Vielteilchenbeschreibung von Plasmen

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1 Vielteilchenbeschreibung von Plasmen
Plasmen sind Vielteilchen-Systeme (GO 1020 Teilchen, langreichweitige Coulomb-Wechselwirkung)  Einzelteilchenbeschreibung nicht praktikabel Problem der statistischen Mechanik: Verteilungsfunktionen Bsp.: -Kollektive Effekte wegen langreichweitiger Coulomb-wewi -> einfache Einzel-Teilchenbeschreibung eigentlich nicht zulaessig, Wewi wichtig Einzelteilchenbeschreibung muesste Bewegungsgleichung fuer alle diese Teilchen loesen, die gekoppelt sind durch elektrische und magnetische Felder (Felder beeinflussen Teilchenbewegung, Teilchen selbst erzeugen auch Felder! das geht auf modernen Computern bis etwa 10^7 Teilchen (man braucht auch da vereinfachte Modelle fuer Stoesse), aber fuer realistische Teilchenzanhl ist numerische Loesung unmoeglich i.allg. Interessiert man sich auch gar nicht fuer Einzelteilchen, sondern fuer gemittelte Groessen, wie lokale Dichte oder mittelere Geschwindigkeit -> statistische Beschreibung moeglich - Einfuehrung von Verteilungsfunktionen (schon vorher bei Maxwell-Verteilung behandelt) 1-Teilchen-Verteilungsfkt.: WK, ein Teilchen an einem best. Ort mit Gesch. v vorzufinden - f_1 nicht unabh. vom restlichen Teilchen des Systems -> Gleichung fuer f_1 enthaelt WK, ein zweites Teilchen an einem bestimmten Ort vorzufinden etc. Man findet Bewegungsgleichungen, fuer eine Verteilungsfkt, die immer die jeweils hoehere Verteilungsfkt enthaelt BBGKY: Bogoljubov, Born, Green, Kirkwood, Yvon Führt auf Hierarchie von Bewegungsgleichungen für Verteilungsfunktionen (BBGKY-Hierarchie)

2 ( ) ( ) ( ) Vielteilchenbeschreibung von Plasmen r r f r , v , t º f (
Vereinfachung: Cluster-Entwicklung ( r r ) f r , v , t f ( 1 ) 1 1 1 1 ( r r r r ) f r , v , r , v , t f ( 1 ) f ( 2 ) + g ( 1 , 2 ) 2 1 1 2 2 1 1 ( r r r r r r ) f r , v , r , v , r , v , t f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 3 ) + f ( 1 ) g ( 2 , 3 ) + 3 1 1 2 2 3 3 1 1 1 1 f ( 2 ) g ( 1 , 3 ) + f ( 3 ) g ( 1 , 2 ) + h ( 1 , 2 , 3 ) 1 1 + ... Abbruch der Hierarchie an geeigneter Stelle, z.B. nach Zweier-Korrelation - Man kann im Sinne einer Stoerungsentwicklung nun verschiendene Teilchenkorrelationen mitnehmen, am einfachsten: Statistische Unabhaengigkeit der Teilchen: f_2(1,2) approx. f_1(1) f_1(2), g(1,2) ist dann ein Mass fuer Abweichung von dieser Naeherung oft nimmt man Zweier-Stoesse mit und bricht dann ab, das geht aber eigentlich auch nur bei kurzreichweitigen WW, wie z.B. im idealen Gas Loesung in Plasmen: Aufspaltung der WW in einen Teil, der fuer alle Teilchen identisch ist (mittleres Feld und behandelt diesen Teil wie externe Felder) und einen kurzreichweitigen Anteil (Stoesse) Aber Vorsicht: in Plasmen langreichweitige Wechselwirkung! Lösung: Aufspaltung in “mittleres Feld” und “Stöße

