r n – a n ) a n := r n Ende z := x,, n:=0 Euklidischer Algorithmus r n := z n:=n+1 Gegeben x

9 Kettenbrüche und ähnliche Rechtecke

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15 Was sind die Gleichungen für: [1;1,2,1,1,2,1,1,2,…] [1;1,3,1,1,3,1,1,3,…] [1;2,3,1,2,3,1,2,3,…]

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19 x rational: x kann in der Form m/n geschrieben werden; m und n natürliche Zahlen x hat schließlich-periodische Entwicklung bezüglich jeder Basis x hat abbrechende Kettenbruchentwicklung x irrational: x nicht als Quotient zweier natürlicher Zahlen als m/n schreibbar x keine Periodizität in der Entwicklung bezüglich jeder Basis x hat Kettenbruchentwicklung, die nicht abbricht Wenn x algebraisch von der Ordnung 2 (und irrational), dann hat x eine schließlich-periodische Kettenbruchentwicklung. Es gilt auch die Umkehrung!

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21 n[ a; Period ] 2 1; 2 3 1; 1,2 4 2; 5 2; 4 6 2; 2,4 7 2; 1,1,1,4 8 2; 1,4 9 3; 10 3; 6 11 3; 3,6 12 3; 2,6 13 3; 1,1,1,1,6 14 3; 1,2,1,6 15 3; 1,6 16 4; 17 4; 8 18 4; 4,8 19 4; 2,1,3,1,2,8 20 4; 2,8 21 4; 1,1,2,1,1,8 22 4; 1,2,4,2,1,8 23 4; 1,3,1,8 24 4; 1,8 25 5; 26 5; 10 27 5; 5,10 28 5; 3,2,3,10 29 5; 2,1,1,2,10 30 5; 2,10 31 5; 1,1,3,5,3,1,1,10 32 5; 1,1,1,10 33 5; 1,2,1,10 34 5; 1,4,1,10 35 5; 1,10 36 6; 37 6; 12 38 6; 6,12 39 6; 4,12 40 6; 3,12 41 6; 2,2,12 42 6; 2,12 43 6; 1,1,3,1,5,1,3,1,1,12 44 6; 1,1,1,2,1,1,1,12 45 6; 1,2,2,2,1,12 46 6; 1,3,1,1,2,6,2,1,1,3,1,12 47 6; 1,5,1,12 48 6; 1,12 49 7; 50 7; 14

22 n[ a; Period ] 51 7; 7,14 52 7; 4,1,2,1,4,14 53 7; 3,1,1,3,14 54 7; 2,1,6,1,2,14 55 7; 2,2,2,14 56 7; 2,14 57 7; 1,1,4,1,1,14 58 7; 1,1,1,1,1,1,14 59 7; 1,2,7,2,1,14 60 7; 1,2,1,14 61 7; 1,4,3,1,2,2,1,3,4,1,14 62 7; 1,6,1,14 63 7; 1,14 64 8; 65 8; 16 66 8; 8,16 67 8; 5,2,1,1,7,1,1,2,5,16 68 8; 4,16 69 8; 3,3,1,4,1,3,3,16 70 8; 2,1,2,1,2,16 71 8; 2,2,1,7,1,2,2,16 72 8; 2,16 73 8; 1,1,5,5,1,1,16 74 8; 1,1,1,1,16 75 8; 1,1,1,16 76 8; 1,2,1,1,5,4,5,1,1,2,1,16 77 8; 1,3,2,3,1,16 78 8; 1,4,1,16 79 8; 1,7,1,16 80 8; 1,16 81 9; 82 9; 18 83 9; 9,18 84 9; 6,18 85 9; 4,1,1,4,18 86 9; 3,1,1,1,8,1,1,1,3,18 87 9; 3,18 88 9; 2,1,1,1,2,18 89 9; 2,3,3,2,18 90 9; 2,18 91 9; 1,1,5,1,5,1,1,18 92 9; 1,1,2,4,2,1,1,18 93 9; 1,1,1,4,6,4,1,1,1,18 94 9; 1,2,3,1,1,5,1,8,1,5,1,1,3,2,1,18 95 9; 1,2,1,18 96 9; 1,3,1,18 97 9; 1,5,1,1,1,1,1,1,5,1,18 98 9; 1,8,1,18 99 9; 1,18

