The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete

Präsentation zum Thema: "The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete"—  Präsentation transkript:

1 The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete
Seminarvortrag Lothar Kunz

2 Übersicht Einleitung Grundlagen Komplexität Grundlagen Graphentheorie
Beweisstrategie Problemreduktionsschritt 1 Problemreduktionsschritt 2 Zentraler Beweis Schluss

3 Motivation Leiterplatinenlayout
Für einige eingeschränkte Probleme wurden bereits effiziente Lösungen gefunden

4 Rectilinear Steiner Baum (RST)

5 RST Problem Konstruiere RST mit minimaler totalen Länge

6 Die Klasse P Probleme mit deterministischen Algorithmen in polynomialer Zeit lösbar

7 Die Klasse NP Probleme, mit nichtdeterministischen
Algorithmen in polynomialer Zeit lösbar

8 NP-vollständig Element von NP
Jedes NP-Problem läßt sich mit polynomialem Aufwand in ein NP-vollständiges Problem umwandeln

9 Problemreduktion A -> B
Wenn A NP-vollständig ist und sich polynomiell auf B reduzieren läßt, dann ist B auch NP-vollständig

10 Knotenüberdeckung

11 Zusammenhängende Knotenüberdeckung

12 Beweisstrategie Abfolge von drei Problemreduktionen Ausgehend von :
Knotenüberdeckung in planaren Graphen ist NP-vollständig. Gegeben : planarer Graph G = (V,E) k aus N Gibt es Knotenüberdeckung V‘ mit |V‘| <= k ?

13 Nächstes Problem Knotenüberdeckung in planaren Graphen mit maximalem Grad 3

14 Nächstes Problem Zusammenhängende Knotenüberdeckung in einem planaren Graphen mit maximalen Grad 4.

15 Behauptung Lemma 1 Knotenüberdeckung in planaren Graphen mit
maximalem Grad 3 ist NP-vollständig.

16 Problemreduktion 1

17 Problemreduktion 1

18 Problemreduktion 1

19 Problemreduktion 1

20 Problemreduktion 1

21 Knotenüberdeckung

22 Knotenüberdeckung

23 Knotenüberdeckung

24 Lemma 2 Zusammenhängende Knotenüberdeckung in
planaren Graphen mit maximalem Grad 4 ist NP-vollständig.

25 Problemreduktion 2

26 Problemreduktion 2

27 Problemreduktion 2

28 Problemreduktion 2

29 Problemreduktion 2

30 Problemreduktion 2

31 Problemreduktion 2

32 Problemreduktion 2

33 Knotenüberdeckung

34 Knotenüberdeckung

35 Knotenüberdeckung

36 Knotenüberdeckung

37 Zentrale Behauptung RST ist NP-vollständig

38 Beweis Annahme : Konstruktion eines RST
G hat ein zusammenhängende Knotenüberdeckung Konstruktion eines RST Spanning Tree der Knotenüberdeckung

39 Problemreduktion 3

40 Problemreduktion 3

41 Problemreduktion 3

42 Problemreduktion 3

43 Problemreduktion 3

44 Problemreduktion 3

45 Problemreduktion

46 Problemreduktion

47 Problemreduktion

48 Problemreduktion 3

49 Problemreduktion 3

50 Beweis 2 Annahme : Es gibt ein RST für A mit der totalen Länge l
Ziel : Konstruktion einer zusammenhängenden Knotenüberdeckung