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Instationäre, Inkompressible Navier – Stokes Gleichungen Seminar: FEM für die Strömungsmechanik Prof. M. Griebel Dr. M. A. Schweitzer L. M. Köhler 02.02.2007.

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1 Instationäre, Inkompressible Navier – Stokes Gleichungen Seminar: FEM für die Strömungsmechanik Prof. M. Griebel Dr. M. A. Schweitzer L. M. Köhler

2 Lösungsansätze zu Instationären, Inkompressiblen Navier- Stokes Gleichungen mit der Finiten Elemente Methode Gliederung und Zielsetzung Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme 1. Kapitel: Lösbarkeit 1.1 Formulierung des Problems, Vorbemerkungen, Definition schwacher Lösungen 1.2 Existenz schwacher Lösungen 1.3 Eindeutigkeit schwacher Lösungen 1.4 Regularität schwacher Lösungen 2. Kapitel: Numerische Lösung, Diskretisierung 2.1 Linien Methode, Ɵ-Schema (Rothe Methode) 2.2 Raum-Zeit Finite Elemente (discontinuous Galerkin method) 2.3 Transport-Diffusions Algorithmus 2.4 Zusammenfassung, Ausblick, Quellen Ziel: Lösung durch Nutzung bisher verwendeter Methoden! Lukas Köhler

3 Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme 1.1 Ursprung der Navier-Stokes Gleichung Erhaltung der Masse Da 0 = ∫ V(t) ρ(x,t)dx ergibt sich in jedem Punkt für ρ(x,t) (Dichte): ∂ρ/∂t + div(ρv) = 0 in Ω x (0, ∞) Durch das Voraussetzen von Reibungsfreiheit, konstanter Dichte und Temperatur, stationärer Bewegung, diverser Skalierungen & Linearisierung konnten die allgemeinen Navier-Stokes Gleichungen auf das Stokes Problem reduziert werden. Allgemeine Navier-Stokes Konstitutive Gleichungen Erhaltung des Impulses Die zeitlichen Änderung des Impulses ergibt punktweise: ∂/∂t(ρv) + div(ρv⊗v) = ρf + div T in Ω x (0, ∞) Unter vers. Voraussetzungen an den Spannungstensor T: T = 2λD(v) + μdiv(v)I – pI (Zustandsgleichung) ∂ρ/∂t + div(ρv) = 0 ∂/∂t(ρv) + div(ρv⊗v) = ρf + 2λ ∆(v) + (λ + μ) ∇ div(v) – ∇p Lukas Köhler

4 Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme 1.1 Entwicklung einer Lösungsstrategie Stokes Gleichung Konforme Elemente (nicht konforme) Mehrgitterfür Stokes Stationäre, inkompressible Navier-Stokes -∆u + grad p = f in Ω div u = 0 in Ω u = 0 auf ∂Ω HeuteInstationäre, inkompressible Navier-Stokes Gleichungen X h ⊂ X, M h ⊂ M bezeichnen zu Т h gehörige Finite Element Räume (X h,M h ) stabil (inf-sup Bedingung unabhängig von h erfüllt) ⇒ diskrete Navier-Stokes Gleichungen sind eindeutig lösbar Sequenz von Räumen (X h,M h ) mit Transferoperatoren P h, R h : X h → X 2h und Glättern S h. Mehrgitterlöser für Stokes -ν ∆u + ∇p + (u · ∇)u = f in Ω -div u = 0 in Ω -u = 0 auf ∂Ω Sequenz von Stokes Problemen Lukas Köhler

5 1.1 Die Instationären, Inkompressiblen Navier - Stokes Gleichungen Formulierung, Herleitung, Bedeutung ∂u/∂t - ν ∆u + ∇p + (u · ∇)u = fin Ω x (0, T) div u = 0in Ω x (0, T) u = 0auf ∂Ω x (0, T) u(.,0) = u 0 in Ω Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen Annahmen:Anwendung: Vernachlässigung der Energiegleichung ρ konstant p wird durch p / ρ ersetzt ν := η / ρ (dynamische Viskosität) Luftströmungen unterhalb der Schallgeschwindigkeit Wasserströmungen Flüssige Metalle (konst. Temp.) Nicht bei Überschall / heißer Luft (1) Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Lukas Köhler

