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Seite 1 Wirtschaftsmathematik in Kaiserslautern - eine Einführung Prof. Dr. Horst W. Hamacher Fachbereich Mathematik, Universität Kaiserslautern.

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1 Seite 1 Wirtschaftsmathematik in Kaiserslautern - eine Einführung Prof. Dr. Horst W. Hamacher Fachbereich Mathematik, Universität Kaiserslautern

2 Seite 2 Was ist Wirtschaft? Da, wo man seine Cola, sein Bier... trinkt, und... oder Bezeichnung für alle Aktivitäten und Einrichtungen, die der Produktion, Distribution und Konsumtion von Gütern und Dienstleistungen dienen. Das Ziel dieser Aktivitäten besteht nach der gängigen Volkswirtschaftslehre ganz allgemein darin, über knappe Mittel (Ressourcen HWH ) so zu verfügen, dass sich die menschlichen Bedürfnisse befriedigen lassen. "Wirtschaft", Microsoft® Encarta® 99 Enzyklopädie. ©

3 Seite 3 Was ist Mathematik? Das, was man in der Schule lernt. Untersuchung der Beziehungen zwischen Mengen, Größen und Eigenschaften sowie der logischen Operationen, aus denen unbekannte Mengen, Größen und Eigenschaften hergeleitet werden können. "Mathematik", Microsoft® Encarta® 99 Enzyklopädie. ©

4 Seite 4 Was ist Wirtschaftsmathematik? Einsatz von mathematischen Methoden zur Lösung von wirtschaftlichen Problemen Beispiele: ProblemRessourceMathematische Methoden –LagerhaltungPlatz, ZeitSimulation, Stochastikpsbpsb –NahverkehrZeit, UmweltGraphentheorie, FlußproblemeÖVÖV –Krebsbestrahlung GesundheitMultikriterielle OptimierungKrebsKrebs –NotfallplanungLebenStandorttheorieTirolTirol –TransportePlatz, GeldGanzzahlige OptimierungIPIP Wie studiert man Wirtschaftsmathematik in Kaiserslautern KL KL andere Mathe

5 Seite 5 Was ist Wirtschaftsmathematik? Einsatz von mathematischen Methoden zur Lösung von wirtschaftlichen Problemen Beispiele: ProblemRessourceMathematische Methoden –LagerhaltungPlatz, ZeitSimulation, Stochastikpsbpsb –NahverkehrZeit, UmweltGraphentheorie, FlußproblemeÖVÖV –Krebsbestrahlung GesundheitMultikriterielle OptimierungKrebsKrebs –NotfallplanungLebenStandorttheorieTirolTirol –TransportePlatz, GeldGanzzahlige OptimierungIPIP Wie studiert man Wirtschaftsmathematik in Kaiserslautern KL KL

6 Seite 6 Wie studiert man Wirtschaftsmathematik in KL? 60% 20% 20% zurück

7 Seite 7 Notfall- rettung durch Hubschrauber E1E1 E2E2 zurück

8 Seite 8 Mittelpunkt zwischen E 1 und E 2: zurück

9 Seite 9 Notfall- rettung durch Hubschrauber zurück

10 Seite 10 Mittelsenkrechte zwischen E 1 und E 2: zurück

11 Seite 11 E3E3 E2E2 E1E1 MS 13 MS 12 MS 23 Der beste Standort eines Hubschraubers für 3 Einsatzorte : zurück

12 Seite 12 E3E3 E2E2 E1E1 zurück

13 Seite 13 Standorttheorie Verbotene Gebiete Barrieren Multi- kriteriell Wege, Kreise Distanz- maße Industrie- anlagen Notfall- anlagen Roboter Buslinien Krebs- therapie GIS Standortanwendungen SAP IBMKommunen Verkehrsverbünde DKFZ Arcview Markant Krankenhäuser ptv Library of Location Algorithms zurück LOLA

14 Seite 14 Parallellager- und Materialflußplanung Parallellager mit Durchfluß von Transporteinheiten (TE) pro Stunde, Pirmasens, Germany zurück

15 Seite 15 Erwartete Anzahl aktiver Stockwerke Annahme: n = Anzahl der Stockwerke m = Anzahl von Lagerplätzen/Stockwerk n T = Anzahl der TEen (unabhängig, gleichförmig verteilt, n T >n) Rechentest: Man kann nur 70% bis 90% aktiver Stockwerke erwarten (in der Praxis) zurück

16 Seite 16 Optimierungsbeispiel: Hubrahmen -1- Von den n! vielen möglichen Permutationen können (m+1)!(m+1) n-m-1 realisiert werden Ziel: Gleichmäßige Verteilung auf Ebenen Gleichmäßige Auslastung der Kommissionierplätze zurück

17 Seite 17 TE i auf Ebene j s.t. Kosten der Plazierung von TE i auf Ebene j z.B. #TE derselben Farbe Optimierungsbeispiel: Hubrahmen -2- zurück

18 Seite 18 Die zulässigen Permuationen entsprechen zulässigen Matchings in einem bipartiten Graphen Optimierungsbeispiel: Hubrahmen -3- zurück

19 Seite 19 Systemoptimierung durch (dynamische) Netzwerkflußprobleme Hubrahmen Materialflußnetzwerk zurück

20 Seite 20 Zone k - Haltestelle i Zuordnung IP Model für Wabenproblem Minimiere Abweichung von alten Tarifen: s.t. neuer (k,l) Wabentarif alter (i,j) Entfernungstarif NP-schweres Problem einfach, falls Zonen gegeben sind Zonen können unzusammenhängend sein. zurück

