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10.11.2013Kapitel 11 Methoden des Algorithmenentwurfs Kapitel 1.4:Approximations- schemata Christian Scheideler SS 2009.

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1 Kapitel 11 Methoden des Algorithmenentwurfs Kapitel 1.4:Approximations- schemata Christian Scheideler SS 2009

2 Übersicht Notation Das Rucksack Problem Das Job Scheduling Problem Unmöglichkeit für Approximationsschemas Kapitel 12

3 Kapitel 1.43 Notation 4.1 Definition: Sei ein Optimierungsproblem. Sei A ein Approximationsalgorithmus für, der als Eingabe eine Instanz I von und ein mit 0< <1 bekommt. (a) A ist ein polynomielles Approximationsschema (PAS) für, wenn A zu jeder Probleminstanz I und für jedes konstante (0,1) in Zeit O(poly (|I|)) eine zulässige Lösung zu I mit relativem Fehler A (I, ) berechnet. (b) A ist ein streng polynomielles Approximationsschema (FPAS), wenn A ein PAS mit Laufzeit O(poly(|I|,1/ )) ist.

4 Bemerkung: Als Abkürzung findet man auch häufig PTAS und FPTAS. Beim PAS sind Laufzeiten der Form O(|I| 1/ ) erlaubt, beim FPAS nicht. Würden wir für ein FPAS eine Laufzeit von O(poly(|I|,log(1/ )) fordern, dann würde die Existenz eines solchen FPAS für ein NP- vollständiges Optimierungsproblem bedeuten, dass P=NP ist Kapitel 1.44 Notation

5 4.2 Satz: Sei ein kombinatorisches Opti- mierungsproblem, A ein (F)PAS zu, und zu Eingabe I sei Z(I) eine obere Schranke für OPT(I), d.h. OPT(I) Z(I). Sei *=1/(Z(I)+1). Dann ist A(I, *) = OPT(I). Ist A ein FPAS, so ist die Laufzeit O(poly(|I|,Z(I))). Beweisidee: Minimierung: Maximierung: Kapitel 1.45 Notation OPT(I)

6 Beweis: Starte A mit Eingabe I und *. Gemäß Definition 4.1 wird eine zulässige Lösung zu I gefunden mit relativem Fehler A (I, *) = |OPT(I)-A(I, *)| * OPT(I) D.h. |OPT(I) – A(I, *)| * OPT(I) = OPT(I) < 1, Z(I)+1 weil OPT(I) Z(I) ist. Da der Wert aller zulässigen Lösungen ganzzahlig ist, folgt damit, dass |OPT(I) – A (I, *)|=0, also A(I, *)=OPT(I) ist Kapitel 1.46

7 Es gibt folgende zwei Möglichkeiten für ein PAS: (a)Es werden in Abhängigkeit zu nur einige wenige zulässige Lösungen bestimmt, aus denen die beste ausgewählt wird. (b)Nachdem eine zulässige Lösung bestimmt ist, wird diese so lange verbessert, bis die erlaubte Zeit abgelaufen ist. Wir werden hier dem Prinzip von (a) folgen Kapitel 1.47 Notation

8 Übersicht Notation Das Rucksack Problem Das Job Scheduling Problem Unmöglichkeit für Approximationsschemas Kapitel 18

9 Exakter Algo für Rucksack Zur Erinnerung: Das Rucksackproblem ist charakterisiert durch: –D={ (W,vol,p,B) | W={1,...,n}, vol:W IN, B IN, p:W IN und für alle w W gilt vol(w) B} W ist das Warenangebot, vol die Zuordnung von Volumina zu den Waren, p die Zuordnung von Werten und B die Kapazität des Rucksacks –S((W,vol,p,B)) = {A W | w A vol(w) B} –f(A) = w A p w –Max Vereinfachend schreiben wir statt vol(i) v i Kapitel 19

10 Kapitel 1210 Exakter Algo für Rucksack Sei OPT(i,v) = max. Wert einer Teilmenge von Objekten aus {1,…,i} mit max. Gewicht v Fall 1: OPT wählt nicht Objekt i OPT wählt beste Teilmenge aus {1,…,i-1} mit max. Gewicht v Fall 2: OPT wählt Objekt i OPT wählt beste Teilmenge aus {1,…,i-1} mit max. Gewicht v-v i OPT(i,v)= 0 falls i=0 OPT(i-1,v) falls v i >v max{OPT(i-1,v), v i +OPT(i-1,v-v i )} sonst

11 Kapitel 1211 Exakter Algo für Rucksack Laufzeit: O(n B), nicht polynomiell in n! Nur pseudopolynomiell (d.h. poly(n,maxnr(I))) n 012 B 0000 OPT(i-1,v-v i )OPT(i-1,v) OPT(i,v) ……. Dynamisches Programm

12 Kapitel 1212 Exakter Algo für Rucksack Sei OPT(i,p) = min. Gewicht einer Teilmenge von Objekten aus {1,…,i} mit Wert exakt p Fall 1: OPT wählt nicht Objekt i OPT wählt beste Teilmenge aus {1,…,i-1} mit Wert p Fall 2: OPT wählt Objekt i OPT wählt beste Teilmenge aus {1,…,i-1} mit Wert p-p i OPT(i,p)= falls i=0, p>0 OPT(i-1,p) falls p i >p min{OPT(i-1,p), v i +OPT(i-1,p-p i )} sonst 0 falls p=0

13 Kapitel 1213 Exakter Algo für Rucksack P*: max. Wert p, so dass OPT(n,p) B. Laufzeit: O(n P*) = O(n 2 p max ), zu groß! n 012P* 0 OPT(i-1,p-p i )OPT(i-1,p) OPT(i,p) ……

14 Kapitel 1214 FPAS für Rucksack Idee für FPTAS: Runde alle Werte auf, um kleineren Wertebereich zu erhalten. Verwende vorigen Algo auf gerundeten Werten. Gib optimale Objekte der gerundeten Werte aus. ObjektWertGewicht ObjektWertGewicht

15 Kapitel 1215 FPAS für Rucksack p max : max. Wert in Originalinstanz : Präzision = p max /n: Skalierungsfaktor Betrachte p i = p i / und p i = p i /. Beobachtung: Optimale Lösungen zu p i und p i sind äquivalent (bis auf Skalierung). FPAS: verwende p i -Werte (nur O(n/ ) viele) Damit Laufzeit O(n 3 / ).

16 Kapitel 1216 FPAS für Rucksack 4.3 Satz: Sei S die Lösung unseres Algos und S* eine beliebige andere zulässige Lösung. Dann ist (1+ ) i S p i i S* p i. Beweis: Es gilt: i S* p i i S* p i runde immer auf i S p i finde opt. Lösung i S (p i + ) runde nie mehr als i S p i + n |S| n (1+ ) i S p i n = p max i S p i

17 Übersicht Notation Das Rucksack Problem Das Job Scheduling Problem Unmöglichkeit für Approximationsschemas Kapitel 117

18 Kapitel 118 Job Scheduling Erinnerung aus Kapitel 1.0: Eingabe: m identische Maschinen, n Jobs. Job i hat Laufzeit p i. Einschränkungen: Ein einmal ausgeführter Job muss bis zum Ende auf derselben Maschine ausgeführt werden. Jede Maschine kann höchstens einen Job gleichzeitig bearbeiten. 1.5 Definition: Sei J(i) die Teilmenge der Jobs, die Maschine i zugewiesen werden. Dann ist L i = j J(i) p j die Last der Maschine i. 1.6 Definition: Der Makespan L ist die maximale Last einer Maschine, d.h. L = max i L i Ziel: finde Zuweisung, die Makespan minimiert

19 Job Scheduling Schon für zwei Maschinen ist das Job Scheduling Problem NP-hart. Falls m konstant ist, können wir folgenden Algorithmus für Instanz I verwenden: Algorithmus A k (I): 1. Sortiere die Jobs, so dass p 1 … p n 2. Finde eine optimale Zuweisung für die ersten k Jobs J 1,…,J k. 3. Wende LPT auf die restlichen Jobs an. 4.4 Satz: Die Laufzeit von A k ist O(m k + n log n) und damit polynomiell für konstantes k. Beweis: Um einen optimalen Schedule für k Jobs zu finden, müssen wir im schlimmsten Fall alle m k Platzierungen durchgehen Kapitel 119

20 Job Scheduling 4.5 Satz: Algorithmus A k hat eine relative Güte von 1+(m-1)/k. Beweis: Sei J j der Job, der als letzter fertig wird und C der Makespan der Lösung von A k. Wir unterscheiden folgende Fälle: Fall 1: j k, d.h. J j ist unter den optimal verteilten Jobs. Dann gilt C=OPT(I). Fall 2: Wir wissen von Lemma 1.9, dass OPT(I) (1/m) i p i. Weiterhin folgt aus dem Beweis von Satz 1.10, dass C (1/m) i p i +(1-1/m) p j. Also ist C OPT(I) + (m-1)/m p j Kapitel 120

21 Job Scheduling Beweis (Fortsetzung): Andererseits gilt OPT(I) (1/m) i=1 n p i (1/m) i=1 k p i (k/m) p j und damit p j (m/k) OPT(I). Wir erhalten also C OPT(I) + (m-1)/m p j OPT(I) + (m-1)/m (m/k) OPT(I) = (1+(m-1)/k) OPT(I) Kapitel 121

22 Job Scheduling Wir definieren nun das PAS für konstantes m. Für jedes >0 sei k := (m-1)/ und A :=A k. Dann hat der Algorithmus A eine Güte von 1+(m-1)/k 1+ (m-1)/((m-1)/ ) = 1+ Also ist A ein PAS für das Job Scheduling Problem mit konstanter Anzahl an Maschinen. 4.6 Satz: Für jede konstante Anzahl von Maschinen existiert ein PAS für Job Sche- duling Kapitel 122

23 Job Scheduling Jetzt wollen wir einen PAS für das Job Scheduling Problem formulieren, der auch für nichtkonstantes m funktioniert. Sei A T, ein Algorithmus, der zu jeder Instanz I eine Zuweisung mit Makespan höchstens (1+ )T findet, wenn T OPT(I), und sonst error ausgibt. Dann können wir wie folgt einen Algorithmus A formulieren, der zu I eine Lösung mit Makespan höchstens (1+ )OPT(I) findet: Algorithmus A (I): O:= i=1 n p i ; U:=0; T:= O/2 ; k:= log( i=1 n p i ) for i:=1 to k do // führe binäre Suche auf [U,O] durch if A T, (I) = error then { U:=T; T:= (O-U)/2 } else { O:=T; T:= (O-U)/2 } return A T, (I) Kapitel 123

24 Job Scheduling Wir müssen uns nur noch um A T, kümmern. Dazu unterteilen wir die Jobs in kleine und große Jobs. Seien also J 1 := { i n | p i > T } und J 2 := { i n | p i T } Die Jobs aus J 1 werden geeignet skaliert, d.h. wir setzen für alle i J 1 p´ i = p i /( 2 T). Sollte es für die Jobs aus J 1 eine Zuweisung mit Makespan höchstens T geben, so hat die Zuweisung für die Jobs mit Laufzeiten p i /( 2 T) einen Makespan von höchstens T/( 2 T) = 1/ 2. Durch das Runden nach oben kann sich der Makespan höchstens um einen Faktor 1+ auf den Wert T´:= (1+ )/ 2 erhöhen. Wie können wir eine solche Zuweisung in poly Zeit finden (wenn sie existiert)? Kapitel 124

25 Job Scheduling Betrachte das folgende Problem: Bin Packing mit eingeschränkten Gewichten: Gegeben eine Menge von n Objekten mit Gewichten w 1,…,w n k sowie zwei Zahlen m und b, finde eine Verteilung der Objekte auf m Bins mit Kapazität b, wenn eine solche Verteilung existiert, und sonst gib error aus. 4.7 Lemma: Es gibt einen pseudopolynomiellen Algorithmus für das Bin Packing Problem oben mit Laufzeit O((bn) k ). Beweis: über dynamische Programmierung Kapitel 125

26 Job Scheduling Algorithmus A T, : J 1 := { i n | p i > T } J 2 := { i n | p i T } forall i J 1 do p´ i = p i /( 2 T) T´:= (1+ )/ 2 Löse das Bin Packing Problem mit den Gewichten p´ i sowie Parametern m und b=T´. Falls keine Lösung existiert, gib error aus, stop. Verteile die Jobs aus J 2 mittels List Schedule. Gib die so gefundene Zuweisung aus. 4.8 Satz: A T, hat eine Laufzeit von O(n 1/ ). Ist T der optimale Makespan, dann gilt A T, (I) (1+ )T Kapitel 126

27 Job Scheduling Beweis: Wenn Zuweisung für große Jobs gefunden wird, hat diese Makespan max. T´ und damit ohne Skalierung max. (1+ )T. Nach dem Verteilen der kleinen Jobs können zwei Fälle auftreten: Fall 1: Der Makespan wird nicht erhöht. Dann folgt der Satz sofort. Fall 2: Der Makespan wird erhöht. Der Lastunter- schied zwischen der Maschine mit minimaler Last T min und maximaler Last T max ist höchstens T (die max. Größe eines Jobs in J 2 ). Da weiterhin T min ( i=1 n p i )/m T ist, folgt der Satz Kapitel 127