6 1.1 Vorbemerkungen & Definition Schwacher Lösungen Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen V := {u ∈ H 0 1 (Ω) n | div u = 0} H := {u ∈ L 2 (Ω) n | div u = 0 in Ω, u · n = 0 auf ∂Ω} Notationen: a(u,v) := ∫ Ω ∇u :∇v (bilinear, koerziv) b(v,p) := ∫ Ω p divv (bilinear) Bilinearformen: N(u,v,w) := ∫ Ω [(u · ∇)v] · w (trilinear, N(u,v,v) = 0, N(u,v,w) = -N(u,w,v)) Ist φ eine Fkt. auf (0,T) mit Werten in X, so heißt φ schwach stetig in t 0, wenn ∀ Folgen (t m ) m∈ℕ ⊂ (0,T) mit lim m→∞ t m = t 0 und jedes ψ ∈ X´= L (X,ℝ) gilt: lim m→∞ 〈φ(., t m ),ψ〉 X = 〈φ(., t 0 ),ψ〉 X Schwach Stetig: Seien T > 0, u 0 ∈ H, f ∈ L 2 ((0,T),V´) und u ∈ L ∞ ((0,T),L 2 (Ω) n ) ⋂ L 2 ((0,T),V). Ferner sei u im L 2 - Sinne schwach stetig auf [0,T]. Dann heißt u eine schwache Lösung von (1), wenn ∀ v ∈ C 1 ((0,T),L 2 (Ω) n ) ⋂ C 0 ([0,T],V) mit v(.,T) = 0 gilt: -∫ [0,T] (u, ∂v/∂t) + ν ∫ [0,T] a(u,v) + ∫ [0,T] N(u,u,v) = ∫ [0,T] (f,v) +(u 0,v(.,0)) Schwache Lösung: (2) Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Lukas Köhler

7 1.2 Existenz Schwacher Lösungen Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen Existenzsatz Seien f und u 0 wie in der Definition schwacher Lösungen. Dann besitzt (1) mindestens eine schwache Lösung u. Außerdem gilt ∂u/∂t ∈ L 1 ((0,T),V´). Beweis V ⊂ H 0 1 (Ω) n abgeschlossen, somit separabel ⇒ V := clos(U m∈ℕ span{ w j | 0≤j ≤m}) u 0,m bezeichne die L 2 – Projektion von u 0 auf V m := { w j | 0 ≤ j ≤ m}, betrachte: ∑ 0≤ i≤ m (w i,w j ) ġ i,m (t) + ν ∑ 0≤ i≤ m a(w i,w j ) g i,m (t) + ∑ 0≤ i,j≤ m N(w i,w l,w j ) g i,m (t) = (f,w j ) für 0 ≤ j ≤ m ∑ 0≤ i≤ m g i,m (0)w i = u 0,m (für bel., aber feste m ∈ ℕ) (3) Erfüllt die Voraussetzungen von Picard-Lindelöf, besitzt daher eine eindeutige max. Lsg. (g 0,m (t),…,g m,m (t)) auf max. [0,t m ] mit 0 < t m ≤ T; u m := ∑ 0≤ i≤ m g i,m (t) w i Ist t m < T ⇒ lim t→t m ||u m (.,t)|| 0 = ∞ Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme (3) Lukas Köhler

