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Vielteilchenbeschreibung von Plasmen Plasmen sind Vielteilchen-Systeme (GO 10 20 Teilchen, langreichweitige Coulomb-Wechselwirkung)  Einzelteilchenbeschreibung.

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1 Vielteilchenbeschreibung von Plasmen Plasmen sind Vielteilchen-Systeme (GO Teilchen, langreichweitige Coulomb-Wechselwirkung)  Einzelteilchenbeschreibung nicht praktikabel Führt auf Hierarchie von Bewegungsgleichungen für Verteilungsfunktionen (BBGKY-Hierarchie) Problem der statistischen Mechanik: Verteilungsfunktionen Bsp.:

2 Vielteilchenbeschreibung von Plasmen   ... )3,2,1()2,1()3()3,1()2( )3,2()1()3()2()1(,,,,,, )2,1()2()1(,,,, )1(,,      hgfgf gfffftvrvrvrf gfftvrvrf ftvrf    Vereinfachung: Cluster-Entwicklung Abbruch der Hierarchie an geeigneter Stelle, z.B. nach Zweier-Korrelation Aber Vorsicht: in Plasmen langreichweitige Wechselwirkung! Lösung: Aufspaltung in “mittleres Feld” und “Stöße

3 1-Teilchen-Verteilungsfunktion Dichte der Teilchen einer Sorte  aus Verteilungsfunktion: Zahl der Teilchen im Phasenraum d 3 r d 3 v: Teilchenzahl-Erhaltung im System: Ohne Teilchenquellen und –senken im System folgt:

4 Einschub: Euler- und Lagrange-Bild Euler: ortsfestes Koord.system Lagrange: mitbewegtes System

5 1-Teilchen-Verteilungsfunktion Aufspaltung der Wechselwirkung zwischen Teilchen in mittleres Feld und “Stoßterme”: Kraft durch mittleres Feld (durch Plasmateilchen erzeugt bzw. extern):

6 Die Vlasov-Gleichung Keine Teilchenstöße: Mittlere Felder aus: Poisson-Gleichung: Maxwell-Gleichungen:Stromdichte

7 Landau-Dämpfung Elektrostatische Plasmaschwingungen in x-Richtung, Ionen unbeweglich  x kleine Auslenkungen: f = f 0 + f 1 nur gestörtes E-Feld: E = E 1 Störungsansatz: Ebene Wellen für Störgrößen: liefert:

8 Landau-Dämpfung E-Feld aus Poisson-Gleichung: Mit und folgt Dispersionsrelation Für Maxwell-Verteilung: Dämpfung ohne Stöße!

9 Prozess selbst ist stoßfrei, aber man braucht Stöße, um Verteilungsfunktion “wiederherzustellen”, Dämpfungsrate bleibt stoßfrei Dämpfungsrate kann negativ werden -> Instabilitäten Landau-Dämpfung Anschauliches Beispiel für nichtlineare Landau-Dämpfung

10 Landau-Dämpfung Experimentelle Verifikation Malmberg, Wharton, PRL 1966

11 Betrachte Stöße zwischen 2 Stoßpartnern: Die Boltzmann-Gleichung Gültigkeit beschränkt auf niedrige Dichte und kurzreichweitige Wewi (Neutralgas)

12 Kinetische Gleichung für Plasmen Debye-Abschirmung: Bewegungsgleichung für f 2 :

13 Fokker-Planck-Gleichung In idealen (nicht schwach ionisieren) Plasmen Kleinwinkelstöße relevant, nicht „starke“ Söße Wirkung der Stöße betrachtet als Abbremsung und langsame Diffusion im Geschwindigkeitsraum

14 Abbremsung durch Coulomb-Stöße Abbremsen (statt Ablenken) +  

15 Abbremsung durch Coulomb-Stöße Abbremsen (statt Ablenken) +  

16 Coulomb-Stöße: Energieaustausch Rutherford-Streuformel: Zahl der einströmenden Teilchen: dd v t dt

17 Coulomb-Stöße: Energieaustausch

18 Für endliche Masse der Hintergrundteilchen: v t : Relativgeschwindigkeit

19 Abbremsung eines (thermischen) Teststrahls an Plasma thermische Elektronen bremsen gleichermaßen an Ionen und Elektronen ab (Bedingung: v th,e >> v th,i ) thermische Ionen bremsen gleichermaßen an Ionen und Elektronen ab (Bedingung: T i ~T e ) kein Unterschied für Teststrahl überthermischer Elektronen überthermische Ionen bremsen verstärkt an Elektronen ab, weil