3 1-Teilchen-Verteilungsfunktion
Dichte der Teilchen einer Sorte  aus Verteilungsfunktion: Zahl der Teilchen im Phasenraum d3r d3v: Teilchenzahl-Erhaltung im System: Ohne Teilchenquellen und –senken im System folgt: Betrachte keine Korrelationenn zwischen den Teilchen ausser mittlerem Feld normierte Verteilungsfunktion (mit Hut): ist normiert auf 1 (Integration ueber geasmten Phasenraum) Teilchenzahl im Gesamtsystem folgt aus Integration ueber Phasenraum Wenn es keine Teilchenquellen und Senken im System gibt, folgt df/dt=0 Analog zur Beschreibung einer Fluessigkeit kann man Bewegung der Teilchen einer Sorte (Ionen, e, Neutralteilchen) analog zur Stroemung einer Fluessigkeit beschreiben (nur nicht im Ortsraum, sondern im 6D Phasenraum)

4 Einschub: Euler- und Lagrange-Bild
mitbewegtes System Euler: ortsfestes Koord.system Lagrange: Koordsystem bewegt sich mit einer Fluessigkeit d/dt: Ableitung im mitbewegten System Del/del t: Ableitung im ortsfesten System

5 1-Teilchen-Verteilungsfunktion
Aufspaltung der Wechselwirkung zwischen Teilchen in mittleres Feld und “Stoßterme”: Jetzt das Gleiche, aber im 6d Phasenraum Dv/dt ist Kraft Kraft: E-Felder un d Lorentz-Kraft Stoesse entsprechen mikroskopischen Feldern (WW auf kleinen Skalen, z.B. in Debye-Kugel) Fuer makroskopische Felder wird ueber diese Groessenskalen gemittelt Kraft durch mittleres Feld (durch Plasmateilchen erzeugt bzw. extern):

6 Die Vlasov-Gleichung Keine Teilchenstöße: Mittlere Felder aus:
Poisson-Gleichung: Anwendung der Vlasov-Gleichung zur Beschreibung von kinetischen Effekten in Plasmen, z.B. Wellen, Resonanzphaenomene Stoesse sind in Fusionsplasmen selten und muessen nicht fuer alle Probleme einbezogen werden Ladungsdichte und Stromdichte erhaelt man als Integral ueber Gesschwindigkeitsraum (sie bleiben natuerlich ortsabhaengig) Maxwell-Gleichungen: Stromdichte

7 Landau-Dämpfung Elektrostatische Plasmaschwingungen in x-Richtung, Ionen unbeweglich Störungsansatz: + d x - kleine Auslenkungen: f = f0 + f1 nur gestörtes E-Feld: E = E1 - Untersuche Plasmaschwingungen wie in Vorlesung 1, hier zur Vereinfachung ohne Magnetfeld - Fuer Frequenzen in GO der Plasmafrequenz koennen Ionen als statisch angesehen werden, daher wird nur Bewegung der Elektronen betrachtet - Beschraenkung auf eine Dimension: elektrostatische Schwingung entlang der x-Achse - Annahme, dass Stoerung duech E-Felder klein, so dass Stoerungsansatz gerechtfertigt ist, f_0: ungestoerte Verteilungsfunktion, 1. Ordnung in f_1 betrachten Ebene Wellen für Störgrößen: liefert:

8 Landau-Dämpfung E-Feld aus Poisson-Gleichung: Mit und
folgt Dispersionsrelation E_1 aus Poisson-Gleichung, wieder Fourier-Ansatz Gestoerte Dichte durch gestoerte Verteilungsfunktion ersetzt f1 in Integral einsetzen, Gleichung durch ikE_1 teilen Gleichung gibt Beziehung zwischen omega und k, ist also eine Dispersionsrelation Integralgleichung hat einen Pol, Integration in komplexer Ebene, um Pol zu umgehen Bei Behandlung von Plasmaschwingungen in Vorlesung 1 hatten wir implizit T=0 angenommen, Bei endlicher Temperatur, d.h. einem Gradienen in der Verteilungsfunktion erhaelt man eine Daempfung Also keine Dissipation, keine Entropieerhoehung, Entdecker: Landau Diesen Effekt gibt es nur in kinetischer Theorie, wenn wir spaeter Fluessigkeitsbeschreibung verwenden, gibt es den Effekt nicht In Wellenphysik sehr wichtig, denn Absorption in fast stossfreien Plasmen erreicht Für Maxwell-Verteilung: Dämpfung ohne Stöße!

