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Zur Entwicklung mathematischen Denkens zwischen Wellenreiten und Traditionen Bernd Zimmermann, Friedrich-Schiller-Universität Jena Karlsruhe 22.05.2003.

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Präsentation zum Thema: "Zur Entwicklung mathematischen Denkens zwischen Wellenreiten und Traditionen Bernd Zimmermann, Friedrich-Schiller-Universität Jena Karlsruhe 22.05.2003."—  Präsentation transkript:

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2 Zur Entwicklung mathematischen Denkens zwischen Wellenreiten und Traditionen Bernd Zimmermann, Friedrich-Schiller-Universität Jena Karlsruhe

3 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Mengenleh(e?)re? Back to basics? Anwendungsorientierung (vgl. PISA)? Computerorientierung? Entwicklung und Förderung mathematischen Denkens?!

4 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Anlässe zum Nachdenken über mathematisches Denken

5 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Anlass 1: Bruchrechnung Der deutsche Osthandel erlebte in diesem Jahr einen kräftigen Schub. Nach Schätzung des Ost- und Mitteleuropa Vereins (OMV) wird der Osthandel erstmals ein Zehntel des gesamten deutschen Außenhandels ausmachen, nachdem er jahrelang nicht über ein Fünftel hinauskam. (aus der Süddeutschen Zeitung)

6 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Anlass 2: Empirische Untersuchung vor und nach Unterricht im Bruchrechnen (Hasemann) 1.Schraffiere in folgender Figur zunächst die Hälfte und sodann zusätzlich ein drittel von ihr. Welchen Anteil hast du insgesamt schraffiert? Sieben Äpfel sind unter vier Kindern aufzuteilen. Wieviel bekommt jedes?

7 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Anlass 2: Empirische Untersuchung vor und nach Unterricht im Bruchrechnen Ergebnisse Vorher zu 1 (geometrisch): überwiegend richtig Zu 2 (symbolisch): überwiegend falsch Zu 3 (handlungsorientiert): überwiegend richtig Nachher zu 1 (geometrisch): überwiegend falsch Zu 2 (symbolisch): überwiegend richtig Zu 3 (handlungsorientiert): überwiegend falsch Moral: Zu viel Syntax, zu wenig Semantik!

8 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Anlass 3: Mentale Trampelpfade Heinrich der Achte hatte sechs Frauen. Wie viele Frauen hatte Heinrich der Vierte?? (nach Jan de Lange)

9 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller- Universität Jena

10 Neu(est)er Anlass (4):

11 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Eine PISA-Aufgabe Eine Robbe muss atmen, auch wenn sie schläft. Martin hat eine Robbe eine Stunde lang beobachtet. Zu Beginn seiner Beobachtung befand sich die Robbe an der Wasseroberfläche und holte Atem. Anschließend tauchte sie zum Meeresboden und begann zu schlafen. Innerhalb von 8 Minuten trieb sie langsam zurück an die Oberfläche und holte Atem. Drei Minuten später war sie wieder auf dem Meeresboden, und der ganze Prozess fing von vorne an. Nach einer Stunde war die Robbe: a) auf dem Meeresboden b) auf dem Weg nach oben c) beim Atemholen d) auf dem Weg nach unten?

12 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Einige Fragen Wie viel Zeit benötigt die Robbe zum atmen? Wie lange liegt die Robbe am Boden? Wieso konnte der Junge (nachts?) bis zum Grund des Meeres sehen? Wie könnte man die Aufgaben geeignet variieren?

