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Partielle DGL, Wärmeleitung stationär: T(x) oder T(R) instationär: T(x, t) oder T(x, y, z, t) = T(R, t)

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Präsentation zum Thema: "Partielle DGL, Wärmeleitung stationär: T(x) oder T(R) instationär: T(x, t) oder T(x, y, z, t) = T(R, t)"—  Präsentation transkript:

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2 Partielle DGL, Wärmeleitung

3 stationär: T(x) oder T(R) instationär: T(x, t) oder T(x, y, z, t) = T(R, t)

4 Gesetz von Newton (1701) Sir Isaac Newton (1642 – 1727) T = x °C T = (x + 273,15) K T bezeichnet die absolute Temperatur oder wird als Celsiustemperatur kenntlich gemacht. Dann gilt:

5 Lineare Wärmeleitung stationär 12

6 instationäre Wärmeleitung 12

7 Stationäre Wärmeleitung: T = T(x) Der Temperaturverlauf ist linear: : Wärmeleitzahl, Wärmeleitvermögen oder Wärmeleitfähigkeit Gute elektrische Leiter sind auch gute Wärmeleiter. (Wiedemann-Franzsches Gesetz) Aber nicht umgekehrt! klein groß

8 zeigt immer in Richtung des stärksten Temperaturgefälles. kann von der Temperatur abhängen. Biot und Fourier (1822) Joseph Fourier ( ) Jean-Baptiste Biot Bei Anisotropie (geschichtete Stoffe, Kohlefaser-Verbundstoffe, Holz) ist eine symmetrische Matrix ( xy = yx ).

9 Das Feld ist quellenfrei / senkenfrei, d. h. Wärme staut sich nicht, wenn (Divergenz) netto in dV strömende Leistung = 0

10 Wärmestromdichte im Zylinderfeld

11 Temperaturverlauf im Zylinderfeld

12 Eine Rohrleitung mit Wärmeisolation ( = 0,04 Wm -1 K -1 ) hat innen bei |R i | = 1 cm die Temperatur 60°C, außen bei |R a | = 5 cm 20°C. Wie groß sind die Wärmeverluste dQ z /dt? Bei welchen Radien liegen die Isothermen zu 50°C, 40°C, 30°C ? Zeichnen Sie eine Skizze mit Isothermen und Wärmestromlinien. T 0 = T(1 cm) = 60°C

13 Eine Rohrleitung mit Wärmeisolation ( = 0,04 Wm -1 K -1 ) hat innen bei |R i | = 1 cm die Temperatur 60°C, außen bei |R a | = 5 cm 20°C. Wie groß sind die Wärmeverluste dQ z /dt? Bei welchen Radien liegen die Isothermen zu 50°C, 40°C, 30°C ? Zeichnen Sie eine Skizze mit Isothermen und Wärmestromlinien. T(x)/°Cx/cm 601,0 501,5 402,2 303,3 205,0 cm

14 Potentialgleichung Pierre Simon Marquis de Laplace ( ) (falls konstant) (Laplace-Operator)

15 Instationäre Wärmeleitung Abkühlung: Nach Newtons Gesetz ist der Wärmestrom zur Differenz von Körpertemperatur T und Außentemperatur T proportional. Über die spezifische Wärmekapazität entspricht der Änderung der Wärmemenge eine Temperaturänderung: (wie Zerfallsgesetz)

16 Die Temperaturdifferenz zwischen Kaffee in der Kaffetasse (T) und der Umgebung (T = const.) klingt vorwiegend aufgrund von Wärmeleitung exponentiell mit der Zeit ab, θ ) ist dabei die anfängliche Temperaturdifferenz, k ist die Abkühlkonstante: θ(t) = T(t) – T = θ(0) exp(-kt) Folgende Messwerte wurden bestimmt (T = 21°C): t ,5 7,5 11,5 13,5 19min T °C θ(t) °C Berechnen Sie die Übertemperatur θ(t) = T(t) - T und tragen Sie deren Logarithmus über der Zeit t auf. Welche Abkühlkonstante k ergibt sich?

17 lnθ(t) = t t/min

18 Instationäre Wärmeleitung

19 + Wärmequelle Wärmequelle p = P/V [W/m 3 ] Erwärmung von dV: Summe:

20 Instationäre Wärmeleitung eindimensional, p = 0: Baustoffe: a = 0,2 bis 1, m 2 /s stehende Luft: a = m 2 /s Metalle: a = 10 bis m 2 /s

21 Temperatursprung am Halbraum Analytische Lösung für x > 0:

22 Temperatursprung am Halbraum Die Wärmestromdichte zeigt für x = t = 0 eine Singularität.

23 Analytische Lösung für x > 0: Temperatursprung am Halbraum a 2a, t t/2: keine Änderung x 2x t 4t: doppelte Tiefe, vierfache Zeit. Wärme kriecht.

24 Analytische Lösung für x > 0: Ein 2 cm dickes Steak muss laut Kochbuch 8 Minuten lang gegrillt werden. Wie lange muss ein 3 cm dickes Steak gegrillt werden? t = 18 min. Temperatursprung am Halbraum

25 Instationäre Wärmeleitung in Luft t/ht/dzerf(z)T(4 m, t) 102,3570,99910,01°C 502,11,0540,86411,36°C 1004,20,7450,70812,92°C ,2360,26117,39°C

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