9 Landau-Dämpfung Anschauliches Beispiel für nichtlineare Landau-Dämpfung Prozess selbst ist stoßfrei, aber man braucht Stöße, um Verteilungsfunktion “wiederherzustellen”, Dämpfungsrate bleibt stoßfrei Uebertragung von Energie zwischen Welle und Teilchen moeglich, wenn in der Nahe der Phasengeschwindigkeit der Welle Gradient in Der Verteilungsfiunktion (im Geschwindigkeitsraum) existiert Teilchen, die exakt Phasengeschw. der Welle haben, sehen im Mittel kein e-Feld, ein etwas langsameres Teilchen wird beschleunigt Auf Phasengeschwindigkeit, ein etwas schnelleres Teilchen abgebremst Daempfung: mehr Teilchen mit geringerer Geschwindigkeit (df/dv<0) , Welle uebertraegt Energie auf Teilchen Anwachsen einer Welle (Instabilitaet) falls df/dv>0 Welle-Teilchen-WW fuehrt zur Abflachung der Veteilungsfunktion in der Naehe der Phasengeschwindigkeit der Welle Landau-Daempfung waere zu Ende, wenn Verteilungsfunktion angeflacht ist, man braucht Stoesse, um Gradienten der Verteilungsfunktion aufrechtzuerhalten Das obige Bild wird oft in Lehrbuechern verwendet (auch als Analogon zu einem Surfer, der an Position A auf der Welle reitet und sich Mit ihrer Phasengeschwindigkeit fortbewegt) Strengenommen ist die Erklaerung nur richtig fuer die nichtlineare Landau-Daempfung, denn die Amplitude muss gross sein, so dass Die Teilchen im Potential der Welle gefangen sind, das aber widerspricht unserer Ableitung Dämpfungsrate kann negativ werden -> Instabilitäten

10 Landau-Dämpfung Experimentelle Verifikation
1965 Malmberg and Wharton: Plasmawellen angeregt und gemessen entlang einer stossfreien Plasmasaeule Phasen und Amplituden der Wellen als Funktion vom Ort gemessen Man kann zeigen, dass Im(k)/Re(k) ~ exp(-v/v_th)^2 Malmberg, Wharton, PRL 1966

11 Die Boltzmann-Gleichung
Betrachte Stöße zwischen 2 Stoßpartnern: Gültigkeit beschränkt auf niedrige Dichte und kurzreichweitige Wewi (Neutralgas) Stossterme, einfachster Fall: Zweier-Stoesse mit kleinem Stossparameter, aber nicht fuer Plasmen, sondern fuer Neutralgase (sonst langreichweitige Wewi) Durch Stoss keine Aenderung im Ort, sondern in Geschwindigkeit. (Im Ort lambda_s ist das Gebiet, ueber das Wahrscheinlichkeitsaussagen mit Hilfe der Verteilungsfunktion gemacht werden). Aenderung der Verteilungsfunktion prop zu Relativgeshwindigkeit der Stosspartner, Streuquerschnitt (selbst abh von Relativgeschw und Ablenkwinkel), dem Produkt der WK-Fktn fuer die beiden Stosspartner (WK-dichte, dass diese beiden gerade am Ort mit den Geschwindigkeiten w und w^_ sind). Integration ueber Raumwinkel Omega und Geschw des einen Stosspartners (d.h. der Relativgeschw) Dieser Stossterm haengt nur von den beiden Stosspartnern ab, d.h. von ihren atomaren Eigenschaften Boltzmann-Stossterm fuehrt auf Thermalisierung, er ist nur im thermodyn. GG Null

