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1234568910131415161718192011 Geoinformation III Nachteil des R-Baums Diskrete Mathematik (R/R + -Baum) R R R R R R R R R.

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1 1234568910131415161718192011 Geoinformation III Nachteil des R-Baums Diskrete Mathematik (R/R + -Baum) R R R R R R R R R

2 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums Übersicht über das Semester Die Vorlesung besteht aus 3 Blöcken räumliche Datenbanken –Zugriffsstrukturen zur Unterstützung der Suche R/R+ - Baum Quadtree Softwaretechnologie (Dr. Gröger) –(fortgeschrittene) Klassendiagramme –Dynamische UML-Diagramme –Software-Demo: CASE-Tool Together –Korrektheit von Programme – Testen –Normen und Standards in GIS

3 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums Übersicht über das Semester Die Vorlesung besteht aus 3 Blöcken Internet: Protokolle, Dienste und Formate (Dr. Kolbe) –Offene Systeme, Rechnernetze und Internet –eXtensible Markup Language (XML) –XML Dokumenttyp-Definition, UML -> XML, Namespaces –XML-Schema –Geography Markup Language (GML 2) Form: Vorlesung mit Übungsanteilen

4 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums Einordnung MBR – minimum bounding rectangle Idee des R-Baums Neues laufendes Beispiel R-Baum als B-Baum Exkurs: B-Baum Eigenschaften Einfügen in einen B-Baum Löschen in einem B-Baum Der R-Baum als solcher Einfügen in einen R-Baum Strategien zum Spalten eines Knotens 1 Übersicht Suchen in einem R-Baum Nachteil des R-Baums Alternative: Der R + -Baum R + -Baum Suche im R + -Baum

5 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums R-Baum Einordnung Bisher: –Zerlegung des Objekts (->Trapezkarte) –Konstruktion einer Zugriffstruktur für das Objekt (->Trapezkarte) Alternatives Vorgehen: -Approximation der Maschen durch umschließende achsenparallele Rechtecke: Minimal Bounding Rectangle (MBR) –Verwaltung der Rechtecke R-Baum R + -Baum 2

6 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums R-Baum MBR – minimum bounding rectangle A 4x y Außen x 3

7 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums R-Baum Idee In welcher Masche M liegt der Punkt P? Neue Frage: In welcher Bounding Box einer Masche M liegt der Punkt P? Verwende effizientes Verfahren, um alle Rechtecke R 1,... R n zu finden, die P enthalten –Jedem Rechteck R i entspricht eine Masche M i Prüfe, ob P in einer der Maschen M 1,... M n vorkommt Verwende dazu das Standardverfahren Problem: Zugriffsstruktur für Rechtecke Rechtecke sind einfacher zu handhaben als Maschen im allgemeinen Nur die Rechtecke interessieren uns hier, nicht die zugrundeliegenden Maschen 4 A 1x

8 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums R-Baum Beispiel 01 02 03 07 04 09 06 05 10 08 R11 R13 R12 R14 R15 R16 1516 1112 0102030406090507 1314 0810 4 4

9 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums R-Baum R-Baum als B-Baum Ein R-Baum ist ein B-Baum mit zusätzlichen Eigenschaften Was ist denn ein B-Baum? –Ein B-Baum ist (wie der AVL-Baum) ausgeglichen –Aber: Jeder Knoten enthält mehr als einen Schlüssel B-Bäume werden oft in kommerziellen Datenbanken für den schnellen Zugriff auf Festplattenspeicher genutzt. Die inneren Knoten entsprechen dann den kleinsten ansprechbaren Einheiten (Kacheln von 1 Kbyte oder mehr) der Festplatte. 5

10 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums B-Baum Exkurs B B B B B B B B B

11 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums B-Baum Beispiel der Ordnung 2 52627890 49 5559636671758082869195505138411631131415202930 6

12 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums B-Baum Allgemeines Der B-Baum wurde nach seinem Entwickler R. Bayer benannt. Die Suche eines Elementes in einem B-Baum unterscheidet sich nur wenig von der Suche in anderen Such-Bäumen. Das Einfügen und Entfernen von Elementen ist jedoch an vielen Stellen anders als in Binär-Such-Bäumen. 7