8 1.2 Existenz Schwacher Lösungen - Beweis Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen Beweis In (3) multipliziere die j-te Gleichung mit g j,m (t) und summiere über j auf: ⇒ (∂u m /∂t, u m ) + ν a(u m,u m ) = (f, u m ) ∀ u ∈ V, w ∈ H 0 1 (Ω) n ⇒ d/dt ||u m (.,t)|| ν |u m (.,t)| 1 2 = 2(f, u m (.,t)) ≤ 2||f|| -1 |u m (.,t)| 1 ≤ 1/ ν ||f|| ν |u m (.,t)| 1 2 ⇒ ∀ s ∈ [0,t m ] : ||u m (.,s)|| ν ∫ [0,s] |u m (., τ )| 1 2 d τ ≤ 1/ ν ∫ [0,s] ||f(., τ )|| -1 2 d τ + ||u 0 || 0 2 ⇒ lim sup t → t m ||u m (.,t)|| 0 < ∞ und daher t m = T. (u m ) m∈ℕ ⊂ beschränkter Teilmenge von L ∞ ((0,T),H) ⋂ L 2 ((0,T),V). Also ∃ u ∈ L ∞ ((0,T),H) ⋂ L 2 ((0,T),V), gegen welches eine Teilfolge (u m‘ ) schwach in L 2 ((0,T),V), schwach-* in L ∞ ((0,T),H) & stark in L 2 ((0,T),H) konvergiert. Diese Konvergenz einer Teilfolge (u m‘ ) reicht aus um in (3) den Grenzübergang m’ → ∞ bei festem j zu vollziehen. Daher erfüllt u die Bed. (2) ∀ w j. Da U m∈ℕ V m dicht in V,folgt die Behauptung. QED. Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Lukas Köhler

9 1.3 Eindeutigkeit Schwacher Lösungen Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen Lemma Für alle n ∈ {2,3} und alle φ ∈ H 0 1 (Ω) gilt || φ || L⁴(Ω) ≤ 2 (n – 1) / 4 || φ || 0 (4 – n) / 4 | φ | 1 n / 4 Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Eindeutigkeitssatz i) Sei n = 2. Dann besitzen die instationären Navier - Stokes Gleichungen (1) genau eine schwache Lösung. Außerdem gilt ∂u/∂t ∈ L 2 ((0,T),V´), u ∈ C([0,T],H) und u(.,t) → u 0 in H für t→ 0. ii) Sei n = 3. Dann gilt für jede schwache Lösung der instationären Navier - Stokes Gleichungen (1) u ∈ L 8/3 ((0,T),L 4 (Ω) 3 ), ∂u/∂t ∈ L 4/3 ((0,T),V´). Es gibt höchstens eine schwache Lösung in L 2 ((0,T),V) ⋂ L ∞ ((0,T),H) ⋂ L 8 ((0,T), L 4 (Ω) 3 ). Eine solche Lösung ist automatisch in C([0,T],H) und erfüllt u(.,t) → u 0 in H für t→ 0. Lukas Köhler

10 1.3 Eindeutigkeit Schwacher Lösungen – Beweis (1) Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen Beweisskizze: allgemeine Bemerkungen; ad i) Definiere Operatoren A, B auf L 2 ((0,T),V) ⋂ L ∞ ((0,T),H) 〈Au, v〉 := a(u,v) 〈B(u), v〉 := N(u,u,v) Dann gilt (s. Existenzsatz) ∀ u (schwache Lösung von (1)): ∂u/∂t - ν Au +B(u) = f f.ü. in V‘ u(.,t) → u 0 in H‘ für t → 0. ad i) Regularität: ||B(u)|| V’ = sup v∈V, |v|=1 N(u,u,v) ≤ ||u|| 2 L⁴(Ω) ≤ √2 ||u|| 0 |u| 1 u ∈ L 2 ((0,T),V) ⋂ L ∞ ((0,T),L 2 (Ω) 2 ) ⇒ Au, B(u) ∈ L 2 ((0,T),V‘) & ∂u/∂t ∈ L 2 ((0,T),V‘) Eindeutigkeit: sei w := u 1 – u 2 da w ∈ L 2 ((0,T),V) und ∂w/∂t ∈ L 2 ((0,T),V‘) ⇒ d/dt ||w (.,t)|| ν |w(.,t)| 1 2 = 2(∂w/∂t, w) + 2 ν a(w,w) ≤ 2 ν |w(.,t)| / ν |u 1 (.,t)| 1 2 ||w(.,t)|| 0 2 ⇒ d/dt ( ||w (.,t)|| 0 2 exp (-1/ ν ∫ [0,t] |u 1 (.,s)| 1 2 ds)) ≤ 0, da w(.,0) = 0 ⇒ QED. Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Lukas Köhler