12 Kinetische Gleichung für Plasmen
Debye-Abschirmung: Boltzmanngleichung: nur Zweier-Stoesse, aber im Plasma kollektive wewi, v.a. Debye-Abschirmung Debye-Abschirmung kann leicht einbezogen werden durch Modifiktion der 2T-Verteilungsfkt, beruecksichtigt, dass weniger Teilchen der gleichen Ladung in der Naehe einer Probeladung sind, insbesondere sehr wenig Teilchen innerhalb der Landau-Länge: E_pot=E_therm Eigentlich ist Debye-Abschirmung nicht korrekt, da sich Teilchen bewegen, nimmt sie an, dass die Teilchen sich Unendlich schnelle in Debye-Wolke anordnen, ist etwa richtig fuer Abschirmung der Ionen durch e, aber nicht fuer e-e-WW Bewegungsgleichung fuer f2 mit C2, der 3T-Korrelationen enthält, K_1,2: WW-Kräfte zwischen den Teilchen 1 und 2, K_f1 bzw K_f2 sind Kräfte auf die Teilchen 1 und 2 im mittleren Feld Echte Dreier-Stoesse wichtig fuer ganz hohe Dichten (Gase oder Plamen) Bewegungsgleichung für f2:

13 Fokker-Planck-Gleichung
In idealen (nicht schwach ionisieren) Plasmen Kleinwinkelstöße relevant, nicht „starke“ Söße Wirkung der Stöße betrachtet als Abbremsung und langsame Diffusion im Geschwindigkeitsraum Im Plasma aber auch keine „starken Stoesse“ (einzelne 90°-Stöße) wichtig, sondern viele Kleinwinkelstoesse Kleinwinkelstöße ändern Geschw nur langsam, daher bescheibt Fokker-Planck-Stoßterm Änderung als Diffusion im Geschwindigkeitsraum

14 Abbremsung durch Coulomb-Stöße
Abbremsen (statt Ablenken) + a 

15 Abbremsung durch Coulomb-Stöße
Abbremsen (statt Ablenken) + a 

16 Coulomb-Stöße: Energieaustausch
Rutherford-Streuformel: Zahl der einströmenden Teilchen: ds vtdt

17 Coulomb-Stöße: Energieaustausch

18 Coulomb-Stöße: Energieaustausch
Für endliche Masse der Hintergrundteilchen: vt: Relativgeschwindigkeit

19 Abbremsung eines (thermischen) Teststrahls an Plasma
thermische Elektronen bremsen gleichermaßen an Ionen und Elektronen ab (Bedingung: vth,e >> vth,i) thermische Ionen bremsen gleichermaßen an Ionen und Elektronen ab (Bedingung: Ti~Te) Teststrahl mit Teilchen, die gerade therm Geschw haben Abbremsung an „stehenden“ Teilchen e bremsen ziemlich gleichmäßig an e und i ab, so lange v_e,th >> v_,th ist Ionen bremsen gleichmäßig an e und i ab, so lange T_e ~ T_i E-Strahl mit überthermischer Geschw bleibt alles gleich, denn die Elektronengeschw ist weiter höher als Ionengeschw Für überthermische Ionen, die etwa Elektronengeschw haben, ändert sich Verhältnis der Abbremskräfte: die Abbremsung an den e wird stärker als an Ionen (dabei werden Ionen nur noch abgebremst und kaum abgelenkt) Bsp: Heizung durch Neutralteilchen: Ionen heizen zunächst nur Elektronen (insbesondere richtig für Fusion, wo schnelle alpha-Teilchen die Elektronen heizen), andere Beispiele: energiereiche Ionen, die auf Festkörper treffen: dort wird Abbremskraft als stopping power bezeichnet Im therm Plasma Vertlgsfkt für Geschw des Hintergrundplasmas Kraft propto Dichte der Testteilchen, 1/reduzierte Masse, 1/ Relativgeschw kein Unterschied für Teststrahl überthermischer Elektronen überthermische Ionen bremsen verstärkt an Elektronen ab, weil