13 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums B-Baum Eigenschaften I Eigenschaften eines B-Baumes der Ordnung n: –Ein B-Baum ist nicht binär –Ein B-Baum ist ausgeglichen –Alle Blätter haben das gleiche Niveau –Jeder Knoten enthält höchstens 2n Elemente –Jeder Knoten außer der Wurzel enthält mindestens n Elemente –Jeder innere Knoten hat m+1 Nachfolgeknoten, wobei m die Anzahl der Schlüssel des inneren Knotens ist 8

14 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums B-Baum Eigenschaften II Eigenschaften eines B-Baumes der Ordnung n: –Die m Elemente eines Knotens werden in aufsteigender Reihenfolge gespeichert: x 1 < x 2 <... < x m –Für jeden i-ten Teilbaum S i eines Knotens gilt: Die Elemente seiner Knoten sind größer als x i und kleiner als x i+1 (ganz links und ganz rechts analog) –Bei einigen Varianten des B-Baums stehen alle Informationen in den Blättern 8

15 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums 49 B-Baum Einfügen 52625262789055596366717580828691955051 A 31x 9

16 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums B-Baum Einfügen A 31x 49 Einfügen eines Elements mit dem Wert 61 61 61 > 49 rechter Ast 5262789055596366717580828691955051 9

17 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums B-Baum Einfügen A 31x 49 Einfügen eines Elements mit dem Wert 61 61 52 < 61 < 62 2. Ast von links 61 > 49 rechter Ast 5262789055596366717580828691955051 9

18 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums B-Baum Einfügen A 31x 59 < 61 Einfügen 49 Einfügen eines Elements mit dem Wert 61 61 52 < 61 < 62 2. Ast von links 61 > 49 rechter Ast 5262789055596366717580828691955051 9

19 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums B-Baum Einfügen A 31x 49 Einfügen eines Elements mit dem Wert 61 59 < 61 Einfügen 52 < 61 < 62 2. Ast von links 61 > 49 rechter Ast 5262789061 5559 6366717580828691955051 9

20 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums B-Baum Einfügen A 31x 49 Einfügen eines Elements mit dem Wert 61 59 < 61 Einfügen 52 < 61 < 62 2. Ast von links 61 > 49 rechter Ast 5262789061 5559 6366717580828691955051 9

21 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums B-Baum Einfügen A 31x 49 Einfügen eines Elements mit dem Wert 64 64 64 > 49 rechter Ast 5262789061 5559 6366717580828691955051 9

22 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums B-Baum Einfügen A 31x 49 Einfügen eines Elements mit dem Wert 64 64 62 < 64 < 78 3. Ast von links 64 > 49 rechter Ast 5262789061 5559 6366717580828691955051 9

23 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums B-Baum Einfügen A 31x 49 64 63 < 64 < 66 Einfügen 62 < 64 < 78 3. Ast von links 64 > 49 rechter Ast Einfügen eines Elements mit dem Wert 64 5262789061 5559 6366717580828691955051 9

24 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums B-Baum Einfügen A 31x 49 Einfügen eines Elements mit dem Wert 64 63 < 64 < 66 Einfügen 62 < 64 < 78 3. Ast von links 64 > 49 rechter Ast 5262789064636671758082869195505161 5559 9

25 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums B-Baum Einfügen A 31x 49 Einfügen eines Elements mit dem Wert 64 63 < 64 < 66 Einfügen 62 < 64 < 78 3. Ast von links 64 > 49 rechter Ast 5262789064636671758082869195505161 5559 9

26 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums B-Baum Einfügen A 31x 49 Einfügen eines Elements mit dem Wert 64 5262789064636671758082869195505161 5559 Problem: Speicherüberlauf Lösung: Knoten sprengen 9

27 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums B-Baum Einfügen A 31x 49 Einfügen eines Elements mit dem Wert 64 Setze das mittlere Element um eine Position nach oben Bilde zwei neue Zweige 52627890 6463667175 8082869195505161 5559 9