11 1.3 Eindeutigkeit Schwacher Lösungen – Beweis (2) Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen Beweisskizze: ad ii) Regularität: ||B(u)|| V’ = ||u|| 2 L⁴(Ω) ≤ 2 ||u|| 0 1/2 |u| 1 3/2 u ∈ L 2 ((0,T),V) ⋂ L ∞ ((0,T),L 2 (Ω) 3 ) ⇒ Au ∈ L 2 ((0,T),V‘), B(u) ∈ L 4/3 ((0,T),V‘) & somit ∂u/∂t ∈ L 4/3 ((0,T),V‘). Daher auch u ∈ L 8/3 ((0,T),L 4 (Ω) 3 ). Eindeutigkeit: sei w := u 1 – u 2 & unter bekannten Regularitätsannahmen ⇒ d/dt ||w (.,t)|| ν |w(.,t)| 1 2 = -2N(w,u 1,w) = 2N(w, w, u 1 ) ≤ 2 ||w|| L⁴(Ω) |w| 1 ||u 1 || L⁴(Ω) ≤ 4 ||w|| 0 1/4 |w| 1 7/4 ||u 1 || L⁴(Ω) Young`sche Ungleichung: ab ≤ 7/8 a 8/7 + 1/8 b 8 ∀ a,b ∈ ℝ + für a := ( 16/7 ν) 7/8 |w| 1 7/4 & b := 4 ( 16/7 ν ) 7/8 ||w|| 0 1/4 ||u 1 || L⁴(Ω) ⇒ d/dt ||w (.,t)|| ν |w(.,t)| 1 2 ≤ 2 ν |w(.,t)| /7 ( 7/ 4 ν ) 7 ||w (.,t) || 0 2 ||u 1 || 8 L⁴(Ω) ⇒ d/dt ||w (.,t)|| 0 2 ≤ 1/7 ( 7/ 4 ν ) 7 ||w (.,t) || 0 2 ||u 1 || 8 L⁴(Ω) Wegen u 1 ∈ L 8/3 ((0,T),L 4 (Ω) 3 ) folgt w = 0. ⇒ QED. Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Lukas Köhler

12 1.4 Regularität Schwacher Lösungen Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen Regularitätssatz i) Sei n = 2 und f, ∂f/∂t ∈ L 2 ((0,T),V‘), f(.,0) ∈ H und u 0 ∈ H 2 (Ω) 2 ⋂ V. Dann gilt für die eindeutige schwache Lösung der instationären Navier-Stokes Gleichungen ∂u/∂t ∈ L 2 ((0,T),V) ⋂ L ∞ ((0,T),H). Ist zusätzlich ∂Ω ∈ C 2 und f ∈ L ∞ ((0,T),H), so ist u ∈ L ∞ ((0,T),H 2 (Ω) 2 ). ii) Sei n = 3 und f ∈ L ∞ ((0,T),H), ∂f/∂t ∈ L 1 ((0,T),H) und u 0 ∈ H 2 (Ω) 3 ⋂ V. Definiere d 1 := ||f(.,0)|| 0 + ν ||u 0 || 2 + ||u 0 || 2 2 d 2 := ||f|| L ∞ ((0,T),V‘) Falls ν -2 d 2 + ν -3 (1 +d 1 2 ) (||u 0 || ν -1 T d 2 )exp (∫ [0,T] ||∂/∂t f(.,s)|| 0 ds)) hinreichend klein ist, besitzen die instationären Navier-Stokes Gleichungen eine eindeutige schwache Lösung, und es gilt ∂u/∂t ∈ L 2 ((0,T),V) ⋂ L ∞ ((0,T),H). Ist zusätzlich ∂Ω ∈ C ∞, so ist u ∈ L ∞ ((0,T),H 2 (Ω) 3 ). (ohne Beweis) Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Lukas Köhler