20 Abbremsung eines Teststrahls an Plasma
Abbremsung eines Teststrahls im thermischen Plasma Teststrahl mit Teilchen, die gerade therm Geschw haben Abbremsung an „stehenden“ Teilchen e bremsen ziemlich gleichmäßig an e und i ab, so lange v_e,th >> v_,th ist Ionen bremsen gleichmäßig an e und i ab, so lange T_e ~ T_i E-Strahl mit überthermischer Geschw bleibt alles gleich, denn die Elektronengeschw ist weiter höher als Ionengeschw Für überthermische Ionen, die etwa Elektronengeschw haben, ändert sich Verhältnis der Abbremskräfte: die Abbremsung an den e wird stärker als an Ionen (dabei werden Ionen nur noch abgebremst und kaum abgelenkt) Bsp: Heizung durch Neutralteilchen: Ionen heizen zunächst nur Elektronen (insbesondere richtig für Fusion, wo schnelle alpha-Teilchen die Elektronen heizen), andere Beispiele: energiereiche Ionen, die auf Festkörper treffen: dort wird Abbremskraft als stopping power bezeichnet Im therm Plasma Vertlgsfkt für Geschw des Hintergrundplasmas Kraft propto Dichte der Testteilchen, 1/reduzierte Masse, 1/ Relativgeschw

21 Abbremsung eines Teststrahls im thermischen Plasma
Elektronenstrahl (mi/me=25) Ionenstrahl Abbremsung an Elektronen Abbremsung an Elektronen Linkes Bild: Abbremsung eines Elektronenstrahls an Hintergrundplasma im thermischen Plasma (T_e=T_i) bei niedriger Geschw e an Ionen, bei höherer an e abgebremst Wichtig ist Relativgeschw, v_i~sqrt(T_i/m_i)~ sqrt(T_e/m_i)~_th,e/sqrt(m_i) -> bei etwa 1/5 von v_th,e wird an i abgebremst, Genauere Rechnung mit Verteilgsfkt des Hintergrundplasmas zeigt das linke Bild Rechtes Bild: Abbremsung eines Ionenstrahls: bis zu therm. Geschw der Ionen Abbremsung an Ionen, für höhere Geschw fast ausschließlich an Elektronen Abbremsung an Ionen Abbremsung an Ionen, Relativgeschwindigkeit

22 Neben Abbremsung auch Ablenkung der Testteilchen
Abbremsung an Coulomb-Potential in Stoßterm der Fokker-Planck-Gleichung: Im Ortsraum war früher: Linkes Bild: Abbremsung eines Elektronenstrahls an Hintergrundplasma im thermischen Plasma (T_e=T_i) bei niedriger Geschw e an Ionen, bei höherer an e abgebremst Wichtig ist Relativgeschw, v_i~sqrt(T_i/m_i)~ sqrt(T_e/m_i)~_th,e/sqrt(m_i) -> bei etwa 1/5 von v_th,e wird an i abgebremst, Genauere Rechnung mit Verteilgsfkt des Hintergrundplasmas zeigt das linke Bild Rechtes Bild: Abbremsung eines Ionenstrahls: bis zu therm. Geschw der Ionen Abbremsung an Ionen, für höhere Geschw fast ausschließlich an Elektronen Analog zur Diffusion im Ortsraum nun anisotrope Diffusion im Geschwindigkeitsraum:

23 Diffusion im Geschwindigkeitsraum
Analog zur Diffusion im Ortsraum nun anisotrope Diffusion im Geschwindigkeitsraum: Für Teststrahl, abgebremst am Hintergrundplasma: Fokker-Planck-Gleichung: Konstanter Diffusionskoeff. Wuerde liefern: Gamma= -D div f Diffusionskoeffizient hängt nur über f_b von Masse der Hintergrundteilchen ab (bei gleicher Energie hängt Verteilung der Geschwindigkeit ja von Masse ab Fokker-Planck-Stoßterm:

