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1 Wahrscheinlichkeits- rechnung II Viel Drumherum.

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Präsentation zum Thema: "1 Wahrscheinlichkeits- rechnung II Viel Drumherum."—  Präsentation transkript:

1 1 Wahrscheinlichkeits- rechnung II Viel Drumherum

2 2 Der Plan Eine ausführliche Wiederholung Ein Steilkurs in Kombinatorik Paketlösungen Ein Ausblick Wir stoppen nach spätestens 90 Minuten, wir werden weiter über das Thema reden

3 3 Der Start: Würfeln Würfeln mit einem fairen Würfel Problem 1: Einmal würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln? Problem 2: Zweimal würfeln: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine 6 zu würfeln?

4 4 Fachsprache Zufallsexperiment:Einmal würfeln Ergebnismenge M:{1, 2, 3, 4, 5, 6} Zufälliges Ereignis: A = {6} Wahrscheinlichkeit: P(A) =1/6

5 5 Fachsprache Zufallsexperiment:Zweimal würfeln Ergebnismenge M:{(1,1), (1,2),, (6,5), (6,6)} Zufälliges Ereignis: B = {(1,6), (2,6),…, (6,6), (6,5),.., (6,2), (6,1)} Wahrscheinlichkeit: P(B) =11/36

6 6 Weitere Bezeichnungen Gegenereignis zu A: Anzahl der Elemente einer Menge X: |X|, z.B. |A| = 1 |B| = 12

7 7 Pascal 1623 – 1662 Theologe, Philosoph, Mathematiker, Physiker Einer der Riesen, auf dessen Schultern wir stehen

8 8 Pierre de Fermat 1601 – 1665 First Class Mathematiker, ein Superstar Zahlentheorie, ohne ihn gäbe es keine asymmetrischen Verfahren in der Kryptologie Der große Fermat: Ende der 80ger Jahre bewiesen

9 9 Jakob Bernoulli Äusserst vielseitiger Mathematiker, Gesetz der großen Zahlen 1713: Ars conjectandi: Wahrscheinlichkeit als messbarer Grad der Gewissheit

10 10 Pierre Simon Laplace 1749 – 1827 Physiker und Mathematiker Mechanik, Kosmologie 1812: Théorie analytique des probabilités

11 11 Laplace-Wahrscheinlichkeiten

12 12 Voraussetzungen: Faire Würfel Man kann schmerzfrei dividieren, also M ist endlich Sie hatten bis jetzt sicher keine Probleme!

13 13 Laplace-Wahrscheinlichkeiten Einfaches Konzept Strikte Voraussetzungen Probleme: Wie ermittelt man |M|? Wie ermittelt man |A|? Da fängt der Ärger an!

14 14 Kombinatorik: Die Wissenschaft der Anzahlen Ziel: Bestimmung der Anzahl von –Anordnungen oder Auswahlen –mit oder ohne Wiederholung –mit oder ohne Reihenfolge

15 15 Kombinatorische Probleme 1 (P1): 10 Läufer Z = Anzahl der Reihenfolgen (P2): 10 Läufer, 5 D, 2 F, 2 B, 1 S Z = Anzahl der Reihenfolgen, nationale Variante

16 16 Kombinatorische Probleme 2 (P3): 10 Läufer, olympisch Z = Anzahl der Reihenfolgen (P4): Wortproblem Z = Anzahl der Wörter der Länge 4 über dem deutschen Alphabet

17 17 Kombinatorische Probleme 3 (P5): 6 aus 49 Z = Anzahl der Möglichkeiten (P6): Obstproblem: 6 Sorten, Auswahl von 4 Früchten Z = Anzahl der Auswahlen

18 18 Klassifikation ProblemReihenfolgeWiederholungAuswahlName (P1)janein Permutation (P2)ja neinPermutation mit W (P3)janeinjaVariation (P4)ja Variation mit W (P5)nein jaKombination (P6)neinja Kombination mit W

19 19 Vollständige Klassifikation ProblemReihenfolgeWiederholungAuswahlName (P1)janein Permutation (P2)ja neinPermutation mit W (P3)janeinjaVariation (P4)ja Variation mit W (P5)nein jaKombination (P6)neinja Kombination mit W nein (Anzahl 1) neinjanein(Anzahl 1)

20 20 Kombinatorische Probleme 4 (Q1): 10 Cent Z = Anzahl der Darstellungen (Q2): Eulers Rencontre-Problem

21 21 Permutationen Platz P 10 =10·9·8·7·6·5·4·3·2·1 =10! =

22 22 Exkurs: Fakultäten 1! =1 2!=1·2=1!·2=2 3!=1·2·3=2!·3=6 4!=3! ·4=24 5!=4! ·5 =120 7!= ? (n+1)!=n! ·(n+1)

23 23 Fakultäten: 100! =

24 24 Fakultäten 1000! =

25 25 Fakultäten 0! = 1 Rainer Roos an Richard Kunz (1957): Warum gilt 0! = 1? Antwort: Dazu musst du Mathematik studieren.

26 26 Die Antwort:

27 27 n=3: Der Integrand

28 28 Gamma-Funktion

29 29 Gamma-Funktion

30 30 James Stirling 1692 – 1770, Schotte, wichtige Beiträge zur Analysis.