13 1.4 Druck Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Bemerkung 1 Die Regularitätsaussagen des vorausgehenden Satzes für ∂u/∂t sind zu schwach, um eine Fehlerabschätzung der Ordnung 2 oder höher für Zeitdiskretisierungen der instationären Navier-Stokes Gleichungen zu erhalten. Bemerkung 2 u sei schwache Lösung, definiere U (t) := ∫ [0,t] u(.,s)ds b(t) := ∫ [0,t] B(u(.,s))ds & F(t):= ∫ [0,t] f(.,s)ds U, b, F ∈ C([0,T],V‘) Mit (2) folgt: ν a( U, v) = 〈g, v〉 ∀ v ∈ V Mit: g := F – b – u(.,t) + u 0 ∈ C([0,T],V‘) Es ∃ q(.,t) ∈ L 2 (Ω): ∇q(.,t) = g + ν ∆ U ∇q ∈ C([0,T],H -1 (Ω)), q ∈ C([0,T],L 2 (Ω)) Dies läßt sich im Distributionssinn bzgl. t ableiten, für p := ∂q/∂t erhält man: ∇p = f – B(u) – ∂u/∂t + ν ∆u Nun folgt p ∈ L 2 ((0,T), L 2 (Ω)) & somit ist p der gesuchte Druck in (1). Lukas Köhler

14 1.X Das Millenium Problem Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Betrachte (1), eine schwache Lösung für (1) ist nur dann physikalisch sinnvoll, wenn gilt: i) p, u ∈ Ω x [0,∞) ii) ∫ ℝ n |u(x, t)| 2 < C ∀ t ≥ 0 Das Millenium Problem: Sei ν > 0 und n = 3. Sei u 0 (x) ein glattes, divergenzfreies Vektorfeld, welches die Bedingung (*) erfüllt. Nehme an, daß f(x,t) identisch null ist. Dann existieren glatte Funktionen p(x,t), u i (x,t) auf ℝ x [0,∞) welche (1) erfüllen und physikalisch sinnvoll sind. (*) |∂ α u 0 (x) / ∂x| ≤ C αK (1 + |x|) -K auf ℝ n, für irgendwelche α, K Anmerkung: In zwei Dimensionen sind diese Probleme schon seit längerem gelöst. Im drei dimensionale Fall weiß man allerdings, dass wenn man die Forderung [0,∞) aufgibt und für kleine T auf [0,T) übergeht, dann existieren Lösungen. Unter günstigen Annahmen läßt sich auch die Existenz von schwachen Lösungen zeigen. Lukas Köhler

15 Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme 2. Diskretisierung der Zeit, Grenzen der Technik Diskretisierung der Zeit Uniformes Gitter zur Approximation eines Kubikmeters mit einer Schrittweite von 1mm Diskretisierung der Zeit in 1000 Schritte: Komplexität Lösung durch trade-off zwischen Rechenzeit & Speicherkapazität (num. Lösungsstrategie) m 3 1m 3 x 1min Bsp.: (i, j, k) ∀ i, j, k double(i, j, k, p) ∀ i, j, k, p double ∼ 24 Gigabyte∼ 32 Terabyte Lukas Köhler

16 Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme 2. Aufgabenstellung & Numerische Lösungsstrategien Strategie 1: Linien Methode: Es wird Ω diskretisiert und ein AWP aufgestellt. Dieses AWP wird schließlich über jedem Zeitschritt betrachtet. Strategie 2: Raum Zeit Finite Elemente: Orts- & Zeitvariable werden gleichzeitig diskretisiert. Insbesondere: Transport-Diffusions Algorithmus: Linearisierung & Diskretisierung erfolgen gewissermaßen in einem Schritt. Problem: Durch Einbeziehung der Zeit in die inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen erhöht sich die Dimension, eine schwache Lösung wird nun auf Ω x (0, T) gesucht für Ω ⊂ ℝ n, n ∈ {2,3}. Es sind nun ∂u/∂t und (u · ∇)u stabil zu diskretisieren, bzw. zu linearisieren. Ziel:Einbeziehung der bekannten konformen Methode! Lukas Köhler

