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Komplexität und Phasenübergänge Automatic Problem Solving Institut für Informatik Universität Potsdam WS 05/06 Thomas Hofmann.

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Präsentation zum Thema: "Komplexität und Phasenübergänge Automatic Problem Solving Institut für Informatik Universität Potsdam WS 05/06 Thomas Hofmann."—  Präsentation transkript:

1 Komplexität und Phasenübergänge Automatic Problem Solving Institut für Informatik Universität Potsdam WS 05/06 Thomas Hofmann

2 2 Komplexität Ressourcenaufwand (Rechenschritte oder Speicherplatzbedarf) des besten Algorithmus für ein gegebenes Problem wächst mit Länge der Eingabegrösse n, aber wie? Skalierbarkeit Polynomialzeit: was rechentechnisch praktisch möglich ist Einteilung in Komplexitätsklassen wichtigste Frage der Komplexitätstheorie NPP

3 3 Satz von Cook SAT ist NP vollständig alle Probleme aus NP lassen sich in polynominaler Zeit auf das SAT-Problem reduzieren Beweisidee NP-Probleme sind auf einer nichtdeterministischen Turing-Maschine in polynominaler Zeit lösbar Turing-Maschine durch aussagenlogische Formeln beschreiben ist genau dann erfüllt wenn die Maschine eine Lösung findet Konstruktion geht in Polynominalzeit

4 4 Beweismethode DNF A = p v Q v S Q : zu jedem Zeitpunkt kann es nur einen aktiven Zustand geben S : jedes Feld kann nur ein Symbol aufnehmen p : ist wahr wenn ein Feld zu einem bestimmten Zeitpunkt ein bestimmtes Symbol enthält B,C,D : setzen p,Q und S durch E : sorgt für richtige Startbedingungen F,G,H : sorgen dafür das die Werte richtig aktualisiert werden

5 5 NP = P ? P Probleme sind mit deterministischen Turing Maschinen in p. Zeit lösbar, NP nichtdeterministisch in p. Zeit lösbar P NP aber ist auch P NP? wenn ein Problem aus NP in P, dann alle NP-vollständige Probleme lassen sich vermutlich nicht effizient lösen

6 6 Phasenübergänge Motivation: Goldberg(1979); SAT ist im Durchschnitt in O(n²) lösbar NP: worst case scenarios Bestimmung von average cases and hard cases Qualität des Generierungsverfahren der Formelmenge und deren Bezug zu realen Problemen analytisch ist es nicht beweisbar, (n )

7 7 Generierungsverfahren Formellänge K, Zeilen M, Variablen N, Zeilen / Variablen c zufällig generierte Formeln in CNF random K-SAT random mixed-SAT costant probability model (P) random [k,l]-SAT kritischen Wert für c (L/N) Davis-Putnam procedure

8 8 easy-hard-easy pattern and over- / underconstrained the hardest area for satisfiability is near the point where 50% of the formulars are satisfiable [4] S.461

9 9 SAT-Solver mit konstanter Formellänge

10 10 3-SAT mit unterschiedlicher Variablenanzahl

11 11 Schlussfolgerung scharfe Transition bei der Erfüllbarkeitsfrage an diesem Übergang liegen die schwerstlösbaren Probleme Schwierigkeiten bei gemischter Klausellänge crossover-point Übertragbarkeit der Ergebnisse auf andere SAT-Solver

12 12 Quellen- und Abbildungsverzeichnis [1]Stephen A. Cook; The complexity of Theorem-Proving Procedures; 1971 [2]Ian P. Gent and Toby Walsh; The SAT Phase Transition;1994 [3]David G. Mitchell and Hector J. Levesque; Some Pitfalls for Experimenters with Random Sat; 1995 [4 ]David G. Mitchell, Bart Selman and Hector J. Levesque; Hard and Easy Distributions of SAT Problems; 1992 Internetquellen:www.wikipedia.org; Abbildungen: S.9 und S.10[3] S S.4, S.6 S.8[4] S.462


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