31 31 Permutation mit Wiederholung

32 32 Eine Tabelle der Permutationen: Z = 10 1aaabb 2aabab 3aabba 4abaab 5ababa 6abbaa 7baaab 8baaba 9babaa 10bbaaa

33 33 Herleitung der Formel a1a2a3b1b2a1a2a3b2b1 a1a3a2b1b2a1a3a2b2b1 a2a1a3b1b2a2a1a3b2b1 a2a3a1b1b2a2a3a1b2b1 a3a1a2b1b2a3a1a2b2b1 a3a2a1b1b2a3a2a1b2b1

34 34 Herleiten einer Formel a1a2b1a3b2a1a2b2a3b1 a1a3b1a2b2a1a3b2a2b1 a2a1b1a3b2a2a1b2a3b1 a2a3b1a1b2a2a3b2a1b1 a3a1b1a2b2a3a1b2a2b1 a3a2b1a1b2a3a2b2a1b1

35 35 Herleiten einer Formel

36 36 Analog:

37 37 Allgemein:

38 38 Variationen, ganz einfach (P3)Z = 10·9·8 (P4)Z = 26·26·26·26 = 26 4

39 39 Variationen, ganz einfach

40 40 Variationen, allgemein

41 41 Lotto: Kombinationen Gesucht: Anzahl der Auslosungen bei 6 aus 49. Allgemein: Gegeben: n Objekte, Auswahl von k (ohne Wiederholung) Gesucht: Anzahl der Auswahlen

42 42 Bezeichnungen

43 43 Berechnung 1:

44 44 Berechnung 2: Codierung von Auszahlungen durch Nullen und Einsen mit 49 Fächern: …… Fächer Code 4, 6, 10 wurden gezogen, die anderen nicht.

45 45 Berechnung 2:

46 46 Insgesamt:

47 47 Allgemein:

48 48 Eigenschaften

49 49 Einige Beispiele

50 50 Pascalsches Dreieck

51 51 Pascalsches Dreieck

52 52 Pascalsches Dreieck

53 53 Binomische Formeln:

54 54 Pascals Glanztat

55 55 Problem:

56 56 Binomische Reihe

57 57 Lottoproblem: 6 aus 49 (ohne Zusatzzahl) A 4 = {4 Richtige, 2 Falsche} P(A 4 ) = ? Allgemein: A i = {i Richtige, 6-i Falsche} P(A i ) = ?

58 58 Lösung des Lottoproblems

59 59 Lösung des Lottoproblems

60 60 Lottoproblem iP(A i ) 00,44 10,41 20,13 30,02 40,001 50, ,

61 61 Lotto

62 62 Offene Fragen Mittlere Anzahl der Richtigen? Verallgemeinerungen?

63 63 Verallgemeinerung: Situation: N (49) Objekte, M (6) mit der Eigenschaft E; n (6) Objekte werden zufällig ausgewählt. A i = {i Objekte mit E, n-i nicht mit E}

64 64 Verallgemeinerung: P(A i ) : H(N,M,n)-Verteilung Hypergeometrische Verteilung Lotto: H(49,6,6)-Verteilung Viele Anwendungen, z.B. in der Qualitätskontrolle, bei Wahlprognosen

65 65 H(N,M,n)

66 66 H(50,20,10), H(200,80,40)

67 67 H(400,160,80) H(400,80,80)

68 68 Vermutungen und Probleme Glockenkurve! Wie berechnet man Binomialkoeffizienten bei großen Zahlen?

69 über

70 über

71 71 Das Problem (P6) 6 Fruchtsorten Auswahl von 4, mit möglicher Wiederholung, ohne Reihenfolge Z = Anzahl der Auswahlen

72 72 Die Lösung von (P6) ApfelBirneOrangeBananeKiwiMelone O O O Code O O O

73 73 Lösung von (P6)

74 74 Das Problem (Q1) Z = Anzahl der Darstellungen von 10 Cent

75 75 Lösung: Brute Force Keine Tricks: Man notiert alle Möglichkeiten und zählt sie. Wichtig: Systematik Buchhalter: Listen Künstler: Bäume

76 76 Buchhalterlösung: Z =

77 77 Künstlerlösung: Baum, Z=11

78 78 Prolog-Lösung a([W],X,A):-X>0,!,XX=X-W,a([W],XX,A). a([_],0,1):-!. a([_],X,0):-X<0,!. a([K|R],X,A):-a(R,X,AA), XX=X- K,XX>=0,!, a([K|R],XX,AAA), A=AA+AAA. a([K|R],X,A):-XX=X-K,XX<0,!, a(R,X,A).

79 79 (Q2): Sexparty n Ehepaare E n = Anzahl der heterosexuellen Paarbildungen, bei denen kein Paar zusammenbleibt Ein wichtiges Problem!

80 80 (Q2): Sexparty Wichtig bei Sortierproblemen Nicht ganz einfach Problem hätte einen eigenen Vortrag verdient

81 81 (Q2): Sexparty: Lösung

82 82 Der weitere Plan Kennzahlen für Verteilungen Gesetz der großen Zahlen Normalverteilung Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten

83 83 Haben Sie noch Fragen?

84 84 Literaturtipps Von Randow: Das Ziegenproblem rororo ,90 Monk u.a.: Gewinnen mit Wahrscheinlichkeit rororo 2002Vergriffen Basieux:Die Welt als Roulette rororo 19958,50 Büchter/HennElementare Stochastik Springer ,95 Szekely:Paradoxa Harri Deutsch ,80

85 85 Wenn Sie mehr wissen wollen : Da werden Sie geholfen. Geschichte der Mathematik:


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