17 Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Diskretes Analogon zur schwachen Formulierung (2): Finde u h ∈ L 2 ([0,T],V h ), so daß ∀ v h ∈ C 1 ([0,T],V h ) gilt: -∫ [0,T] (u h, ∂v h /∂t) + ν ∫ [0,T] a(u h,v h ) + ∫ [0,T] N(u h,u h,v h ) = ∫ [0,T] (f,v h ) +(u 0,v h (.,0)). Vorbem.: Schritt 1: Т h sei affin äquivalente, zulässige, reguläre Unterteilung von Ω, weiterhin seien (X h, M h ) stabile Paare zugehöriger Finite Element Räume. Setze V h := {u h ∈ X h ⊂ X ⊂ H 0 1 (Ω) n | ∫ Ω p h div u h = 0 ∀ p h ∈ M h } (4) Schritt 2: Sei u h ∈ C 1 ((0,T),V h ) ⋂ C([0,T],V h ), dann ist (4) bzgl. t partiell integrierbar: (4) ⇔: Finde u h ∈ C 1 ((0,T),V h ) ⋂ C([0,T],V h ) mit u h (.,0) = u 0,h (∂u h /∂t, v h ) + 2 ν a(u h, v h ) + N(u h,u h,v h )= (f, v h ) ∀ v h ∈ V h, t ∈ (0,T) Bem.: Beachte die unrealistisch starken Regularitätsvoraussetzungen! 2.1 Linien Methode – Diskretisierung des Ortes (4*) Lukas Köhler

18 Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Definiere Operatoren A h, B h : V h → V h durch (A h u h, v h ) := a(u h, v h ) (B h (u h ), v h ) := N(u h,u h,v h ), So lässt sich (4*) umschreiben als gewöhnliches nicht lineares AWP: u h = F h (u h ) := f – ν A h u h –B h (u h ) u h (.,0) = u 0,h Schritt 3: Schritt 4: Dieses AWP lässt sich mit den üblichen Methoden bewältigen. A h hat Kondition O(h -2 ) Bei expliziten Zeitschrittverfahren muss die CFL-Bedingung τ ≤ ch 2 für eine Zeitschrittweite τ eingehalten werden. 2.1 Linien Methode – Aufstellung des gewöhnlichen AWP (5) Lukas Köhler

19 Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme 2.1 Ɵ -Schema – Diskretisierung der Zeit Für (5) ergibt sich bei konstanter Zeitschrittweite τ : u h 0 = u 0,h 1/ τ (u h n+1 – u h n ) = Ɵ (f n +1 – ν A h u h n +1 –B h (u h n +1 ) +(1 -Ɵ) (f n – ν A h u h n –B h (u h n ) bzw. u h 0 = u 0,h u h n +1 + τ Ɵ ν A h u h n +1 + τ Ɵ B h (u h n +1 ) = g n +1 := u h n + τƟ f n +1 + τ (1 – Ɵ) (f n – ν A h u h n –B h (u h n ) Ɵ-Schema: allgemeine Form eines linearen Einschrittverfahrens Die Näherung u h n +1 für u h (.,(n+1) τ ) ist also Lösung der diskreten stationären Navier-Stokes Gleichung: (u h n +1,) + τ Ɵ ν a(u h n +1, v h ) + τ Ɵ N(u h n +1, u h n +1, v h ) = (g n +1,v h ) ∀ v h ∈ V h Dieses Problem ist z.B. durch Fixpunktiteration, das Newton-Verfahren zu lösen. Lukas Köhler

20 Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Setze für 1 ≤ j ≤ N τ & Ɵ ∈ [0,1]: 1/ τ j-1 (t – t j-1 ) für t j-1 ≤ t ≤ t j λ j (t) := 1/ τ j (t j+1 – t) für t j ≤ t ≤ t j+1 0 sonst b j (t) := 4/ τ j 2 (t – t j )(t j+1 – t) λ j Ɵ (t):= λ j (t) + 3/2 (Ɵ – 1/2 ) (b j (t) – b j-1 (t)) Schritt 1: Vorbem.: Unterteile [0,T] durch 0 = t 1 < t 2 < … < t N τ < t N τ +1 = T & setze für 1 ≤ j ≤ N τ J j := [t j, t j+1 ], τ j :=t j+1 – t j ∀ t j sei Т h affin äquivalente, zulässige, reguläre Unterteilungen von Ω. V j sei der Raum der diskret divergenzfreien Geschwindigkeitsfelder. 2.2 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen Bem.: Die Funktionen b j und λ j sind die stetigen, stückweise linearen, nodalen Basisfunktionen zur Unterteilung von [0,T]. Mit der Simpsonregel: ∫ [t j-1,t j ] λ j Ɵ (t)dt = (1 – Ɵ) τ j-1 ∫ [t j,t j+1 ] λ j Ɵ (t)dt = Ɵ τ j Lukas Köhler

