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Infinitesimales Hier wächst Ihr Wissen über das unendlich Kleine Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103

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Präsentation zum Thema: "Infinitesimales Hier wächst Ihr Wissen über das unendlich Kleine Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103"—  Präsentation transkript:

1 Infinitesimales Hier wächst Ihr Wissen über das unendlich Kleine Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

2 Infinitesimal Thinking Your knowledge about infinitely small objects increases. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

3 Der Modellierungskreislauf Ein erfundenes Beispiel: 16 Uhr Unfall mit Fahrerflucht in Hann. Münden Ein Zeuge glaubt einen Transporter mit reichlich Werbeschrift gesehen zu haben. Der Besitzer behauptet er sei um 16 Uhr gar nicht in Hann.Münden gewesen. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

4 The Modelling Circuit A faked example: At 4 pm o‘clock there had been an accident in H.-Münden, the driver escaped. A witness had seen a van with multiple commertial marking how the picture shows. The owner affirm that at 4 o‘clock he had not been in H.-Münden. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

5 Der Modellierungskreislauf Um 15 Uhr war er nachweislich noch in Bodenwerder, 80 km entfernt. Der Fahrtenschreiber zeigt : Reale Situation Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Länge der gefahrenen Strecke ist gesucht. 5 Die Weser entsteht in Hannoversch Münden durch Zusammenfluss von Werra und Fulda. Sie durchfließt Niedersachen bis zur Nordsee. In Bodenwerder ist das Schloss des Lügenbarons Freiherr von Münchhausern. Er zog sich am eigenen Zopf aus dem Sumpf usw….

6 The Modeling Circuit At 5 pm o‘clock he was verifiably still in Bodenwerder*, 80 km downstream the river Weser. The trip recorder shows : real situation Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, We are interested in the length of his drive. 6 *Notice: the river Weser starts in Hannoversch Münden in Lower Saxony and goes in the North Sea. In Boderwerder is the castle of the „Lying Lord Münchhausen“.

7 Der Modellierungskreislauf Um 15 Uhr war er nachweislich noch in Bodenwerder*, 80 km entfernt. Der Fahrtenschreiber zeigt : Reale Situation mathematisches Modell Länge der gefahrenen Strecke ist gesucht. Fläche unter der Modellkurve gesucht. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Die Weser entsteht in Hannoversch Münden durch Zusammenfluss von Werra und Fulda. Sie durchfließt Niedersachen bis zur Nordsee. In Bodenwerder ist das Schloss des Lügenbarons Freiherr von Münchhausern. Er zog sich am eigenen Zopf aus dem Sumpf usw….

8 The Modeling Circuit At 5 pm o‘clock he was verifiably still in Bodenwerder*, 80 km downstream the river Weser. The trip recorder shows : real situation Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, We are interested in the length of his drive. 8 *Notice: the river Weser starts in Hannoversch Münden in Lower Saxony and goes in the North Sea. In Boderwerder is the castle of the „Lying Lord Münchhausen“. mathematical model We search the area under the modeling curve.

9 Der Modellierungskreislauf Um 15 Uhr war er nachweislich noch in Bodenwerder, 80 km entfernt. Der Fahrtenschreiber zeigt : Reale Situation mathematisches Modell Länge der gefahrenen Strecke ist gesucht. Fläche unter der Modellkurve gesucht. mathematische Lösungsidee Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

10 The Modeling Circuit At 5 pm o‘clock he was verifiably still in Bodenwerder*, 80 km downstream the river Weser. The trip recorder shows : real situation Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, We are interested in the length of his drive. 10 mathematical model We search the area under the modeling curve. mathematical idea of solving this

11 Der Modellierungskreislauf Um 15 Uhr war er nachweislich noch in Bodenwerder, 80 km entfernt. Der Fahrtenschreiber zeigt : Reale Situation mathematisches Modell Länge der gefahrenen Strecke ist gesucht. Fläche unter der Modellkurve gesucht. mathematische Lösungsidee Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, mathematische Antwort 11

