Präsentation herunterladen
Die Präsentation wird geladen. Bitte warten
Veröffentlicht von:Tielo Lazarus Geändert vor über 10 Jahren
1
Wirtschaftsmathematik in Kaiserslautern - eine Einführung
Prof. Dr. Horst W. Hamacher Fachbereich Mathematik, Universität Kaiserslautern Seite 1
2
Was ist Wirtschaft? Da, wo man seine Cola, sein Bier ... trinkt, und ... oder Bezeichnung für alle Aktivitäten und Einrichtungen, die der Produktion, Distribution und Konsumtion von Gütern und Dienstleistungen dienen. Das Ziel dieser Aktivitäten besteht nach der gängigen Volkswirtschaftslehre ganz allgemein darin, über knappe Mittel (RessourcenHWH) so zu verfügen, dass sich die menschlichen Bedürfnisse befriedigen lassen. "Wirtschaft", Microsoft® Encarta® 99 Enzyklopädie. © Seite 2
3
Was ist Mathematik? Das, was man in der Schule lernt.
Untersuchung der Beziehungen zwischen Mengen, Größen und Eigenschaften sowie der logischen Operationen, aus denen unbekannte Mengen, Größen und Eigenschaften hergeleitet werden können. "Mathematik", Microsoft® Encarta® 99 Enzyklopädie. © Seite 3
4
Was ist Wirtschaftsmathematik?
Einsatz von mathematischen Methoden zur Lösung von wirtschaftlichen Problemen Beispiele: Problem Ressource Mathematische Methoden Lagerhaltung Platz, Zeit Simulation, Stochastik psb Nahverkehr Zeit, Umwelt Graphentheorie, Flußprobleme ÖV Krebsbestrahlung Gesundheit Multikriterielle Optimierung Krebs Notfallplanung Leben Standorttheorie Tirol Transporte Platz, Geld Ganzzahlige Optimierung IP Wie studiert man Wirtschaftsmathematik in Kaiserslautern KL Seite 4 andere Mathe
5
Was ist Wirtschaftsmathematik?
Einsatz von mathematischen Methoden zur Lösung von wirtschaftlichen Problemen Beispiele: Problem Ressource Mathematische Methoden Lagerhaltung Platz, Zeit Simulation, Stochastik psb Nahverkehr Zeit, Umwelt Graphentheorie, Flußprobleme ÖV Krebsbestrahlung Gesundheit Multikriterielle Optimierung Krebs Notfallplanung Leben Standorttheorie Tirol Transporte Platz, Geld Ganzzahlige Optimierung IP Wie studiert man Wirtschaftsmathematik in Kaiserslautern KL Seite 5
6
Wie studiert man Wirtschaftsmathematik in KL?
60% % % Seite 6 zurück
7
Notfall- rettung durch Hubschrauber E2 E1 Seite 7 zurück
8
Mittelpunkt zwischen E1 und E2:
Seite 8 zurück
9
Notfall- rettung durch Hubschrauber Seite 9 zurück
10
Mittelsenkrechte zwischen E1 und E2:
Seite 10 zurück
11
Der beste Standort eines Hubschraubers für 3 Einsatzorte :
MS23 E2 MS12 E3 E1 MS13 Seite 11 zurück
12
E2 E3 E1 Seite 12 zurück
13
Library of Location Algorithms
Standorttheorie Verbotene Gebiete Barrieren Multi- kriteriell Wege, Kreise Distanz- maße Library of Location Algorithms LOLA Industrie- anlagen Notfall- Roboter Buslinien Krebs- therapie GIS SAP IBM Kommunen Verkehrsverbünde DKFZ Arcview Markant Krankenhäuser ptv Standortanwendungen Seite 13 zurück
14
Parallellager- und Materialflußplanung
Parallellager mit Durchfluß von Transporteinheiten (TE) pro Stunde , Pirmasens, Germany Seite 14 zurück
15
Erwartete Anzahl aktiver Stockwerke
Annahme: n = Anzahl der Stockwerke m = Anzahl von Lagerplätzen/Stockwerk nT= Anzahl der TEen (unabhängig, gleichförmig verteilt, nT>n) Rechentest: Man kann nur 70% bis 90% aktiver Stockwerke erwarten (in der Praxis) Seite 15 zurück
16
Optimierungsbeispiel: Hubrahmen -1-
Ziel: Gleichmäßige Verteilung auf Ebenen Gleichmäßige Auslastung der Kommissionierplätze Von den n! vielen möglichen Permutationen können (m+1)!(m+1)n-m-1 realisiert werden Seite 16 zurück
17
Optimierungsbeispiel: Hubrahmen -2-
Kosten der Plazierung von TE i auf Ebene j z.B. #TE derselben Farbe TE i auf Ebene j s.t. Seite 17 zurück
18
Optimierungsbeispiel: Hubrahmen -3-
Die zulässigen Permuationen entsprechen zulässigen Matchings in einem bipartiten Graphen Seite 18 zurück
19
Systemoptimierung durch (dynamische) Netzwerkflußprobleme
Hubrahmen Materialflußnetzwerk Seite 19 zurück
20
IP Model für Wabenproblem
Minimiere Abweichung von alten Tarifen: neuer (k,l) Wabentarif alter (i,j) Entfernungstarif s.t. NP-schweres Problem einfach, falls Zonen gegeben sind Zonen können unzusammenhängend sein. Zone k - Haltestelle i Zuordnung Seite 20 zurück