24 Änderung von Parallel- und Senkrechtenergie bei Abbremsung
Leichte Test-Teilchen: Impulsübertrag stark an schweren Hintergrundteilchen Abbremsung verbunden mit starkem Aufbau von Senkrechtenergie Zeitl Änd eines monoenerget Teilchenstrahls durch Wewi mit Maxwell-Hintergrund Links: leichte testteilchen, v_th~1/Sqrt(m_t), nu ~1/m_t/vth^3 - Abbremsung: Kraft~1/m_rel /v_rel^2, Impulsübertrag: an leichten und schweren Hintergrundteilchen gleich beim Abbremsen gleichzeitig Aufbau von Senkrecht-Energie Mitte: Gleiche Massen, etwas langsamerer Aufbau von Senkrechtenergie Rechts: Schwere Testteilchen, kaum Aufbau von Senkrecht-Energie (schwere Testteilchen haben kaum Impulsaustausch mit leichten, aber Energie-Austausch!

25 Änderung von Parallel- und Senkrechtenergie bei Abbremsung
Für große Geschwindigkeit des Test-Strahls: Zeitl Änd eines monoenerget Teilchenstrahls durch Wewi mit Maxwell-Hintergrund Links: leichte testteilchen, v_th~1/Sqrt(m_t), nu ~1/m_t/vth^3 - Abbremsung: Kraft~1/m_rel /v_rel^2, Impulsübertrag: an leichten und schweren Hintergrundteilchen gleich beim Abbremsen gleichzeitig Aufbau von Senkrecht-Energie Mitte: Gleiche Massen, etwas langsamerer Aufbau von Senkrechtenergie Rechts: Schwere Testteilchen, kaum Aufbau von Senkrecht-Energie (schwere Testteilchen haben kaum Impulsaustausch mit leichten, aber Energie-Austausch! Kleine Masse der Testteilchen: Energie-und Impulsaustausch an Hintergrundteilchen Große Masse der Testteilchen: Energie- aber kaum Impulsaustausch an Hintergrundteilchen

26 Diffusion im Geschwindigkeitsraum
Bsp.: räumlich homogenes GG: f/ r=0 Inelatische Stöße, keine e-e-Stöße (geringer Ionisationsgrad!) log f(u) u ( eV ) 1 0,1 0,01 Heizung d u W inel . inelastische Stöße q ( Wärme ) G ( Teilchen ext . Heizung Strahlung f(u) u Im Plasma aber auch keine „starken Stoesse“ (einzelne 90°-Stöße) wichtig, sondern viele Kleinwinkelstoesse Kleinwinkelstöße ändern Geschw nur langsam, daher bescheibt Fokker-Planck-Stoßterm Änderung als Diffusion im Geschwindigkeitsraum Hier als vereinfachtes Beispiel zunächst räumlich homogene Verteilung und inelastische Stoßprozesse e-a E-e-Stöße sind vernachlässigt, das geht nur bei ganz kleinem Ionisationsgrad GG nur noch energieabhängig, Wärmequelle (Heizung) imn GG mit Verlust (Strahlung, Konvektion) Rechts Änbderung der ursprünglichen Maxwell-Verteilung durch inelatische Stoßprozesse. Durch inelastische Stoßprozesse wird energetischer Teil der Verteilungsfkt abgebaut, Es werden langsame e erzeugt, d.h. mehr niedrigenergetische e als in Maxwell-Vertlg. Die Verluste bei hihen Energien können nicht aufgefüllt werden, da elast. Streuung mit schweren Teilchen (a) nur geringen Energietransport für die Elektronen bringt, dazu sind e nötig und daher ein Ionisationsgrad von > 1%. Daher gibt es in technishen Plasmen (Niedertemp.plasmen) den typischen Einbruch der Verteilungsfkt bei hohen Energien Formel: ist Formel für Verteilungsfkt der Energie u, u_i: Ionisierungsenergie, Teilchen mit Energie u+u_i werden inelastisch gestreut auf die Enedenergie u. Die Änderung der Vertlgsfkt geschieht prop zur Stoßfrequenz