13 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Einige Erfahrungen aus SF (Annahme: die meisten PISA-Aufgaben sinnvoll!) SF ist Aufsteigernation (700 Jahre Kolonie, industrielle Revolution erst nach 1945) Schulsystem und Bildung aus Deutschland lange Vorbild! In SF haben Bildung, Lehren und Lernen einen extrem hohen Stellenwert! Lehrerberuf in SF mit am höchsten angesehen (bei durchschnittlich ca. 1/3 geringerem Einkommen als in D !)Lehrerberuf in SF mit am höchsten angesehen (bei durchschnittlich ca. 1/3 geringerem Einkommen als in D !) Gesamtschule Klasse 1-9 für alle, danach über 50% aufs Gymnasium; Studierquote 70% (30% in D) Zentralabitur und rigorose Auswahlverfahren an allen Unis und für alle Fächer (nur 10-30% der Erstbewerber zugelassen für Lehramt!)

14 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Oft in D: Der Lehrer… Faule Säcke!!

15 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Der Lehrer…

16 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Der Lehrer…

17 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Anlass 5: Weitere Erfahrung aus Finnland In einer TIMSS- Nachfolgeuntersuchung schnitten finnische Achtklässler gegenüber denen aus anderen Ländern am besten bei Aufgaben aus der Wahr- scheinlichkeitsrechnung ab. Die finnischen Schüler hatten dieses Gebiet als einzige noch nicht im Unterricht behandelt! Dr. Pekka Kupari (Mathe-PISA-Zentrale SF)

18 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller- Universität Jena

19 Problemorientierung!? Welche Möglichkeiten gibt es zur Initiierung (Nichtverhinderung) von Denkprozessen?

20 Was ist Problemorientierung?

21 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Was ist ein Problem? Eher eine Aufgabe: "In a discus-throwing competition, the winning throw was m. The second-place throw was m. How much longer was the winning throw than the second-place throw? A m B m C mD m." (Aus TIMSS 1994; "Performance Expectation: Solving Problems"!). Eher ein Problem: Wie viele rechte Winkel kann ein Vieleck haben? (Szambien 1992, 1996; vgl. MN 8, S. 163 A2 ).

22 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena gute Probleme – einige Kriterien Nicht sofort Lösung parat (hängt von der jeweiligen Person ab) Erfordert selbständiges Denken Lässt mehrere Lösungswege zu Beinhaltet Differenzierungsmöglichkeiten nach Denkstil und Leistung Ist ausbaufähig (variier- und verallgemeinerbar)

23 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Wie lässt sich das unterrichten? Klassische Methode: Mögliche Effekte: s. Anlässe

24 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Mögliches Ergebnis von Eintrichterbemühungen

25 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Mögliche methodische Alternativen dichter bei 1 als Bsp. 1: Ordnen von Brüchen Hauptnenner methode

26 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Bsp. 2: Division von Brüchen: Zähler durch Zähler, Nenner durch Nenner

27 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Für die Gäste einer Geburtstagspartie sollen 10 Stück Kuchen eingekauft werden. Dafür stehen 21 Euro zur Verfügung. Man kann zwei verschiedene Kuchensorten kaufen; ein Stück Bienenstich kostet 2 Euro, ein Stück Torte 2,3 Euro. Es sollen möglichst viele Stücke Torte eingekauft werden. Wie viele sind das? Bsp. 3: Kuchenproblem (TIMSS Japan)

28 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Aki (8te Klasse): Torte BienenstichSumme Stück Kosten , , , ,20 3 6, ,90

29 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Dieter (8te Klasse): x 2,30 + (10 – x) 2 21 x 0,30 1 x = 3

30 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Clara (4. Klasse): Zunächst 10 Bienenstich kaufen. Dann habe ich noch einen Euro über. Tausche Torte gegen Bienenstich, kostet 30 Cent mehr. Die passen in den einen Euro 3 mal rein, 4 mal liegt schon drüber. Also: von den 10 Bienenstich 3 Stück gegen 3 Tortenstücke eintauschen und fertig! Vgl. MN9, S. 246

31 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Bsp. 4: Wanderungen im Zahlenhaus Vgl. MN5, S. 93, Ü. 18

32 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Mögliche Fragen Wie viele verschiedene Wege findet ihr? Durch wie viele verschiedene Räume kommt ihr dabei? Auf jedem Weg sollen die Zahlen addiert werden. Welches ist die größte, welches die kleinste Zahl? Kommen dazwischen alle Zahlen als Wegsummen vor? Gibt es verschiedene Wege mit gleicher Summe? Welche Variationen der Aufgabe findet ihr?

