Wahrscheinlichkeits-rechnung II

Präsentation zum Thema: "Wahrscheinlichkeits-rechnung II"—  Präsentation transkript:

1 Wahrscheinlichkeits-rechnung II
Viel Drumherum

2 Der Plan Eine ausführliche Wiederholung Ein Steilkurs in Kombinatorik
Paketlösungen Ein Ausblick Wir stoppen nach spätestens 90 Minuten, wir werden weiter über das Thema reden

3 Der Start: Würfeln Würfeln mit einem „fairen“ Würfel Problem 1:
Einmal würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln? Problem 2: Zweimal würfeln: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine 6 zu würfeln?

4 Fachsprache Zufallsexperiment: Einmal würfeln
Ergebnismenge M: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Zufälliges Ereignis: A = {6} Wahrscheinlichkeit: P(A) =1/6

5 Fachsprache Zufallsexperiment: Zweimal würfeln
Ergebnismenge M: {(1,1), (1,2), , (6,5), (6,6)} Zufälliges Ereignis: B = {(1,6), (2,6),…, (6,6), (6,5),.., (6,2), (6,1)} Wahrscheinlichkeit: P(B) =11/36

6 Weitere Bezeichnungen
Gegenereignis zu A: Anzahl der Elemente einer Menge X: |X|, z.B. |A| = 1 |B| = 12

7 Pascal 1623 – 1662 Theologe, Philosoph, Mathematiker, Physiker
Einer der Riesen, auf dessen Schultern wir stehen

8 Pierre de Fermat 1601 – 1665 First Class Mathematiker, ein Superstar
Zahlentheorie, ohne ihn gäbe es keine asymmetrischen Verfahren in der Kryptologie Der große Fermat: Ende der 80ger Jahre bewiesen

9 Jakob Bernoulli 1654 - 1705 Äusserst vielseitiger Mathematiker,
Gesetz der großen Zahlen 1713: Ars conjectandi: „Wahrscheinlichkeit als messbarer Grad der Gewissheit“

10 Pierre Simon Laplace 1749 – 1827 Physiker und Mathematiker
Mechanik, Kosmologie 1812: Théorie analytique des probabilités

11 Laplace-Wahrscheinlichkeiten

12 Voraussetzungen: „Faire Würfel“ Man kann schmerzfrei dividieren,
also M ist endlich Sie hatten bis jetzt sicher keine Probleme!

13 Laplace-Wahrscheinlichkeiten
Einfaches Konzept Strikte Voraussetzungen Probleme: Wie ermittelt man |M|? Wie ermittelt man |A|? Da fängt der Ärger an!

14 Kombinatorik: Die Wissenschaft der Anzahlen
Ziel: Bestimmung der Anzahl von Anordnungen oder Auswahlen mit oder ohne Wiederholung mit oder ohne Reihenfolge

15 Kombinatorische Probleme 1
(P1): 10 Läufer Z = Anzahl der Reihenfolgen (P2): 10 Läufer, 5 D, 2 F, 2 B, 1 S Z = Anzahl der Reihenfolgen, nationale Variante

16 Kombinatorische Probleme 2
(P3): 10 Läufer, olympisch Z = Anzahl der Reihenfolgen (P4): Wortproblem Z = Anzahl der Wörter der Länge 4 über dem deutschen Alphabet

17 Kombinatorische Probleme 3
(P5): 6 aus 49 Z = Anzahl der Möglichkeiten (P6): Obstproblem: 6 Sorten, Auswahl von 4 Früchten Z = Anzahl der Auswahlen

18 Klassifikation Problem Reihenfolge Wiederholung Auswahl Name (P1) ja
nein Permutation (P2) Permutation mit W (P3) Variation (P4) Variation mit W (P5) Kombination (P6) Kombination mit W

19 Vollständige Klassifikation
Problem Reihenfolge Wiederholung Auswahl Name (P1) ja nein Permutation (P2) Permutation mit W (P3) Variation (P4) Variation mit W (P5) Kombination (P6) Kombination mit W (Anzahl 1)

20 Kombinatorische Probleme 4
(Q1): 10 Cent Z = Anzahl der Darstellungen (Q2): Eulers Rencontre-Problem

21 Permutationen =10! = 3 628 800 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Platz
·9 ·8 ·7 ·6 ·5 ·4 ·3 ·2 ·1 =10! =

22 Exkurs: Fakultäten 1! =1 2!=1·2=1!·2 =2 3!=1·2·3=2!·3 =6 4!=3! ·4 =24
1! =1 2!=1·2=1!·2 =2 3!=1·2·3=2!·3 =6 4!=3! ·4 =24 5!=4! ·5 =120 7!= ? (n+1)!=n! ·(n+1)