27 Änderung der Verteilungsfunktion durch inelastische Stöße
Ionisation Strahlung inelastische Stöße Verteilungsfunktion für Ar-Plasma Abweichung von Maxwell-Verteilung durch inelastische Stöße Starker Abfall der Verteilungsfkt für hohe Energien (wo inelast. Stoßprozesse wesentlich sind): Im Bereich der Ionisierungsenergie fehlen schon mehrere Zehnerpotenzen, im niederenergetischen Bereich ist Plama etwas „heisser“ als bei Maxwell-Verteilg

28 Zusammenfassung Statistische Beschreibung von Plasmen mit Hilfe von Verteilungsfunktionen führt auf Hierarchie von Bewegungsgleichungen für Verteilungsfunktionen (BBGKY-Hierarchie) Vereinfachung: Cluster-Entwicklung Abbruch der Hierarchie an geeigneter Stelle, z.B. nach Zweier-Korrelation Problem in Plasmen: langreichweitige Wechselwirkung! Lösung: Aufspaltung in “mittleres Feld” und “Stöße Kinetische Gleichung:

29 Die Vlasov-Gleichung stoßfrei trotzdem Dämpfung (Landau-Dämpfung)

30 Berücksichtigung von Stößen
Boltzmann-Gleichung: Zweier-Stöße berücksichtigt v.a. geeignet für Neutralgase geringer Dichten in Plasmen: - langreichweitige Wechselwirkung (Coulomb-Potential) - v.a. Kleinwinkelstöße relevant Fokker-Planck-Gleichung: Abbremsung und Diffusion im Geschwindigkeitsraum

31 Diffusion im Geschwindigkeitsraum
Zunächst: Diffusion im Ortsraum (schon früher behandelt) Teilchenfluß durch Diffusionsansatz: Diffusion an eindimensionalem Bsp im Ortsraum: Teilchen erfahren in gleich großen Zeitintervallen delta t Versetzungen delta x (Richtung beliebig) WK-Verteilung für Versetzung in jedem Schritt i gleich groß p(delta x) und ist unabh von vorherigen Schritt i-1 Prozess als random walk bezeichnet (erstmals bei Brownscher Bewegung) Teilchen befinde sich anfänglich am Ort x=0, WK, dass es sich nach k Schritten am Ort x befindet ist: Nach einem Schritt p(delta x) Nach 2 Schritten Produkt aus 2 WK, daß Teilchen sich erst am Ort y befunden hat (nach erster Versetzung) und dann nach 2. Versetzung am Ort x landet usw für unendlich viele Versetzungen folgt Gauß-Verteilung für p(x), Gauss-Verteilung: ~exp(-1/2 (x-a)^2/sigma^2), sigma^2: Varianz der Verteilung, ist Erwartungswert von (Abweichung von Max der Verteilung)^2, also (Abweichungvon x=0)^2 Für Vertlgsfkt im Ortsraum erhält man Verbreiterung, die man auch als Diffusion beschreiben kann - beschreibe n Teilchen durch Teilchendichte n(x,t), zeitlichen Entw des Teilchenflusses kann durch Diffusion beschrieben werden falls für t=0 - Funktion in x erhält man Gauß-Verteilung:

32 Einschub: Euler- und Lagrange-Bild in Hydrodynamik
Mit Kraftdichte zerlegt in externen Anteil und Kraftdichte durch benachbarte Massenelemente, folgt Euler-Gleichung: Lagrange: Koordsystem bewegt sich mit einer Fluessigkeit d/dt: Ableitung im mitbewegten System Del/del t: Ableitung im ortsfesten System Änderung des Bewegungszustandes ohne Kraft möglich, aber auch Stationarität trotz Kraft

33 Beispiele