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The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.

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Präsentation zum Thema: "The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz."—  Präsentation transkript:

1 The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz

2 Übersicht Einleitung Grundlagen Komplexität Grundlagen Graphentheorie Beweisstrategie Problemreduktionsschritt 1 Problemreduktionsschritt 2 Zentraler Beweis Schluss

3 Motivation Leiterplatinenlayout Für einige eingeschränkte Probleme wurden bereits effiziente Lösungen gefunden

4 Rectilinear Steiner Baum (RST)

5 RST Problem Konstruiere RST mit minimaler totalen Länge

6 Die Klasse P Probleme mit deterministischen Algorithmen in polynomialer Zeit lösbar

7 Die Klasse NP Probleme, mit nichtdeterministischen Algorithmen in polynomialer Zeit lösbar

8 NP-vollständig Element von NP Jedes NP-Problem läßt sich mit polynomialem Aufwand in ein NP- vollständiges Problem umwandeln

9 Problemreduktion A -> B Wenn A NP-vollständig ist und sich polynomiell auf B reduzieren läßt, dann ist B auch NP- vollständig

10 Knotenüberdeckung

11 Zusammenhängende Knotenüberdeckung

12 Beweisstrategie Abfolge von drei Problemreduktionen Ausgehend von : Knotenüberdeckung in planaren Graphen ist NP- vollständig. Gegeben : planarer Graph G = (V,E) k aus N Gibt es Knotenüberdeckung V mit |V| <= k ?

13 Nächstes Problem Knotenüberdeckung in planaren Graphen mit maximalem Grad 3

14 Nächstes Problem Zusammenhängende Knotenüberdeckung in einem planaren Graphen mit maximalen Grad 4.

15 Behauptung Lemma 1 Knotenüberdeckung in planaren Graphen mit maximalem Grad 3 ist NP-vollständig.

16 Problemreduktion 1

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21 Knotenüberdeckung

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24 Lemma 2 Zusammenhängende Knotenüberdeckung in planaren Graphen mit maximalem Grad 4 ist NP-vollständig.

25 Problemreduktion 2

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33 Knotenüberdeckung

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37 Zentrale Behauptung RST ist NP-vollständig

38 Beweis Annahme : G hat ein zusammenhängende Knotenüberdeckung Konstruktion eines RST Spanning Tree der Knotenüberdeckung

39 Problemreduktion 3

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45 Problemreduktion

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48 Problemreduktion 3

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50 Beweis 2 Annahme : Es gibt ein RST für A mit der totalen Länge l Ziel : Konstruktion einer zusammenhängenden Knotenüberdeckung


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