28 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums B-Baum Einfügen A 31x 52627890 49 66 Einfügen eines Elements mit dem Wert 64 64637175 8082869195505161 5559 9

29 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums B-Baum Einfügen A 31x 52627890 49 66 Einfügen eines Elements mit dem Wert 64 64637175 8082869195505161 5559 9

30 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums B-Baum Einfügen A 31x 52627890 49 66 Einfügen eines Elements mit dem Wert 64 Lösung: Knoten sprengen Problem: Speicherüberlauf 64637175 8082869195505161 5559 9

31 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums B-Baum Einfügen A 31x 52627890 49 66 Einfügen eines Elements mit dem Wert 64 Setze das mittlere Element um eine Position nach oben Bilde zwei neue Zweige 64637175 8082869195505161 5559 9

32 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums B-Baum Einfügen A 31x 52627890 4966 Einfügen eines Elements mit dem Wert 64 64637175 8082869195505161 5559 9

33 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums Suche des Knotens, der das zu löschende Element enthält Falls Knoten gefunden, unterscheiden wir folgende Fälle: 1.Löschen in einem Blatt: Entfernen des Elements a) die Anzahl der Elemente des Blattes ist weiterhin >= n b) die Anzahl der Elemente des Blattes ist < n Unterlauf bereinigen 2.Löschen in einem inneren Knoten: Eintrag durch das nächstgrößere oder nächstkleinere Element im Baum ersetzen (rechtester Eintrag im linken Unterbaum oder linkester im rechten (vgl. AVL-Bäume). a) die Anzahl der Elemente des Blattes ist weiterhin >= n b) die Anzahl der Elemente des Blattes ist < n Unterlauf bereinigen B-Baum Löschen 10

34 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums B-Baum Löschen in einem Blatt A 17x 52627890 144966 7175 Löschen des Elements mit dem Wert 75 Element suchen Element gefunden: Löschen 6463545559495051808286919597 10

35 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums B-Baum Löschen in einem Blatt A 17x 52627890 144966 71 Löschen des Elements mit dem Wert 75 Speicherunterlauf Über Vater- und Nachbar- knoten (nächstgrößeres Element) ausgleichen 6463 545559495051808286919597 10

36 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums B-Baum Löschen in einem Blatt A 17x 52627890 144966 71 Löschen des Elements mit dem Wert 75 6463 545559495051808286919597 10

37 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums B-Baum Löschen in einem Blatt A 17x 52628090 144966 7178 Löschen des Elements mit dem Wert 75 6463 545559495051 8286 919597 10

38 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums B-Baum Löschen in einem inneren Knoten A 17x 52628090 144966 7178 Löschen des Elements mit dem Wert 90 6463 545559495051 8286 919597 10 Element suchen Element gefunden: Löschen

39 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums B-Baum Löschen in einem inneren Knoten A 17x 526280 144966 7178 Löschen des Elements mit dem Wert 90 6463 545559495051 8286 919597 10 Speicherunterlauf Ersetzen durch nächst- größeres Element

40 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums B-Baum Löschen in einem inneren Knoten A 17x 52628091 144966 7178 Löschen des Elements mit dem Wert 90 6463 545559495051 82869597 10

41 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums Zurück zum R-Baum R R R R R R R R R

42 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums R-Baum...als solcher Ein Blattknoten ist ein Paar (R,O), R ist das kleinste umschließende Rechteck, welches das Objekt O umschließt Jeder innere Knoten hat m Paare (R,T), R ist das kleinste umschließende Rechteck des Teilbaums T Ordnung beim R-Baum: (m, M) - Jeder Knoten außer der Wurzel enthält zwischen m M/2 und M Einträgen Die Wurzel hat mindestens zwei Einträge sofern sie kein Blattknoten ist Beachte: Rechtecke können sich überlappen Struktur des R-Baums hängt von Reihenfolge des Einfügens ab Jedes Paar (R,O) kommt genau einmal vor R kann mehrere umschließenden Rechtecke schneiden 11

