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Seminar über Algorithmen
Sokoban ist PSPACE-vollständig
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Inhalt Einführung in Sokoban Vorstellen des Sokoban-Problems
Das Sokoban-Problem ist PSPACE-vollständig, via Sokoban-Problem liegt in PSPACE Sokoban-Problem ist PSPACE-schwer
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Sokoban Das Spielfeld besteht aus: Pusher
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Sokoban Das Spielfeld besteht aus: Pusher Kisten
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Sokoban Das Spielfeld besteht aus: Pusher Kisten Kistenzielfeldern
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Sokoban Das Spielfeld besteht aus: Pusher Kisten Kistenzielfeldern
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Sokoban Das Spielfeld besteht aus: Pusher Kisten Kistenzielfeldern
Wänden
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Mögliche Pusher-Bewegungen
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Mögliche Pusher-Bewegungen
Nach oben
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Mögliche Pusher-Bewegungen
Nach oben Nach unten
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Mögliche Pusher-Bewegungen
Nach oben Nach unten Nach links
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Mögliche Pusher-Bewegungen
Nach oben Nach unten Nach links Nach rechts
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Pushen Genau eine Kiste kann in Bewegungs-richtung verschoben werden
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Pushen Genau eine Kiste kann in Bewegungs-richtung verschoben werden
Das neue Feld der Kiste muß frei sein
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Ziel des Spiels Jede Kiste muß auf ein Kistenzielfeld gebracht werden
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Ziel des Spiels Jede Kiste muß auf ein Kistenzielfeld gebracht werden
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Sokoban-Problem Ist eine Konfiguration lösbar?
Ja, da eine Folge von Pusher-Bewegungen existiert, die zu einer Lösung führt. Nein, da ein Argument für die Unlösbarkeit existiert.
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Beispielargument für einen unlösbaren Fall
Die Kiste kann nicht mehr bewegt werden und steht auf keinem Zielfeld
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Beispielargument für einen unlösbaren Fall
Die Kiste kann bewegt werden, aber nicht mehr auf ein Zielfeld
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Beispielargument für einen unlösbaren Fall
Beide Kiste können nicht mehr bewegt werden. Die linke ist auf keinem Zielfeld
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Sokoban liegt in NSPACE(n)
Nicht-deterministische Turing-Maschine rät Zug um Zug Es gibt keine Lösung falls nach Schritten keine Lösung gefunden ist Benötigt linearen Platzbedarf für die Konfiguration
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Sokoban liegt in PSPACE
Savitch´s theorem: Daraus folgt: Also: Sokoban liegt in PSPACE
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Sokoban ist PSPACE-schwer
Reduktion vom Entscheidungsproblem für Turing-Maschinen mit linear beschränktem Band
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Reduktion Turing-Maschine mit Wort → Sokoban Rätsel
Turing-Maschine akzeptiert Wort Sokoban-Rätsel ist lösbar
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Einbahnstraße
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Einbahnstraße Der Weg von A nach B
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Einbahnstraße Der Weg von A nach B
Das Bauteil ist wieder im Ausgangszustand Kiste ist auf Zielfeld
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Einbahnstraße Felder, an denen die Kiste nie stehen darf
Kiste ist im Bauteil gefangen und keine andere kommt zum Zielfeld
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Einbahnstraße Kein Weg führt von B nach A in einer Lösung
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Einbahnstraße Kein Weg führt von B nach A in einer Lösung
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Einbahnstraße Kein Weg führt von B nach A in einer Lösung
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Heimkehrer
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Heimkehrer Felder, an denen keine Kisten stehen dürfen
Rosa ist durch die jeweils andere Kiste blockiert Keine Kiste kann hinein bzw. heraus
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Heimkehrer Die Blockierung des rosanen Feldes ist durch die Verschiebung aufgehoben
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Heimkehrer Pusher am Ziel B Kisten sind nicht auf Zielfeldern
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Heimkehrer
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Heimkehrer Das Bauteil ist wieder im Ausgangszustand
Kisten befinden sich auf den Zielfeldern
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Durchlauf-Zurücksetzer
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Durchlauf-Zurücksetzer
Zugang zum Mittelteil über Eingang A ist blockiert
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Durchlauf-Zurücksetzer
Zugang zum Mittelteil über Eingang A ist blockiert B ist Ausgang
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Durchlauf-Zurücksetzer
Zugang über Heimkehrer
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Durchlauf-Zurücksetzer
Verlassen über B nicht möglich Heimkehrer enthält offene Kisten Alle Zugänge zum Mittelteil blockiert
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Durchlauf-Zurücksetzer
Öffnen der Blockierung von A
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Durchlauf-Zurücksetzer
Verlassen des Mittelteils nur durch R
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Durchlauf-Zurücksetzer
Eingang A nicht mehr blockiert
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Durchlauf-Zurücksetzer
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Durchlauf-Zurücksetzer
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Durchlauf-Zurücksetzer
Jede Kiste ist auf Zielfeld Das Bauteil ist wieder im Ausgangs-zustand
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Überführung Pfade existieren nur von:
A zu A´ bzw. A´ zu A B zu B´ bzw. B´ zu B Alle Kisten sind initial und nach Durchlauf auf Zielfeldern
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Kreuzung Verbindung von Pfaden
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Zelleinheit Repräsentiert eine Zelle des Turing-Maschinen-Bands
Beinhaltet das Steuerwerk der Turing-Maschine
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Endlicher Automat
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Heimkehrer beim Bandsymbol
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Heimkehrer Nur der Rückweg des gelesen Buchstabens ist offen
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Simulation
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Simulation Probleme: Die Turing-Maschine akzeptiert bevor alle Zelleinheiten gelesen sind. Die Turing-Maschine liest jeden Buchstaben, akzeptiert aber nicht.
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Simulation
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Die entscheidende Kiste
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Reduktionskosten Konstruktion einer Zelleinheit
pro Bandbuchstabe und Zustand werden konstant viele Bauteile (ohne Überführungen) benötigt Es gibt maximal Überführungen Die Zelleinheit läßt sich in Zeit konstruieren n Kopien werden modifziert und verbunden, in O(n) Zeit Reduktion ist polynomiell
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Quellen Joseph C. Culberson: Sokoban is PSPACE-complete
Dorit Dor und Uri Zwick: Sokoban and other motion planning problems Sokoban für Windows Sokoban Seite der University of Alberta
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Exponentielle Lösung
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