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1 Zellul ä re Automaten Wo,YaoliangIMT9920836. 2 Gliederung Einf ü hrung Einf ü hrung Bausteine eines Zellul ä ren Automaten Bausteine eines Zellul ä

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Präsentation zum Thema: "1 Zellul ä re Automaten Wo,YaoliangIMT9920836. 2 Gliederung Einf ü hrung Einf ü hrung Bausteine eines Zellul ä ren Automaten Bausteine eines Zellul ä"—  Präsentation transkript:

1 1 Zellul ä re Automaten Wo,YaoliangIMT

2 2 Gliederung Einf ü hrung Einf ü hrung Bausteine eines Zellul ä ren Automaten Bausteine eines Zellul ä ren Automaten Eindimensionale Zellul ä re Automaten Eindimensionale Zellul ä re Automaten Zusammenfassung Zusammenfassung

3 3 Einf ü hrung Zelluläre Automaten sind mathematische Systeme, die durch einfache Regeln beschrieben werden und hochkomplexes Verhalten zeigen. Zelluläre Automaten sind mathematische Systeme, die durch einfache Regeln beschrieben werden und hochkomplexes Verhalten zeigen. Die erste Simulation von Zellpopulationen: Die erste Simulation von Zellpopulationen: -- in den 50er Jahren John von Neumann -- in den 50er Jahren John von Neumann "GAME OF LIFE": "GAME OF LIFE": John Horton Conway John Horton Conway -- der ber ü hmteste zellul ä re Automat. -- der ber ü hmteste zellul ä re Automat. eindimensionale zellul ä re Automaten: eindimensionale zellul ä re Automaten: -- Systematisierung in den 80er Jahren durch Wolfram -- Systematisierung in den 80er Jahren durch Wolfram -- mit vollkommen deterministischen Regeln und -- mit vollkommen deterministischen Regeln und Betrachtung der Raum- und Zeitdimension durch das Betrachtung der Raum- und Zeitdimension durch das Aneinanderreihen der r ä umlichen Zust ä nde in ihrem Aneinanderreihen der r ä umlichen Zust ä nde in ihrem zeitlichen Verlauf. zeitlichen Verlauf.

4 4 Die Grundcharakteristika eines zellul ä ren Automaten nach Gerhard und Schuster (1995, S. 18f.): Gerhard und Schuster1995Gerhard und Schuster1995 Seine Entwicklung findet in Raum und Zeit statt. Seine Entwicklung findet in Raum und Zeit statt. Sein Raum ist eine diskrete Menge zahlreicher Zellen. Sein Raum ist eine diskrete Menge zahlreicher Zellen. Jede dieser Zellen hat nur eine endliche Anzahl m ö glicher Zust ä nde. Jede dieser Zellen hat nur eine endliche Anzahl m ö glicher Zust ä nde. Die Zust ä nde der Zellen ver ä ndern sich in diskreten Zeitschritten. Die Zust ä nde der Zellen ver ä ndern sich in diskreten Zeitschritten. Alle Zellen sind identisch und verhalten sich nach den gleichen Entwicklungsregeln. Alle Zellen sind identisch und verhalten sich nach den gleichen Entwicklungsregeln. Die Entwicklung einer Zelle h ä ngt nur von ihrem Zustand und dem ihrer lokal umgebenden Nachbarzellen ab. Die Entwicklung einer Zelle h ä ngt nur von ihrem Zustand und dem ihrer lokal umgebenden Nachbarzellen ab.

5 5 Bausteine eines zellul ä ren Automaten Zellraum Zellraum 1. Diskrete Struktur 1. Diskrete Struktur 2. unterschiedliche Dimension (ein-, zwei- oder dreidimensional) 2. unterschiedliche Dimension (ein-, zwei- oder dreidimensional) 3. Unterschiedliche Geometrie der Zellen (z. B. rechteckig, 3. Unterschiedliche Geometrie der Zellen (z. B. rechteckig, hexagonal, dreieckig) hexagonal, dreieckig) 4. Die Gr öß e (z. B ein zweidimensionaler zellul ä rer Automat mit 4. Die Gr öß e (z. B ein zweidimensionaler zellul ä rer Automat mit 10*10 rechteckigen Zellen ) 10*10 rechteckigen Zellen )