12 The Modeling Circuit At 5 pm o‘clock he was verifiably still in Bodenwerder*, 80 km downstream the river Weser. The trip recorder shows : real situation Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, We are interested in the length of his drive. 12 mathematical model We search the area under the modeling curve. mathematical idea of solving this mathematical solution

13 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Funktionen werden zum Werkzeug Funktionen beschreiben Zusammenhänge Man erhält Antworten beim Blick auf „das Ganze“ mit dem Integral integer (lat.)= ganz pane integrale (it.) = Vollkornbot Man erhält punktuelle Antworten mit dem Differential 13

14 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Functions Become a Tool functions are describing connections You have solution with looking on on the whole issue with the Integral integer (lat.)= whole pane integrale (it.) = whohe –grain breadn Youe have punctual solutions with the differential 14

15 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Das Integral Man erhält Antworten beim Blick auf „das Ganze“ mit dem Integral integer (lat.)= ganz pane integrale (it.) = Vollkornbot 15

16 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, The Integral 16 You have solution with looking on on the whole issue with the Integral integer (lat.)= whole pane integrale (it.) = whohe –grain bread

17 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Das Riemannsche Integral Bernhard Riemann Abi 1846 Johanneum Lüneburg Originaltext aus „Gesammelte Werke“ 17

18 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, The Riemannian Integral Bernhard Riemann Abitur 1846 Johanneum Lüneburg original text out of „Gesammelte Werke“ 18 On the conception of the definite integral and the range of its validity. …… So at first: What is the meaning of ?

19 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Riemannsches Integral Bernhard Riemann Abi 1846 Johanneum Lüneburg, bei jeder Zerlegung denselben Grenzwert zu haben, Originaltext aus „Gesammelte Werke“ 19

20 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Riemannian Integral Bernhard Riemann Abitur 1846 Johanneum Lüneburg, to have the same limit with every dissection, original text out of „Gesammelte Werke“ 20 If the function has not this property, so the symbol has no meaning.

21 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Das Integral als verallgemeinertes Produkt WegGeschwindigkeitZeit Integral für 3D-Flächen, Volumen, Schwerpunkt, Bilanzen.... konstant variabel 21

22 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, The Integral as a Generalized Product pathvelocity time Integral for 3D-areas, volumes, balance points, balances,… constant variable 22

23 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Das Integral als verallgemeinertes Produkt WegGeschwindigkeitZeit Arbeit Kraft Weg konstant variabel konstant 23 Integral für 3D-Flächen, Volumen, Schwerpunkt, Bilanzen....

24 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, The Integral as a Generalized Product pathvelocity time work energy forth Integral for 3D-areas, volumes, balance points, balances,… constant variable constant 24

25 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Das Integral als verallgemeinertes Produkt WegGeschwindigkeitZeit Arbeit Energie KraftWeg Integral für 3D-Flächen, Volumen, Schwerpunkt, Bilanzen.... konstant variabel konstant variabelkonstant Spannung Widerstand Stromstärke 25

26 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, The Integral as a Generalized Product pathvelocity time work energy forth Integral for 3D-areas, volumes, balance points, balances,… constant variable constant variableconstant voltage resistor electric current 26 Ohn‘s law

27 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Das Integral für den verallgemeinerten Mittelwert Integral für Mittelwert und Bilanzen.... Wetter Temperaturverlauf 27

28 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, The Integral for the Generalized Mean Integral for means and financial balances.... weather temperature profile 28

29 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Das Integral für den verallgemeinerten Mittelwert Integral für Mittelwert und Bilanzen.... Flächenbilanz=0 29 Ist die Modellierung der Metereologen nicht viel zu grob?????

30 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, The Integral for the Generalized Mean integral for means and balances.... balance of area =0 30 Is the modeling of the meterologists too rough?