23 Realisierung des Euklidischen Algorithmus mit Microsoft Excel

24 KettenbruchentwicklungenKettenbruchentwicklungen von http://en.wikipedia.org/wiki/Continued_fraction http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?lang=en&module=tool%2Fnumber%2Fcontfrac.en&cmd=new http://mathworld.wolfram.com/ContinuedFraction.html Calculator: Gute Seiten: http://home.att.net/~numericana/answer/fractions.htm#continued http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/cfINTRO.html#intro

25 Contfrac ----- Help [Back] -----Back Examples of expressions, and how to enter them. For the expression: You may type:Which gives: pi^2-3*e 1.7147589... sqrt(2)+5^(1/3) 3.1241895... 4 6 -3 6 -2 6 4^6-3^6-2^6 3303 2 22 -10! 2^22-10! 565504 (3 5 -1)(2 5 -1)-1 (3^5-1)*(2^5-1)-1 7501 (15+77-2)/(2^3*3^5-1) 90/1943 More advanced examplesMore advanced examples.

26 Contfrac ----- Help [Back] -----Back Examples of expressions, and how to enter them. For the expression: You may type:Which gives: ppcm(15,70)-pgcd(21,33) lcm(15,70)-gcd(21,33) 207 sum(n=1,10,n^2+n) 440 prod(n=1,10,n^2/(n^2+1)) binomial(30,12) 86493225 integral part of e 4 truncate(exp(4)) 54 2^(2^(2^2))-8! 25216 root of x 2 +x-1 between 0 and 1 (golden ratio) solve(x=0,1,x^2+x-1) 0.618033988... Elementary examplesElementary examples. For more information on the functions and their names, please consult the manual of pari.

27 = ½ (1+ 5) [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,... ½ [k+ (k 2 +4)] [k; k, k, k, k, k, k, k, k,... 2 [1; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2,... 3 [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2,... 5 [2; 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4,... 7 [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4,... 41 [6; 2, 2, 12, 2, 2, 12, 2, 2, 12, 2, 2, 12,... e = exp(1)[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1,... 2n+2, 1, 1,... e = exp(1/2) [1; 1, 1, 1, 5, 1, 1, 9, 1, 1, 13, 1, 1, 17, 1, 1,... 4n+1, 1, 1,... exp(1/3)[1; 2, 1, 1, 8, 1, 1, 14, 1, 1, 20, 1, 1, 26, 1, 1,... 6n+2, 1, 1... exp(1/k)[1; k-1, 1, 1, 3k-1, 1, 1, 5k-1, 1, 1, 7k-1,... (2n+1)k-1, 1, 1... e 2 = exp(2) [7; 2, 1, 1, 3, 18, 5, 1, 1, 6,... 12n+6, 3n+2, 1, 1, 3n+3... exp(2/3)[1; 1, 18, 7, 1, 1, 10,... 36n+18, 9n+7, 1, 1, 9n+10... exp(2/5)[1; 2, 30, 12, 1, 1, 17,... 60n+30, 15n+12, 1, 1, 15n+17... exp(2/7)[1; 3, 42, 17, 1, 1, 24,... 84n+42, 21n+17, 1, 1, 21n+24... exp(2/(2k+1)) [1; k,... (24k+12)n+12k+6, (6k+3)n+5k+2, 1, 1, (6k+3)n+7k+3...

28 tanh(1) = ( e 2 -1)/(e 2 +1) [0; 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25,... (2n+1)... tanh(1/k)[0; k, 3k, 5k, 7k, 9k, 11k, 13k, 15k, 17k, 19k,... (2n+1)k... tan(1)[1; 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 9, 1, 11, 1, 13, 1, 15, 1,... 2n+1, 1,... tan(1/2)[0; 1, 1, 4, 1, 8, 1, 12, 1, 16, 1, 20, 1, 24, 1, 28, 1,... 4n, 1,... tan(1/k)[0; k-1, 1, 3k-2, 1, 5k-2, 1, 7k-2, 1, 9k-2, 1,... (2n+1)k-2,1,...


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