21
Bestrahlungstherapie
Applikation von hochenergetischer Strahlung zur Tumorkontrolle Tumorzerstörung Seite 21 zurück
22
Problemstellung Seite 22 zurück
23
InverseTherapieplanung
Berechnung der physikalischen Setup-Parameter aus den Dosisvorgaben Seite 23 zurück
24
3-stufige Vorgehensweise
Phase I: Wahl der Einstrahlgeometrie Standortproblem Phase II: Bestimmung der Intensitätsprofile multikriterielles Problem Phase III: Durchführung der Bestrahlung Ganzzahliges Problem Seite 24 zurück
25
Phase I: Einstrahlgeometrie
Isozentrisches Modell: Wahl von N Einstrahlrichtungen Wahl eines Isozentrums Seite 25 zurück
26
Phase II: Intensitätsprofile
Ansatz Diskretisierung Approximation der Dosisverteilung Seite 26 zurück
27
K-kriterielles Problem
K Organe von Interesse ( Ziel, Risiken ) „maximale Dosisabweichung“ tk = tk( x ) für Intensität x 0 ( Organ k=1,..,K ) „K-kriterielle lineare Optimierungsaufgabe“ t Min, t Min, .. , tK Min ( es existiert i. A. keine „Nullösung“ ) Seite 27 zurück
28
Ergebnisdatenbank Generierung einer Datenbank mit Setup-Parametern
Visualiserungen Isodosen DVHs t-Vektoren Nachbarschaftsstruktur intelligenter Online-Suchhilfe Isodosen: Seite 28 zurück
29
Durchführung: Multileaf Collimator
Idee: Benutze dünne Metall“blätter“, hoch genug um die Bestrahlung abzublocken 5-7cm 0.5-1cm Seite 29 zurück
30
Linke Blätter Rechte Blätter Seite 30 zurück
31
Patientenblick Seite 31 Quelle: Mitsubishi zurück
32
Multileaf Collimators: Mechanik
Seite 32 zurück
33
Multileaf Collimator Ein Beispiel
Maximale Größe des Bestrahlungsfeldes Setup für 1. Zeiteinheit 1 eine Zeile der ersten Reliefmatrix + Setup für 2. Zeiteinheit 1 eine Zeile der zweiten Reliefmatrix 1 2 eine Zeile der Intensitätsmatrix Seite 33 zurück
34
Verschiedene Aufteilung in Reliefmatrizen
Beam-on Zeit: 16 Setups : 4 Beam-on Zeit: 5 Setups: 2 Seite 34 zurück
35
Mathematische Modellierung: Ganzzahlige Optimierung
Lijt=2 Rijt=6 Kanal i zur Zeit t: ... ... 1 2 5 6 7 Spaltennr. j yijt = Seite 35 zurück
36
Ganzzahlige Variable beschreiben MLC:
In jedem Kanal und zu jeder Zeit gibt es ein linkes und ein rechtes Blatt: Seite 36 zurück
37
Ganzzahlige Variable beschreiben MLC:
Kollisionen zwischen benachbarten Blätterpaaren werden ausgeschlossen: Seite 37 zurück
38
Ganzzahlige Optimierung: Formulierung I
Seite 38 zurück
39
Beispiel: Transport von Gefahrengütern
Wieviel Einheiten eines Gutes 1 bzw. 2 kann man transportieren, wenn pro Einheit: Gut 1 Gut 2 Profit: (Mill. Euro) Kapazität: (Platzeinheiten) Gefahrenwert: ( -10 bis +10 Skala) (additiv) Dabei Gesamtkapazität: 14 Gefahrenhöchstwert: 36 Seite 39 zurück
40
Mathematisches Modell Ganzzahliges, Lineares Programm
pro Einheit: Gut 1 Gut 2 Gesamt Profit: (Mill. ECUs) Kapazität: (Platzeinheiten) 4 wissensch. Wert: ( -10 bis +10 Skala) 36 Maximiere x1 + 7x2 unter den Nebenbedingungen x1 + 4x2 < 4 9x1 - 4x2 < 36 Vorzeichenbedingungen x1,x2 > 0 Ganzzahligkeitsbedingungen x1,x2 ganzzahlig Seite 40 zurück
41
Lösung der Relaxation Zielfunktion: Optimallösung ohne Ganzzahligkeit:
Maximiere x1 + 7x2 unter den Nebenbedingungen 1x1 + 4x2 < 4 9x1 - 4x2 < 36 Vorzeichenbedingungen x1,x2 > 0 Ganzzahligkeitsbedingungen x1,x2 ganzzahlig Lösung der Relaxation 2 1 4 3 x1 x2 9x1- 4x2 < 36 x1+ 4x2 < 14 Optimallösung ohne Ganzzahligkeit: x1*=5, x2*=2.25 Zielfunktionswert: 2x1 + 7x2 =25,75 Zielfunktionswert: 2x1 + 7x2 =8 Zielfunktion: 2x1 + 7x2 = 0 Seite 41 zurück
42
Partition des Problems in zwei Teilprobleme
x2 9x1- 4x2 < 36 x1+ 4x2 < 14 x2* > 3 3 x1*=5, x2*=2.25 2 x2* < 2 1 x1 1 1 2 3 4 Seite 42 zurück
43
Gomory Schnitt 117x1 + 108x2 < 788 zurück x2 9x1- 4x2 < 36
Zielfunktion: 2x1 + 7x2 Seite 43 zurück
44
Ziel: Finde eine Beschreibung der
konvexen Hülle der ganzzahligen Lösungen x2 9x1- 4x4 < 36 x1+ 4x4 < 14 3 2 Zielfunktion: 2x1 + 7x2 =25 1 x1 1 1 2 3 4 Zielfunktion: 2x1 + 7x2 Seite 44 zurück
45
THE END Seite 45 zurück
Ähnliche Präsentationen
© 2024 SlidePlayer.org Inc.
All rights reserved.