6 6 Bausteine eines zellul ä ren Automaten Die Nachbarschaft Die Nachbarschaft 1.abhängig von der Dimension und Geometrie des zellulären Automaten 2.der Radius 3.ob Eck-Zellen als Nachbarn gezählt werden

7 7 Bausteine eines zellul ä ren Automaten Randbedingungen Randbedingungen 1. Probleme diskreter Zellraum diskreter Zellraum die andere lokale Umgebung an den Rändern die andere lokale Umgebung an den Rändern ein großes Gewicht von einem kleinen Zellraum ein großes Gewicht von einem kleinen Zellraum

8 8 Bausteine eines zellul ä ren Automaten 2. Strategien 2. Strategien Die periodische Randbedingung Die periodische Randbedingung die R ä nder des Zellraums sind miteinander zu verkleben die R ä nder des Zellraums sind miteinander zu verkleben Aus einem eindimensionalen Zellul ä ren Automaten wird ein Ring, in dem die Zelle am rechten Rand zu der am linken benachbart ist. Aus einem eindimensionalen Zellul ä ren Automaten wird ein Ring, in dem die Zelle am rechten Rand zu der am linken benachbart ist. Die symmetrische Randbedingung entspricht einer Spiegelung der Randzellen Die symmetrische Randbedingung entspricht einer Spiegelung der Randzellen

9 9 Bausteine eines zellul ä ren Automaten Zustandsmenge Zustandsmenge 1.nur wenige Zust ä nde (oft nur 2 Zust ä nde 0 und 1) 2.die Definition muss genau festgelegt werden 3.Anzahl der Zust ä nde des Automaten betr ä gt k N (k Zellzust ä nde, N Zellen ) Zustandensentwicklung Zustandensentwicklung 1.Abh ä ngig nur von dem Selbstzustand und den Zust ä nden der Zellen der Nachbarschaft 2.Die Anzahl der m ö glichen Spielregeln betr ä gt K k n. Abh ä ngig nur von der Anzahl der Zellzust ä nde k und der Gr öß e der Nachbarschaft n.

10 10 Eindimensionale zellul ä re Automaten (Wolfram-Automaten) Eindimensionale zellul ä re Automaten In der 80er Jahren untersuchte und systematisierte Wolfram die Eigenschaften von zellul ä ren Automaten. Um Systematisierung zu erreichen, beschr ä nkte er sich auf eindimensionale zellul ä re Automaten mit vollkommen deterministischen Regeln und betrachtete die Raum- und Zeitdimension durch das Aneinanderreihen der r ä umlichen Zust ä nde in ihrem zeitlichen Verlauf. In der 80er Jahren untersuchte und systematisierte Wolfram die Eigenschaften von zellul ä ren Automaten. Um Systematisierung zu erreichen, beschr ä nkte er sich auf eindimensionale zellul ä re Automaten mit vollkommen deterministischen Regeln und betrachtete die Raum- und Zeitdimension durch das Aneinanderreihen der r ä umlichen Zust ä nde in ihrem zeitlichen Verlauf. Eine Zelle hat nur 2 Zust ä nde (Wert 0 oder 1). Eine Zelle hat nur 2 Zust ä nde (Wert 0 oder 1).

11 11 Eindimensionale zellul ä re Automaten (Wolfram-Automaten) Wird eine Zelle an der Position i im Zellraum zum Zeitpunkt t mit Z i (t) beschrieben, dann ist eine m ö gliche Formel f ü r eine Entwicklungsregel: Wird eine Zelle an der Position i im Zellraum zum Zeitpunkt t mit Z i (t) beschrieben, dann ist eine m ö gliche Formel f ü r eine Entwicklungsregel: Z i (t+1)=(Z i-1 (t)+ Z i+1 (t)) mod 2. Z i (t+1)=(Z i-1 (t)+ Z i+1 (t)) mod 2. Der Wert der Zelle Z i (t+1) ergibt sich aus der Summe der Werte ihrer beiden Nachbarzellen im vorherigen Zeitschritt modulo 2. Der Wert der Zelle Z i (t+1) ergibt sich aus der Summe der Werte ihrer beiden Nachbarzellen im vorherigen Zeitschritt modulo 2. Z i (t+1)= 0, wenn (Z i-1 (t)+ Z i+1 (t)) gerade Z i (t+1)= 0, wenn (Z i-1 (t)+ Z i+1 (t)) gerade 1, wenn (Z i-1 (t)+ Z i+1 (t)) ungerade 1, wenn (Z i-1 (t)+ Z i+1 (t)) ungerade Anzahl m ö glicher Spielregeln: K k n Anzahl m ö glicher Spielregeln: K k n