21 Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme 2.2 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung Die Raum-Zeit Finite Element Diskretisierung lautet: Finde u h, τ ∈ S τ k,-1 (V h( τ ) ), so dass ∀ v h, τ ∈ S τ Ɵ;k,0 (V h( τ ) ) gilt -∫ [0,T] (u h, τ, ∂v h, τ /∂t) + ν ∫ [0,T] a(u h, τ,v h, τ ) + ∫ [0,T] N(u h, τ,u h, τ,v h, τ ) = ∫ [0,T] (f, v h, τ ) +(u 0,v h, τ (.,0)) Vorbem.: Schritt 2: S τ k,-1 (V h( τ ) ) :=span{ χ τ j (t) t μ v j (x) | 0 ≤ μ ≤ k, 1≤ j≤ N τ, v j ∈ V j } S τ Ɵ;1,0 (V h( τ ) ):=span{ λ j Ɵ (t) v j (x) | 1 ≤ j ≤ N τ, v j ∈ V j } S τ Ɵ;k,0 (V h( τ ) ):= S τ Ɵ;1,0 (V h( τ ) ) ⊕ span{ b j (t) t μ w j (x) | 0 ≤ μ ≤ k –2, 1 ≤ j ≤ Nτ, w j ∈ V j } S τ k,-1 (V h( τ ) ) besteht also aus in t unstetigen Funktionen, welche stückweise Polynome vom Grad ≤ k mit Koeffizienten in V j sind. Funktionen in S τ Ɵ;k,0 (V h( τ ) ) sind global stetig, verschwinden zur Zeit T Und sind stückweise Polynome vom Grad ≤ k mit Koeffizienten in V j. (6) Lukas Köhler

22 Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme 2.2 Rückführung auf das Ɵ -Schema k = 0, u h j := u h, τ auf J j für 1 ≤ j ≤ N τ & v h, τ := λ j Ɵ (t)v j ⇒ u h 0 = u h,0 und(u h j – u h j–1, v j ) + Ɵ τ j ν a(u h j,v j ) + Ɵ τ j N(u h j,u h j,v j ) +(1 – Ɵ) τ j–1 ν a(u h j–1, v j ) + (1 – Ɵ) τ j–1 N(u h j–1,u h j–1,v j ) = ∫ [t j–1,t j+1 ] λ j Ɵ (t) (f, v j ) ∼ Ɵ τ j (f j, v j ) + (1 – Ɵ) τ j–1 (f j–1, v j ) Schritt 1: Schritt 2: (6) ⇔∑ j {(u h, τ (.,t j + 0) – u h, τ (.,t j – 0), v h, τ (.,t j )) +∫ [t j,t j+1 ] (u h, τ,∂v h, τ /∂t) + ν ∫ [t j,t j+1 ] a(u h, τ,v h, τ ) + ∫ [t j,t j+1 ] N(u h, τ,u h, τ,v h, τ )} = ∑ j ∫ [t j,t j+1 ] (f,v h, τ ) 1 ≤ j ≤ N τ (7) In Operatorschreibweise: u h 0 = u h,0 u h j + Ɵ τ j ν A h u h j + Ɵ τ j B h (u h j ) = u h j–1 + τ j Ɵ f j + τ j–1 (1 – Ɵ) (f j–1 – ν A h u h j–1 – B h (u h j–1 ) Schritt 3: Lukas Köhler

23 Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme 2.3 Transport-Diffusions Algorithmus (1) Vorbem.: Т h sei affin äquivalente, zulässige, reguläre Unterteilung von Ω, weiterhin seinen (X h, M h ) stabile Paare zugehöriger Finite Element Räume für Geschwindigkeit & Druck, V h sei der Raum der diskret divergenzfreien Geschwindigkeitsfelder. X h sei Lagranger`scher Finite Element Raum, d.h. ∃ nodale Basis (Gitterpunkte x i ). Aus dem Transport-Theorem folgt, daß ∂u/∂t + (u · ∇)u die totale zeitliche Ableitung entlang den Trajektorien ist, somit den Transport entlang den Charakteristiken beschreibt. Die Näherung u h n+1 für u h (.,t n+1 ) ergibt sich aus u h n für u h (.,t n ) wie folgt: Der nun folgende Algorithmus ist eine Variante der Linien Methode. Die wesentliche Idee ist die Rückführung des konvektiven Terms (u · ∇)u und der partiellen Ableitung ∂u/∂t auf die Materialableitung. Das Charak- teristikenverfahren nutzt eine Formulierung in Lagrangekoordinaten. Bem.: Lukas Köhler

