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Milot Mirdita107.07.2009
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Gliederung Begriffsdefinitionen NumDiffSchwingungen Fehler und Fehlerfortpflanzung Euler-Cauchy Verfahren v 2 -Proportionalitaet 2Milot Mirdita07.07.2009
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Explizite DifferentialgleichungImplizite Differentialgleichung y‘‘(x) = y(x)...f(x) = y‘‘(x) – y(x) … = 0 7Milot Mirdita07.07.2009
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Symbolisches Rechnen Numerisches Rechnen x/a = 4 x = 4a Sei a = 2 x = 8 f(x) a = x/a Sei a = 2 Sei x 0 = 0 Gesucht f(x) 2 = 4 f(x + h) … f(7,999) = 4 8Milot Mirdita07.07.2009
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Numerik Teilgebiet der Mathematik Approximation Anwendung Wetterberechnung Unfallsimulation Wirtschaftsinformatik … 11Milot Mirdita07.07.2009
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Approximation, Fehler und Fehlerfortpflanzung Problem: Datentyp hat einen begrenzten Speicher Unendliche Zahlenmenge muss auf eine endliche Zahlenmenge abgebildet werden. Datentyp: Fließkommazahlen (Float und Double) 12Milot Mirdita07.07.2009
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Fließkommazahlen r = m b e 13 DatentypMantissenbitsExponentenbits Single238 Double5211 Mantisse Basis Exponent Grundlage Wissenschaftliche Notation: c = 299.792.458 m/s = 299.792,458 · 10 3 m/s = 0,299792458 · 10 9 m/s = 2,99792458 · 10 8 m/s Milot Mirdita07.07.2009
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Beispiel d = 50000; k 1 = 0; k 2 = 0; s 0 = 0; v 0 = 10; t=0; t max =50000; 14Milot Mirdita07.07.2009
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Gedämpfte Harmonische Schwingungen F R = -Ds F D = -kv F ges = F R + F D ma = -Ds – kv ms(t) = -Ds(t) – ks(t) ∙ ∙ ∙ V FRFR FDFD FDFD Gedämpfte Harmonische Schwingungen Herleitung Fallunterscheidung Aperiodischer Grenzfall V 15 Von Patrick
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Numerisches Lösen der Schwingungsdifferentialgleichung Gleichung: Parameter Anfangswert s 0 und v 0 Koeffizienten: d, k 1 und k 2 Schrittweite: h 16Milot Mirdita07.07.2009
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Euler Cauchy Verfahren s(t + t) = s(t) + t s'(t) s'(t + t) = s'(t) + t s''(t) 17Milot Mirdita07.07.2009
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Als Code while(t < t1) { y[0] = y[0] + h * y[1]; y[1] = y[1] + h * (-d * y[0] - k1 * y[1] + k2 * y[1] ^2); t = t + h; } Parameter: d=1; k1=0,1; k2=0; s0=0; v0=1; h=1; t=0; t1=5; 18Milot Mirdita07.07.2009
![Als Code while(t < t1) { y[0] = y[0] + h * y[1]; y[1] = y[1] + h * (-d * y[0] - k1 * y[1] + k2 * y[1] ^2); t = t + h; } Parameter: d=1; k1=0,1; k2=0; s0=0; v0=1; h=1; t=0; t1=5; 18Milot Mirdita](http://images.slideplayer.org/10/2856485/slides/slide_18.jpg "Als Code while(t < t1) { y[0] = y[0] + h * y[1]; y[1] = y[1] + h * (-d * y[0] - k1 * y[1] + k2 * y[1] ^2); t = t + h; } Parameter: d=1; k1=0,1; k2=0; s0=0; v0=1; h=1; t=0; t1=5; 18Milot Mirdita")
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Schritt 1: while(0 < 5) { y[0] = 0 + 1 * 1; // 1 y[1] = 1 + 1 * (-1 * 0 – 0.1 * 1 + 0 * 1^2); // -0.99 t = 0 + 1; // 1 } Milot Mirdita1907.07.2009