43 12345789 1213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums R-Baum...als solcher 11 01 02 03 07 04 09 06 05 10 08 R11 R13 R12 R14 R15 R16 1516 1112 0102030406090507 1314 0810

44 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums R-Baum Einfügen Ausgangspunkt: Einfügen eines neuen Knotens in einen R-Baum Problem hier: an welche Stelle wird (R,O) eingefügt? –Durchlaufe den R-Baum mit der Wurzel als Ausgangspunkt –Wähle an jedem inneren Knoten den Teilbaum, der durch Einfügen von R minimal vergrößert würde –Füge (R,O) schließlich als Blatt ein –Beim Überlauf verfahre wie beim B-Baum Besonderheit gegenüber B-Baum: –Es gibt keine lineare Ordnung zwischen den Einträgen der Knoten –Verschiedene Strategien zum Spalten eines Knotens 12 Animiertes Beispiel der Ordnung (2,3)

45 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums R-Baum Strategien zum Spalten eines Knotens Minimierung des Durchschnitts Minimierung der Gesamtfläche 13

46 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums R-Baum Punktsuche Welche (R,O) enthalten den Punkt P? Beginne an der Wurzel innere Knoten: Durchsuche jeden Sohnknoten der Paare (R,T), die P enthalten Blattknoten: Suche alle (R,O), die P enthalten Fertig! Achtung: Ggf. muss in mehreren Teilbäumen gesucht werden! 14 Animiertes Beispiel

47 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums R-Baum Bereichssuche Welche (R,O) schneiden das Rechteck Q? Beginne an der Wurzel innere Knoten: Durchsuche jeden Sohnknoten der Paare (R,T), die Q schneiden Blattknoten: Suche alle (R,O), die Q schneiden Fertig! 15 Animiertes Beispiel

48 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums Um das richtige Blatt zu finden, sind meist mehrere Durchläufe erforderlich Dies gilt insbesondere dann, wenn die Suche erfolglos ist Abhilfe: R + -Baum 16

49 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums Alternative: Der R + -Baum Alle inneren Rechtecke sind disjunkt Ein Objekt / umschließendes Rechteck kann in mehreren Blättern vorkommen Jedes Blatt repräsentiert den Teil von (R,O), der von dem Vaterknoten umschlossen wird 17

50 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums R + -Baum Aufbau EH A B D G JF C I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 231 45 AEDEH 67 BDIBCD 89 EGFJ A 34x 18

51 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums R + -Baum Aufbau A 34x 1 2 EH A B D G JF C I 1 2 18

52 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums R + -Baum Aufbau A 34x 1 2 EH A B D G JF C I 1 2 3 3 4 AE 4 3 3 18

53 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums R + -Baum Aufbau A 34x 1 2 EH A B D G JF C I 1 2 3 3 4 AE 4 5 DEH 5 18

54 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums R + -Baum Aufbau A 34x 1 2 EH A B D G JF C I 1 2 3 3 4 AE 4 5 DEH 5 6 6 BDI 18

55 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums R + -Baum Aufbau A 34x 1 2 EH A B D G JF C I 1 2 3 3 4 AE 4 5 DEH 5 6 6 BDI 7 7 BCD 18

56 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums R + -Baum Aufbau A 34x 1 2 EH A B D G JF C I 1 2 3 3 4 AE 4 5 DEH 5 6 6 BDI 7 7 BCD 8 8 EG 18

57 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums R + -Baum Aufbau A 34x 1 2 EH A B D G JF C I 1 2 3 3 4 AE 4 5 DEH 5 6 6 BDI 7 7 BCD 8 8 EG 9 9 FJ 18

58 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums R + -Baum Aufbau A 34x 1 2 EH A B D G JF C I 1 2 3 3 4 AE 4 5 DEH 5 6 6 BDI 7 7 BCD 8 8 EG 9 9 FJ 18

59 12345789111213141516171810 Geoinformation III 6 Nachteil des R-Baums R + -Baum Suche A 6x EH A B D G JF C I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 231 45 AEDEH 67 BDIBCD 89 EGFJ 18


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