12 12 Eindimensionale zellul ä re Automaten (Wolfram-Automaten) Das Verhalten der gr ü nen Zelle wird durch die benachbarten blauen Zellen bestimmt. Das Pascalsche Dreieck NB: Anzahl der Nachbarn K: Anzahl der m ö glichen Zust ä nde jeder Zelle Das Pascalsche Dreieck NR Nachbarschaft Folgezustand

13 13 Eindimensionale zellul ä re Automaten (Wolfram-Automaten) Z.B für k = 2 heißt dies, jede Zelle hat 2 Zustände (entweder 0 oder 1). 1 ist durch schwarzen Gitterplatz gekennzeichnet. 1 ist durch schwarzen Gitterplatz gekennzeichnet. 0 ist durch weißen Gitterplatz gekennzeichnet 0 ist durch weißen Gitterplatz gekennzeichnet RuleHex:12 (Wolfram's Hexadezimal-Code) RuleBinary: = ( ) 2 = (12) 16 Mögliche Spielregeln: K k n = 2^2^3=256. Das heißt, dass es außer dieser Spielregel noch 255 mögliche Spielregeln gibt.

14 14 Eindimensionale zellul ä re Automaten (Wolfram-Automaten) Bermuda Triangle Rule NB=5 (R=2) K=2 Bermuda Triangle Rule RuleBinary = , RuleHex = BC82271C NR Nachbarschaft Folgezustand NR Nachbarschaft Folgezustand

15 15 Eindimensionale zellul ä re Automaten (Wolfram-Automaten) m ö gliche Spielregeln sind = 4,294,967,296 m ö gliche Spielregeln sind = 4,294,967,296 NR Nachbarschaft Folgezustand NR Nachbarschaft Folgezustand

16 16 Eindimensionale zellul ä re Automaten (Wolfram-Automaten) 4 Klassen Nach einer großen Anzahl von Computersimulationen fanden Wolfram und seine Mitarbeiter heraus, dass man die eindimensionalen Automaten in 4 Klassen unterteilen kann. Nach einer großen Anzahl von Computersimulationen fanden Wolfram und seine Mitarbeiter heraus, dass man die eindimensionalen Automaten in 4 Klassen unterteilen kann.

17 17 Eindimensionale zellul ä re Automaten (Wolfram-Automaten) 1. In der ersten Klasse befinden sich alle Automaten, die sich aus fast allen m ö glichen Anfangszust ä nden nach kurzer Zeit zu einem unver ä nderlichen Endzustand entwickeln werden.

18 18 Eindimensionale zellul ä re Automaten (Wolfram-Automaten) 2.Klasse 2 enth ä lt alle Automaten, welche periodische Muster ausbilden. Anders als in der ersten Klasse ü berleben nur einzelne mehr oder weniger breite Str ä nge von Zellen. Diese sehen am Schluss wie ein Strichcode aus. 2.Klasse 2 enth ä lt alle Automaten, welche periodische Muster ausbilden. Anders als in der ersten Klasse ü berleben nur einzelne mehr oder weniger breite Str ä nge von Zellen. Diese sehen am Schluss wie ein Strichcode aus.

19 19 Eindimensionale zellul ä re Automaten (Wolfram-Automaten) 3. Klasse 3: Automaten mit diesen Regeln zeigen st ä ndige Ver ä nderungen ohne eindeutigen Endzustand, Eigenschaften chaotischen Verhaltens.

20 20 Eindimensionale zellul ä re Automaten (Wolfram-Automaten) 4. Klasse 4: Automaten entwickeln komplizierte, r ä umlich voneinander getrennte Muster, die sich im Laufe der Zeit durch den Zellraum bewegen.