![Schritt 1: while(0 < 5) { y[0] = * 1; // 1 y[1] = * (-1 * 0 – 0.1 * * 1^2); // t = 0 + 1; // 1 } Milot Mirdita](http://images.slideplayer.org/10/2856485/slides/slide_19.jpg "Schritt 1: while(0 < 5) { y[0] = * 1; // 1 y[1] = * (-1 * 0 – 0.1 * * 1^2); // t = 0 + 1; // 1 } Milot Mirdita")
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Schritt 2: while(1 < 5) { y[0] = 1 + (-0.99); // -0,0900000000000001 y[1] = (-0.99) + (-1 * 1 – 0.1 * (-0.99) + 0 * (-0.99)^2); // -0,801 t = 1 + 1; // 2 } 20Milot Mirdita07.07.2009
![Schritt 2: while(1 < 5) { y[0] = 1 + (-0.99); // -0, y[1] = (-0.99) + (-1 * 1 – 0.1 * (-0.99) + 0 * (-0.99)^2); // -0,801 t = 1 + 1; // 2 } 20Milot Mirdita](http://images.slideplayer.org/10/2856485/slides/slide_20.jpg "Schritt 2: while(1 < 5) { y[0] = 1 + (-0.99); // -0, y[1] = (-0.99) + (-1 * 1 – 0.1 * (-0.99) + 0 * (-0.99)^2); // -0,801 t = 1 + 1; // 2 } 20Milot Mirdita")
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Schritt 3: while(2 < 5) { y[0] = -0,0900000000000001 + h * -0,801; // -0,891 y[1] = -0,801 + h * (-1 * -0,0900000000000001 – 0.1 * -0,801 + 0 * -0,801^2); //0,1701 t = 2 + 1; //3 } 21Milot Mirdita07.07.2009
![Schritt 3: while(2 < 5) { y[0] = -0, h * -0,801; // -0,891 y[1] = -0,801 + h * (-1 * -0, – 0.1 * -0, * -0,801^2); //0,1701 t = 2 + 1; //3 } 21Milot Mirdita](http://images.slideplayer.org/10/2856485/slides/slide_21.jpg "Schritt 3: while(2 < 5) { y[0] = -0, h * -0,801; // -0,891 y[1] = -0,801 + h * (-1 * -0, – 0.1 * -0, * -0,801^2); //0,1701 t = 2 + 1; //3 } 21Milot Mirdita")
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Schritt 4: while(3 < 5) { y[0] = -0,891 + h * 0,1701; // -0,7209 y[1] = 0,1701 + h * (-1 * -0,891 – 0.1 * 0,1701 + 0 *0,1701^2); // 0,87399 t = 3 + 1; // 4 } 22Milot Mirdita07.07.2009
![Schritt 4: while(3 < 5) { y[0] = -0,891 + h * 0,1701; // -0,7209 y[1] = 0, h * (-1 * -0,891 – 0.1 * 0, *0,1701^2); // 0,87399 t = 3 + 1; // 4 } 22Milot Mirdita](http://images.slideplayer.org/10/2856485/slides/slide_22.jpg "Schritt 4: while(3 < 5) { y[0] = -0,891 + h * 0,1701; // -0,7209 y[1] = 0, h * (-1 * -0,891 – 0.1 * 0, *0,1701^2); // 0,87399 t = 3 + 1; // 4 } 22Milot Mirdita")
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Schritt 5: while(4 < 5) { y[0] = -0,7209 + h * 0,87399; // 0,15309 y[1] = 0,87399 + h * (-1 * -0,7209 – 0.1 * 0,87399 + 0 *0,87399^2); // 0,633501 t = 4 + 1; //5 } 23Milot Mirdita07.07.2009
![Schritt 5: while(4 < 5) { y[0] = -0, h * 0,87399; // 0,15309 y[1] = 0, h * (-1 * -0,7209 – 0.1 * 0, *0,87399^2); // 0, t = 4 + 1; //5 } 23Milot Mirdita](http://images.slideplayer.org/10/2856485/slides/slide_23.jpg "Schritt 5: while(4 < 5) { y[0] = -0, h * 0,87399; // 0,15309 y[1] = 0, h * (-1 * -0,7209 – 0.1 * 0, *0,87399^2); // 0, t = 4 + 1; //5 } 23Milot Mirdita")
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Graph 24Milot Mirdita07.07.2009
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Verschiedene Schrittweiten Milot Mirdita2507.07.2009
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26 p wind = c w ρ/2 v 2 y‘(x) = s‘(x) = v(x) Milot Mirdita07.07.2009
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