21 Seite 21 Bestrahlungstherapie Applikation von hochenergetischer Strahlung zur –Tumorkontrolle –Tumorzerstörung zurück

22 Seite 22 Problemstellung zurück

23 Seite 23 InverseTherapieplanung Berechnung der physikalischen Setup-Parameter aus den Dosisvorgaben zurück

24 Seite 24 3-stufige Vorgehensweise Wahl der Einstrahlgeometrie Bestimmung der Intensitätsprofile Phase I: Phase II: multikriterielles Problem Standortproblem zurück Durchführung der Bestrahlung Phase III: Ganzzahliges Problem

25 Seite 25 Phase I: Einstrahlgeometrie Wahl von N Einstrahlrichtungen Wahl eines Isozentrums Isozentrisches Modell: zurück

26 Seite 26 Phase II: Intensitätsprofile Ansatz –Diskretisierung –Approximation der Dosisverteilung zurück

27 Seite 27 K- kriterielles Problem K Organe von Interesse ( Ziel, Risiken ) maximale Dosisabweichung t k = t k ( x ) für Intensität x 0 ( Organ k=1,..,K ) K-kriterielle lineare Optimierungsaufgabe t 1 Min, t 2 Min,.., t K Min ( es existiert i. A. keine Nullösung ) zurück

28 Seite 28 Ergebnisdatenbank Generierung einer Datenbank mit –Setup-Parametern –Visualiserungen Isodosen DVHs –t-Vektoren –Nachbarschaftsstruktur –intelligenter Online-Suchhilfe zurück Isodosen:

29 Seite 29 Durchführung: Multileaf Collimator Idee: Benutze dünne Metallblätter, hoch genug um die Bestrahlung abzublocken 0.5-1cm 5-7cm zurück

30 Seite 30 Linke BlätterRechte Blätter zurück

31 Seite 31 Patientenblick Quelle: Mitsubishi zurück

32 Seite 32 Multileaf Collimators: Mechanik zurück

33 Seite 33 Multileaf Collimator Ein Beispiel + Maximale Größe des Bestrahlungsfeldes Setup für 1. Zeiteinheit Setup für 2. Zeiteinheit eine Zeile der Intensitätsmatrix eine Zeile der ersten Reliefmatrix eine Zeile der zweiten Reliefmatrix zurück

34 Seite 34 Verschiedene Aufteilung in Reliefmatrizen Beam-on Zeit: 16 Setups : 4 Beam-on Zeit: 5 Setups: 2 zurück

35 Seite 35 Mathematische Modellierung: Ganzzahlige Optimierung Kanal i zur Zeit t: L ijt =2R ijt =6 Spaltennr. j y ijt = zurück

36 Seite 36 Ganzzahlige Variable beschreiben MLC: In jedem Kanal und zu jeder Zeit gibt es ein linkes und ein rechtes Blatt: zurück

37 Seite 37 Ganzzahlige Variable beschreiben MLC: Kollisionen zwischen benachbarten Blätterpaaren werden ausgeschlossen: zurück

38 Seite 38 Ganzzahlige Optimierung: Formulierung I zurück

39 Seite 39 Beispiel: Transport von Gefahrengütern Wieviel Einheiten eines Gutes 1 bzw. 2 kann man transportieren, wenn pro Einheit:Gut 1 Gut 2 Profit: 2 7 (Mill. Euro) Kapazität: 1 4 (Platzeinheiten) Gefahrenwert: 9 -4 ( -10 bis +10 Skala) (additiv) Dabei Gesamtkapazität: 14 Gefahrenhöchstwert: 36 zurück

40 Seite 40 Mathematisches Modell Ganzzahliges, Lineares Programm Maximiere 2x 1 + 7x 2 unter den Nebenbedingungen 1x 1 + 4x 2 < 4 9x 1 - 4x 2 < 36 Vorzeichenbedingungen x 1,x 2 > 0 Ganzzahligkeitsbedingungen x 1,x 2 ganzzahlig pro Einheit:Gut 1 Gut 2Gesamt Profit: 2 7 (Mill. ECUs) Kapazität: 1 4 (Platzeinheiten) 4 wissensch. Wert: -9 4 ( -10 bis +10 Skala)36 zurück

41 Seite 41 9x 1 - 4x 2 < 36 x 1 + 4x 2 < 14 Zielfunktion : 2x 1 + 7x 2 = x1x1 x2x2 Maximiere 2x 1 + 7x 2 unter den Nebenbedingungen 1x 1 + 4x 2 < 4 9x 1 - 4x 2 < 36 Vorzeichenbedingungen x 1,x 2 > 0 Ganzzahligkeitsbedingungen x 1,x 2 ganzzahlig Zielfunktionswert: 2x 1 + 7x 2 =8 Zielfunktionswert: 2x 1 + 7x 2 =25,75 Optimallösung ohne Ganzzahligkeit: x 1 * =5, x 2 * =2.25 zurück Lösung der Relaxation

42 Seite x 1 * =5, x 2 * =2.25 x1x1 x2x2 x 2 * > 3 x 2 * < 2 Partition des Problems in zwei Teilprobleme zurück 9x 1 - 4x 2 < 36 x 1 + 4x 2 < 14

43 Seite Zielfunktion: 2x 1 + 7x 2 x1x1 x2x2 Gomory Schnitt 117x x 2 < 788 zurück 9x 1 - 4x 2 < 36 x 1 + 4x 2 < 14

44 Seite Zielfunktion: 2x 1 + 7x 2 x1x1 x2x2 Ziel: Finde eine Beschreibung der konvexen Hülle der ganzzahligen Lösungen Zielfunktion: 2x 1 + 7x 2 =25 zurück 9x 1 - 4x 4 < 36 x 1 + 4x 4 < 14

45 Seite 45 THE END zurück


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