23 Fakultäten: 100! =

24 Fakultäten 1000! =

25 Fakultäten 0! = 1 Rainer Roos an Richard Kunz (1957):
Warum gilt 0! = 1? Antwort: Dazu musst du Mathematik studieren.

26 Die Antwort:

27 n=3: Der Integrand

28 Gamma-Funktion

29 Gamma-Funktion

30 James Stirling 1692 – 1770, Schotte, wichtige Beiträge zur Analysis.

31 Permutation mit Wiederholung

32 Eine Tabelle der Permutationen: Z = 10
2 3 4 5 6 7 8 9 10

33 Herleitung der Formel a1 a2 a3 b1 b2

34 Herleiten einer Formel
a1 a2 b1 a3 b2

35 Herleiten einer Formel

36 Analog:

37 Allgemein:

38 Variationen, ganz einfach
(P3) Z = 10·9·8 (P4) Z = 26·26·26·26 = 264

39 Variationen, ganz einfach

40 Variationen, allgemein

41 Lotto: Kombinationen Gesucht: Anzahl der Auslosungen bei 6 aus 49.
Allgemein: Gegeben: n Objekte, Auswahl von k (ohne Wiederholung) Gesucht: Anzahl der Auswahlen

42 Bezeichnungen

43 Berechnung 1:

44 Berechnung 2: Codierung von Auszahlungen durch
Nullen und Einsen mit 49 Fächern: …… Fächer Code 4, 6, 10 wurden gezogen, die anderen nicht.

45 Berechnung 2:

46 Insgesamt:

47 Allgemein:

48 Eigenschaften

49 Einige Beispiele

50 Pascalsches Dreieck 1 1 1

51 Pascalsches Dreieck

52 Pascalsches Dreieck

53 Binomische Formeln:

54 Pascals Glanztat

55 Problem:

56 Binomische Reihe

57 Lottoproblem: 6 aus 49 (ohne Zusatzzahl) A4 = {4 Richtige, 2 Falsche}
P(A4) = ? Allgemein: Ai = {i Richtige, 6-i Falsche} P(Ai) = ?

58 Lösung des Lottoproblems

59 Lösung des Lottoproblems

60 Lottoproblem i P(Ai) 0,44 1 0,41 2 0,13 3 0,02 4 0,001 5 0,000 02 6 0,

61 Lotto

62 Offene Fragen Mittlere Anzahl der Richtigen? Verallgemeinerungen?

63 Verallgemeinerung: Situation: N (49) Objekte,
M (6) mit der Eigenschaft E; n (6) Objekte werden zufällig ausgewählt. Ai = {i Objekte mit E, n-i nicht mit E}

64 Verallgemeinerung: P(Ai) : H(N,M,n)-Verteilung
Hypergeometrische Verteilung Lotto: H(49,6,6)-Verteilung Viele Anwendungen, z.B. in der Qualitätskontrolle, bei Wahlprognosen

65 H(N,M,n)

66 H(50,20,10), H(200,80,40)

67 H(400,160,80) H(400,80,80)

68 Vermutungen und Probleme
Glockenkurve! Wie berechnet man Binomialkoeffizienten bei großen Zahlen?

69 400 über 200

70 2000 über 800

71 Das Problem (P6) 6 Fruchtsorten Auswahl von 4, mit möglicher
Wiederholung, ohne Reihenfolge Z = Anzahl der Auswahlen

72 Die Lösung von (P6) Apfel Birne Orange Banane Kiwi Melone O O O Code

73 Lösung von (P6)

74 Das Problem (Q1) Z = Anzahl der Darstellungen von 10 Cent

75 Lösung: Brute Force Keine Tricks: Man notiert alle Möglichkeiten und
zählt sie. Wichtig: Systematik Buchhalter: Listen Künstler: Bäume

76 Buchhalterlösung: Z =11 10 5 5

77 Künstlerlösung: Baum, Z=11

78 Prolog-Lösung a([W],X,A):-X>0,!,XX=X-W,a([W],XX,A). a([_],0,1):-!.
a([K|R],X,A):-a(R,X,AA), XX=X-K,XX>=0,!, a([K|R],XX,AAA), A=AA+AAA. a([K|R],X,A):-XX=X-K,XX<0,!, a(R,X,A).

79 (Q2): Sexparty n Ehepaare En = Anzahl der heterosexuellen
Paarbildungen, bei denen kein Paar zusammenbleibt Ein wichtiges Problem!

80 (Q2): Sexparty Wichtig bei Sortierproblemen Nicht ganz einfach
Problem hätte einen eigenen Vortrag verdient

81 (Q2): Sexparty: Lösung

82 Der weitere Plan Kennzahlen für Verteilungen Gesetz der großen Zahlen
Normalverteilung Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten

83 Haben Sie noch Fragen?

84 Literaturtipps Von Randow: Das Ziegenproblem rororo 2004 7,90 €
Monk u.a.: Gewinnen mit Wahrscheinlichkeit rororo Vergriffen Basieux: Die Welt als Roulette rororo ,50 € Büchter/Henn Elementare Stochastik Springer ,95 € Szekely: Paradoxa Harri Deutsch ,80 €

85 Wenn Sie mehr wissen wollen
Da werden Sie geholfen. Geschichte der Mathematik: