Färben der Knoten von Graphen

Präsentation zum Thema: "Färben der Knoten von Graphen"—  Präsentation transkript:

1 Färben der Knoten von Graphen
Speziell: 4-Farbenproblem

2 Gliederung Definition Knotenfärbung und 4-Farbensatz
Historie des 4-Farbenproblems Ursprung Beweisfindung Lösungsstrategien Erschöpfende Suche Backtracking mögliche Implementierung Komplexität Anwendungsbeispiele Zusammenfassung Literaturhinweise

3 Definition ist G(V,E) ein ungerichteter Graph ohne Mehrfachkanten und  eine Abbildung von V nach N, so nennt man  eine Knotenfärbung von G Färbung ist gültig/zulässig, falls für 2 beliebige benach-barte Knoten gilt: (v1)  (v2) G ist k-knotenfärbbar, falls es eine gültige Färbung gibt, so dass: v V : (v) < k für das kleinste k für das G k-knotenfärbbar ist, ist k die chromatische zahl א(G) 4-Farben-Satz: für einen planaren Graphen G ist die chromatische Zahl א(G) = 4

4 Historie Ursprung 1852 aufgestellte Vermutung durch Francis Guthrie beim Färben der Karte der Ländereien von England: 4 Farben genügen um die Länder einer Karte so zu färben, dass alle benachbarten Länder unterschiedliche Farben tragen Veröffentlichung des Problems durch Brief des Mathematik-Professors De Morgan an Hamilton

5 Historie Beweisfindung
Beweise durch Kempe (1878) und Tait (1880) wurden 1890 bzw widerlegt 1890 Formulierung des 5-Farben-Satzes durch Heawood → Existenz einer oberen Schranke bewiesen 60-er und 70-er Jahren Verfahren von Heesch zum Suchen eines Beweises per Computer - führte 1977 zum Beweis durch Ken Appel und Wolfgang Haken Beweis reduziert die problematischen Fälle von unendlich auf 1.936, später weniger, welche vom Computer geprüft wurden Entwicklung eines formalen Beweises mittels Beweis-Assistenten COQ durch Werner und Gonthier

6 Lösungsstrategien Erschöpfende Suche
Knoten werden nacheinander nummeriert Zählmethode Tachostand: Anzahl der Stellen = Anzahl der Knoten im Graph Wert = Farbe(0,1,2,3) des Knoten jeder Färbungszustand wird unmittelbar auf Gültigkeit geprüft

7 Erschöpfende Suche

8 Erschöpfende Suche

9 Erschöpfende Suche

10 Erschöpfende Suche

11 Erschöpfende Suche

12 Erschöpfende Suche

13 Erschöpfende Suche

14 Erschöpfende Suche im ungünstigsten Fall müssen fast alle Kombinationen durchprobiert werden Algorithmus zählt weiter obwohl klar ist, dass einige Kombinationen übersprungen werden können Nachteil: sehr hoher Zeitaufwand

15 Backtracking Knoten werden nummeriert
ein Land färben und dann versuchen das nächste zu färben, so dass folgende Bedingungen erfüllt sind: die benachbarten bereits gefärbten Länder haben unterschiedliche Farben keines der benachbarten noch ungefärbten Länder wird unfärbbar Bedingungen können erfüllt sein, aber dennoch zu keiner Lösung führen (Sackgasse) Rückverfolgung des Pfades und setzen der nächst-möglichen Farbe – rekursiver Aufruf

16 Backtracking

17 Backtracking

18 Backtracking

19 Backtracking

20 Backtracking

21 Backtracking

22 Backtracking

23 Backtracking Vorteil: wesentlich effizienter als erschöpfende Suche
Nachteil: abhängig von der Nummerierung, d.h. bei ungünstiger Nummerierung ist der Aufwand ebenfalls enorm hoch

24 Implementierung Länder sind Knoten in einem Graphen
Knoten werden mit Kante verbunden, falls korrespondierende Länder benachbart sind Knoten sind Container, die neben den Referenzen der Nachbarknoten ein Array der Länge 4 enthält: Wert 1 an der Stelle i, signalisiert die Färbung des Knotens in der Farbe i Wert -1 signalisiert, dass die Knoten mit i gefärbt werden kann 0 signalisiert, dass der Knoten nicht mit i gefärbt werden kann Realisierung der Pfadrückverfolgung durch Rekursion

25 Komplexität Fällt in Klasse NP-schwer Exponentieller Aufwand:
Anzahl der Kombinationen steigt exponentiell Anzahl der möglichen Sackgassen steigt ebenfalls exponentiell, allerdings abhängig von der Nummerierung, daher ist Backtracking oftmals deutlich schneller Gibt wahrscheinlich keinen effizienten Algorithmus

26 Anwendungen Stundenplanproblem Registerzuweisungs-Probleme
Veranstaltungen = Knoten Veranst. die nicht gleichzeitig ablaufen können sind verbunden Anzahl der Farben = Anzahl der verschiedenen Zeitfenster Registerzuweisungs-Probleme Bandbreitenzuweisungs-Probleme Suche nach Wegen durch ein Labyrinth

27 Zusammenfassung 4-Farben-Satz konnte lange Zeit nicht korrekt bewiesen werden erstes Problem das mittels Computer bewiesen wurde es gibt keinen zuverlässig effizienten Lösungs-Algorithmus viele mathematische Probleme lassen sich als Knotenfärbe-Problem formulieren Algorithmen lassen sich sehr einfach implementieren

28 Literaturhinweise Reinhard Diestel: Graphentheorie. Springer-Verlag, Heidelberg, Deutschland, ISBN Anuj Mehrotra, Michael A. Trick: A column generation approach for graph coloring. INFORMS Journal on Computing Vol. 8, No. 4 (1996), Seiten Alessandro Tomazic: Graphenfärbung mit Hilfe linearer Programmierung, Diplomarbeit, Universität Augsburg, Deutschland, 2005