33 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Bsp. 5: Sortierspiel ?

34 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Sortierspiel MN 7, S. 250, Projekt

35 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Bsp. 6: LGS I) x+2y=1 2x+2y=1 II) x+2y+3z=1 2x+2y+3z=1 3x+3y+3z=1 III)x+2y+3z+4u=1 2x+2y+3z+4u=1 3x+3y+3z+4u=1 4x+4y+4z+4u=1 IV) x+2y+3z+4u+5v=1 2x+2y+3z+4u+5v=1 3x+3y+3z+4u+5v=1 4x+4y+4z+4u+5v=1 5x+5y+5z+5u+5v=1 Was ist die Lösung eines entsprechend gebauten LGS mit n Variablen und n Gleichungen? Du kannst dir bei der Suche nach einer Vermutung ggf. von einem Computeralgebrasystem (CAS) helfen lassen. Begründe deine Vermutung. Setze oben in der letzten Spalte (rechts vom Gleichheitszeichen) die Zahlen 1; 2; 3;...n (bzw. n; (n-1); (n-2);...3; 2; 1; n Mal n bzw. n Mal a) ein. Welche Lösung erhältst du in diesen Fällen? Begründung? Erfinde selber gemusterte Gleichungssysteme (du kannst dich z. B. durch figurierte Zahlen anregen lassen!) mit einfachen Lösungen! MN9, S. 48, Ü16

36 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Bsp. 7: Ulam Spirale

37 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Bsp. 8: Pythagoras und al Sijzi Vgl. MN 9, S. 129 A2

38 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Bsp. 8: Pythagoras und al Sijzi Wer war al-Sijzi? Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, lebte im 10. Jahrhundert aus Sijistan im heutigen Südostiran bzw. südwestlichen Afghanistan Übersetzung des Aufgabentextes: PD Dr. Sonja Brentjes Vgl. MN 9, S. 129 A2

39 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Warum Problemorientierung? Lernpsychologie, Ergebnisse moderner Hirnforschung (Konstruktivismus und Konnektionismus) Gesellschaftliche Erfordernisse (z. Z. reichlich Probleme!) Geschichte der Mathematik –Fortschritt in der Mathematik primär durch Lösen von herausfordernden Problemen –als Quelle für eine (nicht nur) kognitionspsychologische Langzeitstudie Können vor Wissen Spitzer, M.: Lernen; Spektrum 2002

40 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Anwenden Berechnen Konstruieren Ordnen Begründen Finden Spielen Bewerten Mögliche Invarianten: wesentliche mathematische (Denk-) Tätigkeiten Beweise Heuristik Axiomatik Riten, Religion Ästhetik Kalküle, Algorithmen Architektur Geometrie Würfelspiel; U.-Mathem.

41 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Wichtige heuristische Methoden Inhaltliches Lösen Darstellungswechsel Rückwärtsarbeiten (analytische Methode) Analogisieren atomistische Methoden Variieren und Verallgemeinern Abstrahieren

42 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Entwicklung einer Schulbuchreihe

43 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Probleme mit der Problemorientierungen: Implementierungsschwierigkeiten Zeitmangel? Richtige Probleme sind nur etwas für besonders begabte Schüler? Eigentlich machen wir das doch schon längst!? Vermittlung von Grundwissen und Routinetechniken ist am wichtigsten? Stellenwert von Bildung und Lernen in der Gesellschaft?

44 Karlsruhe Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller- Universität Jena

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46 Ich höre, und ich vergesse, ich sehe, und ich erinnere mich, ich tue, und ich verstehe! Konfuzius, ( v. Chr.) Aus der Geschichte der Philosophie


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