20 Abbremsung eines Teststrahls im thermischen Plasma Abbremsung eines Teststrahls an Plasma

21 Elektronenstrahl (m i /m e =25)Ionenstrahl Abbremsung eines Teststrahls im thermischen Plasma Abbremsung an Ionen, Relativgeschwindigkeit Abbremsung an Elektronen Abbremsung an Ionen Abbremsung an Elektronen

22 Neben Abbremsung auch Ablenkung der Testteilchen Abbremsung an Coulomb-Potential in Stoßterm der Fokker-Planck-Gleichung: Im Ortsraum war früher: Analog zur Diffusion im Ortsraum nun anisotrope Diffusion im Geschwindigkeitsraum:

23 Diffusion im Geschwindigkeitsraum Analog zur Diffusion im Ortsraum nun anisotrope Diffusion im Geschwindigkeitsraum: Fokker-Planck-Stoßterm: Fokker-Planck-Gleichung: Für Teststrahl, abgebremst am Hintergrundplasma:

24 Änderung von Parallel- und Senkrechtenergie bei Abbremsung Leichte Test-Teilchen: Impulsübertrag stark an schweren Hintergrundteilchen Abbremsung verbunden mit starkem Aufbau von Senkrechtenergie

25 Änderung von Parallel- und Senkrechtenergie bei Abbremsung Für große Geschwindigkeit des Test-Strahls: Kleine Masse der Testteilchen: Energie-und Impulsaustausch an Hintergrundteilchen Große Masse der Testteilchen: Energie- aber kaum Impulsaustausch an Hintergrundteilchen

26 Diffusion im Geschwindigkeitsraum q ( Wärme)  (Teilchen) ext. Heizung Strahlung f(u) u log f(u) u (eV) 1 0,1 0,01 Heizung  u W inel. inelastische Stöße Bsp.: räumlich homogenes GG:  f/  r=0 Inelatische Stöße, keine e-e-Stöße (geringer Ionisationsgrad!)

27 elastische Stöße Ionisation Strahlung inelastische Stöße Änderung der Verteilungsfunktion durch inelastische Stöße Verteilungsfunktion für Ar-Plasma Abweichung von Maxwell- Verteilung durch inelastische Stöße

28 Zusammenfassung Statistische Beschreibung von Plasmen mit Hilfe von Verteilungsfunktionen führt auf Hierarchie von Bewegungsgleichungen für Verteilungsfunktionen (BBGKY-Hierarchie) Vereinfachung: Cluster-Entwicklung Abbruch der Hierarchie an geeigneter Stelle, z.B. nach Zweier-Korrelation Problem in Plasmen: langreichweitige Wechselwirkung! Lösung: Aufspaltung in “mittleres Feld” und “Stöße Kinetische Gleichung:

29 stoßfrei Die Vlasov-Gleichung trotzdem Dämpfung (Landau-Dämpfung)

30 Berücksichtigung von Stößen Boltzmann-Gleichung: Zweier-Stöße berücksichtigt v.a. geeignet für Neutralgase geringer Dichten in Plasmen: - langreichweitige Wechselwirkung (Coulomb-Potential) - v.a. Kleinwinkelstöße relevant Fokker-Planck-Gleichung: Abbremsung und Diffusion im Geschwindigkeitsraum

31 Diffusion im Geschwindigkeitsraum Zunächst: Diffusion im Ortsraum (schon früher behandelt) Teilchenfluß durch Diffusionsansatz: falls für t=0  - Funktion in x erhält man Gauß-Verteilung:

32 Einschub: Euler- und Lagrange-Bild in Hydrodynamik Mit Kraftdichte zerlegt in externen Anteil und Kraftdichte durch benachbarte Massenelemente, folgt Euler-Gleichung: Änderung des Bewegungszustandes ohne Kraft möglich, aber auch Stationarität trotz Kraft

33 Beispiele


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