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§6 Reale Feste und Flüssige Körper Kraft auf ein Atom: Atomares Modell der Aggregatszustände  potentielle Energie hängt von der Anordnung der Atome ab.

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1 §6 Reale Feste und Flüssige Körper Kraft auf ein Atom: Atomares Modell der Aggregatszustände  potentielle Energie hängt von der Anordnung der Atome ab Gaub1WS 2014/15

2 Beschreibung des Festkörpers als Kristall: Atomares Modell der Aggregatszustände Ortsvektoren der Atome: spannen die Einheitszelle auf. Gaub2WS 2014/15

3 Beschreibung der Kräfte im Kristall durch Federn: Atomares Modell der Aggregatszustände  Atome schwingen bei der Temperatur T mit der mittleren kinetischen Energie Kristall: E kin << Bindungsenergie Gaub3WS 2014/15

4 Phasenübergang ins Flüssige: Atomares Modell der Aggregatszustände Potentielle Energie wird vergleichbar mit kinetischer Energie  Atome können Gitterplätze verlassen  nur noch Aufenthaltswahr- scheinlichkeiten für Atome beschreibbar Durch Fäden verbundene Punktteilchen (konstanter Abstand, variabler Winkel) eignen sich als Modell.  Unordnung nimmt sprunghaft zu  Mittlerer Abstand nimmt geringfügig zu Gaub4WS 2014/15

5 Phasenübergang zum Gasförmigen: Atomares Modell der Aggregatszustände potentielle Energie wird klein gegen die kinetische Energie  Atome können sich frei bewegen Der mittlere Abstand benachbarter Teilchen ist abhängig vom zur Verfügung stehenden Volumen. Gaub5WS 2014/15

6 Deformierbare feste Körper Unterscheide: Hooke‘sches Gesetz elastische Körper plastische Körper Kraft auf einen elastischen Körper: Def.: Zugspannung: Def.: Relativen Dehnung:  Hooke‘sches Gesetz: Elastizitätsmodul Gaub6WS 2014/15

7 Hooke‘sches Gesetz  Für kleine Auslenkungen ist F linear. P Proportionalitätsgrenze F Fließgrenze Z Zerreißgrenze Das lineare Kraftgesetz ist eine Näherung, besser: Taylorentwicklung von E um ist Gleichgewichtslage Gaub

8 Hooke‘sches Gesetz Die Fließgrenze markiert das Ende der elastischen Verformbarkeit. Überschreitung: Gitterebenen verschieben sich Verschieben von Gitterebenen nicht mit beliebig kleiner Kraft möglich, weil Atome über Potentialwall gehoben werden müssen: Gaub8WS 2014/15

9 Querkontraktion Volumenänderung eines Stabes mit Länge L und quadratischem Querschnitt unter Einwirkung der Zugspannung σ: Definition der Querkontraktionszahl: Mit dem Hooke‘schen Gesetz: Gaub9WS 2014/15

10 Druck statt Zug auf Fläche: Quer-“Kontraktion“ bei Druck  ΔL, ΔV < 0 Δd > 0 => µ>0 Druck von allen Seiten: => Längenverkürzung durch Druck auf auf d 2 : => Dickenreduktion durch Druck auf auf Ld: Quer“kontraktion“ => zwei Seitenpaare! => Gesammtänderungen: => Für kleine Dehnungen: Kompressionsmodul Kompressibilität Gaub10WS 2014/15

11 Scherkraft: Angriff tangential an einer Fläche Scherung und Torsionsmodul Scherspannung: Resultat der Scherspannung: Verkippen der Kanten um den Winkel α: mit dem Schub- / Scher- / Torsionsmodul G Die behandelten Kräfte sind alle auf atomare Kräfte zurück zu führen und damit miteinander verknüpft. Für isotrope Körper kann folgende Beziehung hergeleitet werden: mit Gaub11WS 2014/15

12 Gaub12WS 2014/15

13 SW carbon- nanotubes 13

14 Der Draht wird aufgeteilt in Hohlzylinder mit Radius r und Dicke dr, außerdem in Segmente der Winkelbreite dφ. Beispiel: Torsion eines Drahtes Um den Draht um den Winkel φ zu verdrillen ist die Scherspannung τ nötig: Richtmoment Gaub14WS 2014/15