31 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Das Integral für den verallgemeinerten Mittelwert Integral für Mittelwert und Bilanzen.... Flächenbilanz=0 31

32 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, The Integral for the Generalized Mean 32 integral for means and balances.... balance of area =0

33 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Das Integral für den verallgemeinerten Mittelwert Integral für 3D-Flächen, Volumen, Schwerpunkt, Bilanzen Mittelwert der Funktionswerte

34 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, The Integral for the Generalized Mean 34 mean of the functions values integral 3D-areas aund volumes, for means and balances....

35 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Eigenschaften des Integrals Intervall [A,B] Sind die Werte von f im ganzen Intervall negativ, dann ist auch das Integral negativ. 35

36 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Properties of the Integrals interval [A,B] If the values of f are negative in the whole interval than the integral is negativ. 36

37 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Eigenschaften des Integrals Intervall [A,B] Das Integral ist eine Flächenbilanz mit negativen und positiven Flächen. Sind die Werte von f im ganzen Intervall negativ, dann ist auch das Integral negativ. 37

38 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Properties of the Integrals interval [A,B] The integral is a balance of areas with negative and positive values. 38 If the values of f are negative in the whole interval than the integral is negativ.

39 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Eigenschaften des Integrals Intervall [A,B] Das Integral ist eine Flächenbilanz mit negativen und positiven Flächen. Beim Vertauschen der Grenzen ändert sich das Vorzeichen des Integrals Sind die Werte von f im ganzen Intervall negativ, dann ist auch das Integral negativ. 39

40 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Properties of the Integrals interval [A,B] By changing the borders the sign of the integral changes. 40 If the values of f are negative in the whole interval than the integral is negativ. The integral is a balance of areas with negative and positive values.

41 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Übungen zum Integral Intervall [A,B] mögliche Werte 41

42 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Exercise with the Integral interval [A,B] possible values 42

43 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Übungen zum Integral Intervall [A,B] mögliche Werte 43

44 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Exercise with the Integral interval [A,B] possible values 44

45 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Die Integralfunktion 45 „Teppich-Abroll-Funktion“ a a x x

46 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, The Integral Funktion 46 „carpet scrolling funktion“ a a x x

47 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Die Integralfunktion „Teppich-Abroll-Funktion“ Ordinate von P zeigt die abgerollte Fläche an. 47

48 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, The Integral Funktion The ordinate of P shows the scrolled area. 48 „carpet scrolling funktion“

49 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Die Integralfunktion Der Zuwachs der Integralfunktion hängt nur vom Zuwachs der Fläche ab. Also sind die verschiedenen Integralfunktionen an jeder Stelle x gleich steil. (x ist hier die Stelle von B) 49

50 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, The Integral Funktion The growth of the integral-function depends only on the growth of the area. Therefore all the different integral functions have in every position x the same slope. (here x is the position of B) 50

51 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Die Integralfunktion Alle Integralfunktionen haben dieselbe Form. An den Extremstellen von F hat f eine Nullstelle. An der Sattelstelle von F hat f eine Berühr-Nullstelle. Wo F eine Wendestelle hat, hat f eine Extremstelle. 51

52 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, The Integral Funktion All integral functions have the same form. In the extrem abscissas of F the function f has a zero. In the saddle-abscissa of F the function f has the x-axis as a tangent. In the position of inflection of F there is an extreme position of f. 52

53 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Nochmal die Teppichabrollfunktion 53

54 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Once Again the Carpet scrolling funktion 54

55 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Die Intergralfunktion F von f =„Teppichabrollfunktion“ 55

56 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, The Integral Function F von f =„ Carpet scrolling funktion“ 56

57 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung d. h. Alle Integralfunktionen F zu f mit beliebigem Start haben ihr f auch als Ableitung. Sie heißen daher auch „Stammfunktionen“ von f, sie unterscheiden sich nur um eine additive Konstante c. Man schreibt: 57

58 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Principal Theorem of the Calculus That is: All integral functions F of f with arbitrary start have their own f as their derivative. For that we call them „antiderivative“ von f. All possible F differ only in an additive constant c. One write: 58


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