28 Übersicht Notation Das Rucksack Problem Das Job Scheduling Problem Unmöglichkeit für Approximationsschemas Kapitel 128

29 Unmöglichkeit für PAS Wir haben gesehen, dass es keinen Polynomialzeit- Approximationsalgo für Bin Packing mit relativer Güte unter 3/2 geben kann, es sei denn, P=NP. Das impliziert natürlich, dass es kein PAS für Bin Packing geben kann. Das kann man allgemeiner formulieren als: 4.9 Satz: Sei ein Optimierungsproblem und sei für ein festes k IN die Frage Ist zur Eingabe I von der Wert OPT(I) k? (falls ein Minimierungsproblem ist) bzw. die Frage Ist zur Eingabe I von der Wert OPT(I) k? (falls ein Maximierungsproblem ist) NP- vollständig. Gibt es ein PAS für, dann ist P=NP. Beweis: Folgt aus Übungsaufgabe Kapitel 129

30 Unmöglichkeit für PAS 4.10 Definition: Ein NP-vollständiges Entscheidungs- problem L heißt stark NP-vollständig, wenn es ein Polynom q gibt, so dass L q ={x | x L und maxnr(x) q(|x|)} NP-vollständig ist. Gibt es kein solches Polynom, heißt L schwach NP-vollständig. Dazu ist äquivalent: Das NP-vollständige Entscheidungs- problem L ist stark NP-vollständig, falls es keinen pseudopolynomiellen Algorithmus für L gibt, es sei denn, P=NP. Denn gäbe es einen exakten Algorithmus für L mit Laufzeit O(poly(|x|,maxnr(x))), wäre die Laufzeit für L q O(poly(|x|)) Kapitel 130

31 Unmöglichkeit für PAS 4.11 Beispiel: Die Entscheidungsprobleme Hamilton und Clique sind stark NP- vollständig, da in ihnen keine großen Zahlen vorkommen und das Polynom q(n)=n ausreicht. Das Entscheidungsproblem zum allgemeinen TSP ist stark NP- vollständig. Betrachte dazu die Reduktion auf das Hamilton-Kreis Problem, die mit polynomiell großen Kantengewichten auskommt. Auf der anderen Seite können wir das Hamilton-Kreis Problem reduzieren auf das TSP mit Kantenlängen 1 oder 2. Damit ist auch das TSP auf Kantenlängen 1 oder 2 stark NP-vollständig (warum?). Da die Länge jedes Pfades der Länge 2 in einem solchen Graphen mindestens 2 ist und damit die Dreiecksungleichung erfüllt, ist ist auch das Entscheidungsproblem zu TSP stark NP-vollständig. Rucksack ist dagegen schwach NP-vollständig, wie wir gesehen haben Kapitel 131

32 Unmöglichkeit für PAS Der nächste Satz ergibt sich aus Satz 4.2 und zeigt, dass eine enge Beziehung zwischen starker NP- Vollständigkeit und der Unmöglichkeit, ein FPAS anzugeben, besteht Satz: Sei ein Optimierungsproblem. Wenn es ein Polynom q(x 1,x 2 ) gibt, so dass für alle Eingaben I gilt, dass OPT(I) q(|I|, maxnr(I)) ist, dann folgt aus der Existenz eines FPAS für, dass es einen pseudopolynomiellen exakten Algorithmus für gibt. Beweis: Übung Kapitel 132

33 Unmöglichkeit für PAS Wenn maxnr(I) durch ein Polynom nach oben beschränkt ist, dann ergibt Satz 4.11 natürlich eine polynomielle Laufzeit für den exakten Algorithmus, was uns unmittelbar zu folgender zentraler Aussage führt: 4.13 Korollar: Wenn es für eine Optimierungs- variante eines stark NP-vollständigen Problems ein FPAS gibt, dann ist P=NP Kapitel 133

34 Unmöglichkeit für PAS Also kann es keinen FPAS für Clique, Knotenfärbungsprobleme und viele andere Optimierungsprobleme geben. Auch das TSP kann kein FPAS besitzen. Allerdings konnte für EuklidTSP, die Einschränkung des TSP Problems auf einen Euklidischen Raum, ein PAS mit Laufzeit O(n 3 (log n) 1/ ) gefunden werden Kapitel 134

35 Kapitel 135 Fragen?


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