21 21 Eindimensionale zellul ä re Automaten (Wolfram-Automaten) Unterschiede zwischen den vier Klassen durch Unterschiede zwischen den vier Klassen durch 1.Aussehen und Gestalt der letztlich entstehenden Musterbildungen und 2.jeweils einen eigenen Grad der Vorhersagbarkeit Klasse 1 : das gesamte Verhalten ist ohne genaue Kenntnis eines Anfangszustands vorhersagbar Klasse 1 : das gesamte Verhalten ist ohne genaue Kenntnis eines Anfangszustands vorhersagbar Klasse 2 : im Anfangszustand sind nur kleine, begrenzte Bereiche relevant, um den Zustand einer bestimmten Zelle im Endzustand vorherzusagen Klasse 2 : im Anfangszustand sind nur kleine, begrenzte Bereiche relevant, um den Zustand einer bestimmten Zelle im Endzustand vorherzusagen Klasse 3 und Klasse 4 : die gesamte Musterbildung kann durch die Ä nderung eines einzelnen Zellenzustands beeinflusst werden. Klasse 3 und Klasse 4 : die gesamte Musterbildung kann durch die Ä nderung eines einzelnen Zellenzustands beeinflusst werden.

22 22 Eindimensionale zellul ä re Automaten (Wolfram-Automaten) "Magische Parameter" "Magische Parameter" Ein wichtiger Parameter λ wurde von Christopher Langton gefunden, damit man einen Automaten nur nach seiner Produktionsregel in eine der Klassen einteilen kann. Dieser Parameter dr ü ckt die Wahrscheinlichkeit aus, mit welcher eine Zelle mit Zustand 1 ("lebend") in der n ä chsten Runde ü berlebt oder nicht. Ein wichtiger Parameter λ wurde von Christopher Langton gefunden, damit man einen Automaten nur nach seiner Produktionsregel in eine der Klassen einteilen kann. Dieser Parameter dr ü ckt die Wahrscheinlichkeit aus, mit welcher eine Zelle mit Zustand 1 ("lebend") in der n ä chsten Runde ü berlebt oder nicht. Klasse 1: λ=0, alles Leben wird sofort aussterben; mit λ=1 sind alle Zellen auf Dauer am Leben. Klasse 3: z.B. bei λ=0,5; das ergibt ein gro ß es Wirrwarr von toten und lebendigen Zellen.

23 23 Eindimensionale zellul ä re Automaten (Wolfram-Automaten) Klasse 2: Teil der Bereiche 0<λ<0,5 bzw. 0,5<λ<1. (Die Werte von toten und lebendigen Zellen k ö nnen einfach vertauscht werden.) Das Gebiet der Automaten zweiter Klasse entspricht Werten von λ zwischen den Grenzen 0 und 0,3 Klasse 2: Teil der Bereiche 0<λ<0,5 bzw. 0,5<λ<1. (Die Werte von toten und lebendigen Zellen k ö nnen einfach vertauscht werden.) Das Gebiet der Automaten zweiter Klasse entspricht Werten von λ zwischen den Grenzen 0 und 0,3 Klasse 4: die magische Schwelle, wo die viertklassigen Automaten angesiedelt sind, findet sich etwa bei λ=0,273 Klasse 4: die magische Schwelle, wo die viertklassigen Automaten angesiedelt sind, findet sich etwa bei λ=0,273 Begrenzung der 4 Klassen durch λ.

24 24 Ausblick Man kann trotz der einfachen Regeln der Zellul ä ren Automaten vieles mit ihnen simulieren. Zellul ä re Automaten eignen sich besonders gut f ü r Modelle, bei denen die r ä umliche Komponente wichtig ist. Viele Forscher nennen Zellul ä re Automaten Software der Natur, und man geht davon aus, dass diese Modellierungsmethode insbesondere in den Geowissenschaften und in der Ö kologie immer mehr angewendet wird. Man kann trotz der einfachen Regeln der Zellul ä ren Automaten vieles mit ihnen simulieren. Zellul ä re Automaten eignen sich besonders gut f ü r Modelle, bei denen die r ä umliche Komponente wichtig ist. Viele Forscher nennen Zellul ä re Automaten Software der Natur, und man geht davon aus, dass diese Modellierungsmethode insbesondere in den Geowissenschaften und in der Ö kologie immer mehr angewendet wird.

25 25 Literatur Martin Gerhardt, Heike Schuster: Das digitale Universum. Zellul ä re Automaten als Modelle der Natur. Vieweg, Braunschweig Martin Gerhardt, Heike Schuster: Das digitale Universum. Zellul ä re Automaten als Modelle der Natur. Vieweg, Braunschweig Stephen Wolfram: Celluar Automata and Complexity. Collected Papers. Addison-Wesley, Reading Stephen Wolfram: Celluar Automata and Complexity. Collected Papers. Addison-Wesley, Reading 1994.


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