24 Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme 2.3 Transport-Diffusions Algorithmus (2) Schritt 2: Diffusions Schritt: Löse das diskrete Analogon des Stokes Problems: 1/(t n+1 – t n ) (u n+1 - u(y(t n ),t n ) - ν ∆u n+1 + ∇p n+1 = f(.,t n+1 ) in Ω div u n+1 = 0 in Ω u n+1 = 0 auf ∂Ω Es wird also der Term ∂/∂t u h (x i,t n+1 ) + (u h (x i,t n+1 )·∇)u h (x i,t n+1 ) durch den folgenden Differenzenquotienten approximiert: 1/(t n+1 – t n ) (u h (x i,t n+1 ) - u h (y i (t n ),t n ) Transport Schritt: Löse für jeden Gitterpunkt x i das gewöhnliche AWP: d/dt y i (t) = u h n (y i (t)) für t n < t < t n+1 y i (t n+1 ) = x i Schritt 1: Lukas Köhler

25 Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme 2.4 Vergleich der verschiedenen Lösungswege Transport- Diffusions Algorithmus Raum Zeit Finite Elemente Linien Methode MerkmaleVorteile / Nachteile Komplexität O(h -3 ) Semidiskret Zeitpunktbetrachtung Nichtlineares AWP Komplexität O(1/∂t h -3 ) Diskretisierung in Ort & Zeit Komplette Historie Nichtlineares AWP Komplexität O(h -3 ) Diskretisierung in Ort & Zeit Zeitpunktbetrachtung Lineares AWP + Geringe Komplexität – Fehleranalyse schwierig – starke Regularität benötigt – m Stokes Prob. / Zeitschritt + Fehleranalyse leicht (relativ) – Sehr hohe Komplexität + Stabil (große Reynoldszahlen) + Geringe Komplexität + Ein Stokes Prob. / Zeitschritt – Aufwendige Implementierung Lukas Köhler

26 2.4 Zusammenfassung, Ausblick ∂u/∂t - ν ∆u + ∇p + (u · ∇)u = fin Ω x (0, T) div u = 0in Ω x (0, T) u = 0auf ∂Ω x (0, T) u(.,0) = u 0 in Ω Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme 1. Verstehen der verschiedenen Herausforderungen durch die Zeitabhängigkeit der instationären Gleichungen 3. Entwicklung numerischer Lösungsstrategien durch Varieren der Reihenfolge der zu diskretisierenden Variabeln 2. Existenz und Eindeutigkeit unter starken bzw. realitätsfernen Voraussetzungen an die Regularität („worst case“) Können jetzt die bekannten Methoden nutzen! Lukas Köhler

27 Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme 2.4 Quellen & Referenzen 1.Skript Numerische Strömungsmechanik, Prof. Dr. R. Verfürth, Ruhr-Universität Bochum 2.Lineare Funktionalanalysis, Prof. H. W. Alt, Springer 3. Finite Elemente, Prof. Dr. D. Braess, Springer 4.Dissertation Zeitabhängige gewichtete a posteriori-Fehlerschätzer Dr. M. Metscher, Rheinische Friedrich-Wilhelms Universität Bonn 5.Numerik partieller Differentialgleichungen, Prof. Dr. P. Knabner, Prof. L. Angermann, Springer Lukas Köhler

28 Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme Backup 1 – Transport Theorem Transport Theorem Sei f : Ω x (0, ∞) → ℝ hinreichend oft differenzierbar. Dann gilt für jedes Volumen V in Ω: d/dt ∫ V(t) f(x,t) dx = ∫ V(t) [ ∂/∂t f(x,t) + div(fv)(x,t) ] dx Beweis Siehe Vortrag Dr. M. A. Schweitzer Lukas Köhler


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