15 Biegung eines Balkens Ein Balken mit rechteckigem Querschnitt q = d  b wird an einem Ende fest eingespannt und am anderen belastet. Lokal kann die Krümmung durch Kreisbogen mit Radius r beschrieben werden. Die Länge in der Mitte des Balkens bleibt unbeeinflusst (neutrale Faser). Eine Schicht in Höhe z des Balkens (z=0 entspricht der neutralen Faser) wird also verlängert um: Für diese Längenänderung nötige Zugspannung:

16 Biegung eines Balkens  Die auf eine rechteckige Schicht des Balkens mit der Breite b, der Höhe dz und dem Abstand z von der neutralen Faser, wirkende Kraft ist : Dementsprechend wirkt das Drehmoment:  Über die gesamte Balkenhöhe ergibt sich: dz z = 0 b z Gaub16WS 2014/15

17 Biegung eines Balkens Ursache der Biegung ist eine Kraft bei L, die an der Stelle x das Drehmoment D erzeugt:  Der Balken biegt sich so lange, bis die beiden Drehmomente entgegengesetzt gleich groß sind: Die Krümmung am Ort x ist also: Bei x=0 wird die Krümmung und damit die Zugspannung an der Oberseite (z=d/2)maximal. => Einkerbung und nachfolgend Bruch des Balkens wenn  max die Zerreissspannung des Materials überschreitet 17

18 Biegung eines Balkens In der Näherung kleiner Durchbiegungen gilt: Zweimalige Integration mit den Randbedingungen z(0) = z´(0) = 0  Das Balkenende x=L biegt sich um s (Biegungspfeil) nach unten: Allgemein gilt für die Krümmung einer beliebigen Funktion z (x) ( Teubner): z(x)=0 beschreibt die neutrale Faser des unbelasteten Balkens Gaub18WS 2014/15

19 Biegung eines Balkens Die Biegung eines Balkens mit beliebigem Querschnitt a lässt sich mit der Einführung des Biegemoments B (auch Flächenträgheitsmoment genannt) analog behandeln: Quader: Der Biegungspfeil s ist dann allgemein gegeben durch: Andere Beispiele: Def. Biegemoment: x Längsachse des Balkens, Querschnittsfläche: Gaub

20 Biegung eines Balkens Liegt der Balken auf beiden Enden und die Kraft F wirkt in der Mitte, so wird die maximale Durchbiegung s: Die Kraft F verteilt sich je zur Hälfte auf beide Balkenhälften der Länge L/2  s wird um den Faktor 16 kleiner! Gaub20WS 2014/15

21 Elastische Hysterese, Deformationsarbeit Unter Einwirkung der Zugspannung σ erfährt ein Körper die Elongation ε. Im ε-σ-Diagramm wird dabei der Weg 0A zurückgelegt. Wird σ danach wieder auf 0 gesetzt, so verbleibt eine Elongation (Punkt B).  elastische Hysterese Durch temporäres Ausüben des Druckes p = -σ auf den Körper gelangt dieser über Punkt C zu Punkt D. Gaub21WS 2014/15

22 Elastische Hysterese, Deformationsarbeit Beim Durchlaufen der (geschlossenen) Kurve ABCDA, genannt elastische Hysterese-Schleife, wird die Arbeit W verrichtet. Für einen Quader mit dem Querschnitt q ist die Arbeit W: Im Geltungsbereich des Hooke‘schen Gesetzes gilt: Außerhalb des Bereiches σ ~ ε gilt: pro Volumeneinheit zu verrichtende Arbeit => Die pro Volumen in Wärme umgesetzte Arbeit entspricht der Fläche des Graphen.

23 Die Härte eines Festkörpers Die Härte gibt den Widerstand eines Körpers beim Eindringen eines anderen an. Ritzverfahren: Der härtere Körper ritzt den anderen. Die Eindrucktiefe h misst die Brinellhärte.  Mohshärte Härteprüfung in der Technik: Brinellverfahren Keine analytischen Beschreibungen mehr! - numerische Verfahren, - finite Elemente Rechnungen Gaub23WS 2014/15


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